Doświadczenia z ortogonalną strukturą blokową Radosław Kala Katedra Metod Matematycznych i Statystycznych Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu

Plan Wstęp Model jednowymiarowy Model wielowymiarowy Przykład Zakończenie

n liczba jednostek eksperymentalnych Wstęp Y  Rnp n liczba jednostek eksperymentalnych p liczba obserwowanych cech Jednostki Poletka Obiekty Replikacje Bloki Randomizacja Cechy Boręty Pomorskie, pszenica ozima, fungicydy Elatus Era p = 1  y  Rn wektor losowy

fj fj = fj = fj’ fj fi = 0, i  j, f0 + f1 +…+ ft = In Model jednowymiarowy E(y) = Xb X  Rnq macierz układu doświadczalnego b  Rq parametry obiektowe OBS ortogonalna struktura blokowa Nelder, 1965 D(y) = V = s0f0 + s1f1 + s2f2 + … + stft > 0 s0, …, st komponenty wariancji fj fj = fj = fj’ fj fi = 0, i  j, f0 + f1 +…+ ft = In Caliński and Kageyama, 2000, 2003;

PV = X(X’V-1X)-1X’V-1 operator BLUE Model jednowymiarowy Estymacja E(y) = Xb PV = X(X’V-1X)-1X’V-1 operator BLUE BLUE (Xb) = PVy R = I – PV operator reszt RV = VR’ R2 = R RX = 0 Estymacja komponentów wariancji y’R’fjR y = sjtr(fjR), j = 0, 1, …, t Nelder, 1968; Houtman and Speed, 1983 Caliński and Siatkowski, 2017, 2018

X  Rnq macierz układu doświadczalnego Model wielowymiarowy E(Y) = XB X  Rnq macierz układu doświadczalnego B  Rqp macierz parametrów obiektowych D(Y) ~ D(csY) = G  V G  Rpp macierz kowariancji cech V = s0f0 + s1f1 + s2f2 + … + stft > 0 E(csY) = cs(XB) = (IpX)csB Searle, 1978; Harville, 1997

Model wielowymiarowy Ip  PV operator BLUE (Ip  PV)csY = cs(PVY) BLUE (XB) = PVY Ipn – Ip  PV = Ip  R operator reszt (Ip  R)(G  V) = (G  RV) = (G  VR’) (Ip  R)2 = (Ip  R2) = (Ip  R) (Ip  R)(Ip  X) = (Ip  0) = 0pnpq

Model wielowymiarowy Q = (csY)’(IpR’)(G-1V-1)(IpR)(csY) = (csY)’(G-1R’V-1R)(csY) = (csY)’(G-1R’sj-1fj R)(csY) = sj-1(csY)’(G-1R’fj R)(csY) =  sj-1tr(Y’R’fj RYG-1) E(Q) = sj-1tr[(G-1R’fj R) E(csY)(csY)’] = sj-1tr{(G-1R’fj R)[(GV ) – (IpX)csB …)]} = sj-1tr(Ip R’fj RV) = psj-1tr(R’fj RV)

Model wielowymiarowy Q = sj-1tr(Y’R’fj RYG-1) E(Q) = psj-1tr(R’fj RV) tr(Y’R’fj RYG-1) = psj tr(fjR), j = 0, 1, …, t Ważna własność tr(Y’R’V-1RYG-1) = p tr(R) = p [n – rank(X)] Estymacja G G = tr(R)-1Y’R’V-1RY Uwaga s0 =…= st = 1  V = In  R’ = R  G = tr(R)-1Y’RY

Model wielowymiarowy Iteracja (0) s0 =…= st = 1  V = In  G = tr(R)-1Y’RY (1) tr(Y’R’fj RYG-1) = psj tr(fjR), j = 0, 1, …, t  V-1 = s0-1f0 + s1-1f1 + … + st-1ft  R = I – PV  G = tr(R)-1Y’R’V-1RY  (1)

Przykład Dane pochodzą z Centralnego Ośrodka Badania Roślin Uprawnych Dotyczą 18 odmian buraka cukrowego. q = 18 Doświadczenie było założone w układzie 8 bloków niekompletnych, każdy o pojemności 9 poletek. n = 72 Po zebraniu korzeni zmierzono: plon z poletka (plon), zawartość cukru, potasu, sodu i azotu, które to składniki pozwalają określić tzw. wydajność cukru technologicznego (cukier) p = 2

