ROZKŁAD NORMALNY 11 października 2017

Z rozkładem normalnym (Gaussa) zmiennej mierzalnej mamy do czynienia wtedy, gdy na wartość tej zmiennej wpływa nieskończenie wiele (w praktyce wystarczy samo „wiele”) niezależnych czynników

Carl Friedrich Gauß (Gauss) ur. 30 kwietnia 1777 w Brunszwiku, zm Carl Friedrich Gauß (Gauss) ur. 30 kwietnia 1777 w Brunszwiku, zm. 23 lutego 1855 w Getyndze Niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta. Uznawany jest za jednego z twórców geometrii nieeuklidesowej. Uważany jest za jednego z największych matematyków, przez sobie współczesnych określany był mianem „Księcia matematyków” (łac. princeps mathematicorum). Jego podobizna widniała na dziesięciomarkowym banknocie.

Odległość rzutu piłką palantową skład włókien mięśniowych, zdolności koordynacyjne, wysokość ciała, stopień wytrenowania ruchu, stan zdrowia, motywacja, kierunek i prędkość wiatru, temperatura powietrza.

Rozkład wysokości ciała w populacji mężczyzn

Kształt krzywej w zależności od średniej i odchylenia standardowego 3

Rozkład normalny standardowy

Zasada trzech odchyleń standardowych Jeżeli wartość zmiennej dla danego przypadku oddalona jest o więcej niż 3 odchylenia standardowe od średniej zachodzi uzasadnione podejrzenie, że mamy do czynienia z tzw. błędem grubym wynikającym z pomyłki w zapisie danych. Przypadek taki należy zweryfikować, a wobec braku sensownego potwierdzenia po prostu usunąć.

Zmienna unormowana x*i=(xi-)/. x*i=(xi-xśr)/s. Jeżeli przez m oznaczymy wartość średnią, a przez s odchylenie standardowe dla populacji, to obliczenia wartości unormowanej x*i dokonuje się dla każdej wartości xi według wzoru: x*i=(xi-)/. W praktyce zwykle nie znamy  i  dla populacji, posługujemy się więc wzorem: x*i=(xi-xśr)/s.

Ocena wartości zmiennej na podstawie wartości unormowanej Jeżeli w populacji mężczyzn średnia wysokości ciała wynosi 175±8,1 cm to wartość unormowana dla mężczyzny o wysokości 198 wynosi: h*=(198-175)/8,1= 2,84, a dla mężczyzny o wysokości 165: h*=(165-175)/8,1=-1,23.

Skala T - alternatywny sposób przedstawienia wartości unormowanej T=50+10x*, dla x*=2,84 T=78, dla x*=0,00 T=50, dla x*=-1,23 T=38.

Rozkład prawoskośny

Transformacja logarytmiczna z=log(x)

Efekt transformacji z=ln(x)

Dlaczego tak nam zależy na normalności rozkładu danych? Większość testów statystycznych dotyczących oceny parametrów zmiennych mierzalnych i zależności między tymi zmiennymi wymaga normalności rozkładu danych. Tablice dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego mogą służyć do obliczania frakcji przypadających na zadane przedziały zmiennych.

Ocena normalności rozkładu - testy normalności Test Shapiro-Wilka - małe liczebności (10-50); test Lilieforsa - duże liczebności (50+); test Kołmogorowa-Smirnowa - duże liczebności.