Grafika3D Domyślnie obiekty 3D widzimy pod określonym kątem. Możemy go zmieniać Możemy zdefiniować punkt widzenia kamery, środek obrazu i kąt widzenia-ViewPoint, ViewCenter, ViewAngle Możemy również zmieniać ustawienia światła Lighting->None, „Automatic”, „Spot”, „Ambient”, „Directional”

Elementarne Obiekty Arrow[] Ball[{…}] Ellipsoid[{…}] Cone[{pt1,pt2},r] Cuboid[…] Cylinder[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},r] Sphere[{x,y,z},r] Tube[…] Polygon Line[{…}] Point[] Text[…]

Przekształcenia geommetryczne grafiki 3D Translate[#,v] przesuwa obiekt o wektor v. Rotate[#,a,v,p] obraca obiekt 3D # o kąta a wzdłuż wektora v względem punktu p GeometricTransformation[#,{m,v}]-przekształcenie każdego punktu objektu # macierzą m, a następnie przesunięcie o wektor v.

Właściwości (głównie) obiektów 3D EdgeForm[{styl,kolor,grubość}] FaceForm[{…}]-format (głównie kolor) ścian. JoinForm[{„Bevel”,”Round”,Miter”}] Capform[{„Butt”,”Round”}] Opacity[r]-przezroczystość Specularity[a,b]- obcicie Światła w stopniu a od powierzchni o gładkości b.

GraphicsComplex[{v},#[n1,n2,…] Zastępuje jeden wiele obiektów graficznym jednym Punkty użyte w obiekcie są zebrane w tablicy w. Do tworzących obiekt punktów odwołujemy się poprzez ich numer porządkowy Zaimportowane obiekty 3D mają formę kompleksów graficznych

Objętość Tworząc obiekt 3D warto pamiętać, czy tworzymy obiekt złożony z wielościanów, czy ma objętość. Przykład Sphere-Ball Tube-Cylinder

Granice Limit[f,x->lim,Direction->+/-1] Jeżeli granica nie istnieje w sensie matematyczym, Mathematica może podać ją w postaci przedziału możliwych zakresów (sinus) Jak zawsze, podawane są wyniki prawdziwe w ogólności, pomijając przypadki specjalne (liczby pierwsze)

Pochodne f’[x] D[f,x] D[f,{{x1,x2,…}}]-wektor pochodnych po zmiennych x1,x2,x3 D[f,{x,n}]-pochodna n-tego rzędu D[f,x1,x2]-pochodna po zmiennych x1,x2, NonConstants->…-przyjęcie założenia o wyrażeniach niestałych Dt[f,x]-Różniczka zupełna, zakłada, że nie ma stałych

Całkowanie -Oznaczone -Nieoznaczone g[x,…]=Integrate[f[x,…],x,…] Integrate[f[x],{x,x0,x1}]=g[x1]-g[ x0]

Całkowanie po obszarach Integrate[f[x],Element[x,region]] Regiony to zbiory Przynależność do zbioru w tym kontekście nie jest funkcją logiczną Alternatywna wersja Integrate[f[x]Boole[g[x],{x,x0,x1}] Różnica prędkośc Podobnie: Sum

Funkcje jako wektory y Normalizacja do Delty Diraca p0 x x0

Przykłady funkcji ortogonalnych Przestrzeń K(x) F(x) {-1,1} 1 LegendreP[n,x] {-inf,inf} Exp[-x^2] HermiteteH[n,x] {0,2Pi} {1/Sqrt[2Pi], 1/Sqrt[Pi]Sin[nx] {0,inf} x^l Exp[-x] LagurerreL[n,l,x] Sfera SphericalHarmonicY[l,m,theta,phi] Funkcje bazowe pozwalają znaleźć odwzorowanie funkcji prawie ciągłych na nieskończone ciagi.

„Składowe” funkcji Delta Diraca- funkcja uogólniona, czyli funkcjonał Pochodna funkcji schodkowej a całka z delty Diraca

Przybliżenia delty Diraca a UnitBox[a x] a UnitTriangle[a x] Przy przybliżaniu delty Diraca musimy uważać na tempo zbieżności

Pola wektorowe Pola wektorowe przypisują wektory wszystkim punktom w przestrzeni Operator Nabla

Potencjał skalarny siły Właściwości pól wektorowych Źródłowość, dywergencja, mówi nam, czy pole reprezentuje przepływ od źródła do ścieku Rotacja-mówi, czy pole jest wirowe

Potencjał wektorowy Pole opisane potencjałem wektorowym nie może być źródłowe Pole opisane potencjałem skalarnym nie może być wirowe Laplacian Iloczyn pola skalarnego i wektorowego

Transformacje Cechowania Do potencjału skalarnego możemy dodać funkcję liniową, do potencjału wektorowego- pole wirowe. W efekcie otrzymujemy to samno pole.

Zastępowanie całek ds V S dl

Dekompozycja Hermholtza Znajdywanie dla danego pola potencjału skalarnego i wektorowego Dowód: Zastosować Laplacian F/r Rozwinąć Laplacian Wyłączyć pierwsze operatory Nabla Zmienić zmienne w różniczkach Skorzystać z rozwinięcia iloczynów pól Zaniedbać całki po powierzchni

Pola wektorowe w v. 8.0 Needs[„VectorAnalysis`”] Coordinates Cartesian[Xx,Yy,Zz], Spherical[Rr,Ttheta,Pphi],Cylidrical[Rrho,Ttheta,Zz], Toroidal,…,Conical SetCoordinates Div,Curl,Laplacian JacobianMatrix, JacobianDet

Komendy dla pól wektorowych Grad[f[x1,x2,…],{x1,x2,…}]-gradient Div[f,{x1,x2,…}]-dywergencja Curl[f,{x1,x2,x3,…}]-rotacja Laplacian[f,{x1,x2,x3,…}]-LaplacianeDel[x] Symbol Nabli VectorPlot[…]-wykres dwuwymiarowego pola wektorowego VectorPlot3D[…] ListVectorPlot[…] SliceVectorPlot3D[f,s,…]-wykres pola wektorowego na wyznaczonej płaszczyźnie s CoordinateChartData[System1, „Metric”]-macierz przejścia (Jacobian) do układu współrzędnych („InverseMetric”) Opcje StreamPoints-ilość punków linii strumienia StreamScale-grubość linii strumienia VectorStyle