Przykład - Jeden blok Blok v plon cukier potas sód azot 1 18 95,9 19,0 35,1 1,2 7,3 2 4 92,8 18,4 42,8 1,6 9,0 3 93,0 36,7 7,8 7 99,7 18,8 39,7 2,1 7,2 5 13 100,2 37,9 8,5 6 97,8 19,1 39,3 1,3 8,6 9 95,6 41,3 1,4 7,7 8 15 101,9 18,9 40,7 11 93,9 38,1 1,8 W. cuk. 15,12 16,32 16,14 15,20 16,02 16,17 16,13 16,19 15,75 Wydajność cukru = cukier – 0,343 (potas+sód) – 0,094 azot – 0,29

Przykład - Plon V = sBPB+ sP(I - PB) V = I v plon 16 43,35 6 49,80 13 45,88 9 49,93 8 46,50 2 49,98 3 47,15 17 50,50 10 47,73 18 50,90 5 47,95 4 51,00 15 48,20 11 53,68 14 49,10 1 54,05 12 49,63 7 60,03 v plon 16 44,64 14 48,82 3 46,65 9 49,89 13 46,69 17 50,00 8 47,26 4 50,02 5 47,99 18 50,14 15 48,48 6 50,24 2 48,68 11 53,23 10 48,71 1 54,55 12 48,81 7 60,52 63,70 Blocks 6,59 Plots 9,67 Block/Plot s.d. 1,814 A. s.d. 1,596

Przykład - Cukier V = sBPB+ sP(I - PB) V = I v cuk. 18 15,14 15 15,94 7 15,46 17 15,99 14 9 16,06 11 15,56 13 16,20 12 15,65 5 16,27 1 15,72 10 16,32 2 15,80 8 16,45 6 15,82 3 16,68 4 15,88 16 16,83 v cuk. 18 15,24 2 15,96 7 15,38 13 16,01 11 15,55 9 16,04 14 15,60 17 16,06 1 15,64 10 16,28 15 15,80 5 16,30 6 15,83 8 16,34 12 15,84 16 16,68 4 15,92 3 16,76 4,66 Blocks 0,64 Plots 7,95 Block/Plot s.d. 0,215 A. s.d. 0,196

Przykład - Plon i Cukier V = I V = sBPB+ sP(I - PB) v plon cuk. 6 49,80 18 15,14 9 49,93 7 15,46 2 49,98 14 17 50,50 11 15,56 50,90 12 15,65 4 51,00 1 15,72 53,68 15,80 54,05 15,82 60,03 15,88 v plon cuk. 12 48,85 18 15,24 9 49,89 7 15,38 17 50,03 11 15,55 4 50,07 14 15,60 50,18 1 15,64 6 50,22 15 15,80 53,25 15,83 54,52 60,50 15,92 4,66 Blocks 0,64 Plots 7,28 Block/Plot s.d 1,814 0,215 s.d 1,556 0,195 -0,535 CORR -0,402 CORR

Plon technologiczny cukru = plon  wydajność/100 Zakończenie Plon technologiczny cukru = plon  wydajność/100 v Plon tech. 16 7,44 3 7,82 13 7,47 10 7,92 14 7,62 6 7,95 18 7,65 4 7,97 15 7,66 9 8,00 8 7,72 17 8,04 12 7,73 11 8,28 2 7,78 1 8,53 5 7 9,31

Some references Nelder J.A. (1965): The analysis of randomized experiments with orthogonal block structure. Proceedings of the Royal Society of London, Series A 283: 147–178. Nelder, J.A. (1968). The combination of information in generally balanced designs. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 30, 303-311. Searle S.R. (1978). A univariate formulation of the multivariate linear model. In: Contribution to Survey Sampling and Aplied Statistics. Ed. H.A. David. Acad. Press. New York. Houtman A.M. and T.P. Speed (1983). Balance in designed experiments with orthogonal block structure. Ann. Math. Statist. 11, 1069-1085. Harville D.A. (1997). Matrix Algebra From a Statistician’s Perspective. Springer. New York Caliński T., Kageyama S. (2000): Block Designs: A Randomization Approach, Vol. I: Analysis. Lecture Notes in Statistics 150, Springer, New York. Caliński T., Kageyama S. (2003): Block Designs: A Randomization Approach, Vol. II: Design. Lecture Notes in Statistics 170, Springer, New York. Caliński T., Siatkowski I. (2017): On a new approach to the analysis of variance for experiments with orthogonal block structure. I. Experiments in proper block designs. Biometrical Letters, 54, 91-122. Caliński T., Siatkowski I. (2018): On a new approach to the analysis of variance for experiments with orthogonal block structure. II. Experiments in nested block designs. Biometrical Letters, 55, 147-178. Kala, R. (201x). On the estimation in experiments with orthogonal block structure. In: Matrices, Statistics and Big Data, Proceedings of the IWMS-2016, Springer. New York.