Problem ustalania grafiku ciąg dalszy

Ustalanie grafiku – problem z pierwszych zajęć Każdy z pracowników na poczcie pracuje 5 dni z rzędu i później 2 dni odpoczywa. Popyt na pracowników w różne dni tygodnia jest następujący: Zminimalizuj liczbę pracowników zatrudnionych na poczcie. Na początek przyjmijmy, że pracownicy mogą występować w częściach ułamkowych. Sformułowanie problemu: Zidentyfikuj zmienne decyzyjne (decision variables) Zidentyfikuj funkcję celu (objective function) Sformułuj ograniczenia (constraints) Rozwiązanie dopuszczalne (feasible solution) Rozwiązanie optymalne (optimal solution, best feasible solution) Dzień Pon Wto Śro Czw Pią Sob Nie Popyt 17 13 15 19 14 16 11

Poprzednio PON WTO ŚRO CZW PIĄ SOB NIE

Modyfikacja modelu Dobrze jest zacząć od prostego modelu, który opisuje tylko część rzeczywistości, a później dodawać coraz bardziej realistyczne ograniczenia. Często trudno jest zbudować skomplikowany model w jednym kroku. Załóżmy, że pracownicy otrzymują różne wynagrodzenie w zależności od dnia, w którym zaczynają pracę – pracownik zaczynający pracę w dzień j, otrzymuje zapłatę cj Dodatkowo poczta może zatrudnić pracownika dorywczego (na jeden lub więcej dni). Zapłata dla pracownika dorywczego, gdy pracuje w dzień j to pj Jaka będzie zmiana w modelu? Jakie będą nowe zmienne decyzyjne?

Inna modyfikacja Załóżmy, że popyt na pracowników reprezentuje ograniczenie zwane „lekkim” – tj. jest to pożądana liczba pracowników, którzy są potrzebni w dany dzień, a nie wymagana liczba. Niech sj będzie zmienną reprezentującą nadmiar pracowników w dzień j ponad stan pożądany. Ujemne wartości oznaczają oczywiście niedobór. Jaki jest minimalny koszt zatrudnienia pracowników, jeśli koszt zbyt dużej liczby pracowników w dzień j jest opisany nieliniową funkcją fj(sj)? Traktujemy popyt na pracowników na konkretny dzień jako cel na ten dzień i nakładamy karę za niespełnienie go dokładnie. Zbyt duża liczba pracowników to nieefektywne wykorzystanie zasobów pracy Zbyt mała liczba pracowników może spowodować problemy w wykonaniu zadań na dany dzień Jakie są nowe zmienne decyzyjne? Jak wygląda nowy model nieliniowy?

Przykłady funkcji nieliniowych Funkcje nieliniowe mogą czasem być przetransformowane w funkcje liniowe – rzadki, ale bardzo pożądany przypadek W ogólności, programy nieliniowe minimalizacji (maksymalizacji) można rozwiązać łatwiej, gdy funkcja celu jest wypukła (wklęsła) Przykłady funkcji nieliniowych Suma kwadratów zmiennych nadmiaru Ważona suma kwadratów zmiennych nadmiaru Suma wartości bezwględnych zmiennych nadmiaru Dwa razy suma pracowników minus suma zmiennych nadmiaru Nieseparowalna funkcja celu Separowalna funkcja to taka, że można ją przedstawić jako sumę funkcji jednej zmiennej. Z funkcjami separowalnymi dużo łatwiej sobie radzić i problem rozwiązuje się szybciej.

Które funkcje są wypukłe?

Maksimum paru funkcji liniowych jest wypukłe

Minimax Szczególnie „przyjazne” funkcje nieliniowe to takie, które można zapisać jako maksimum jednej lub wielu funkcji liniowych: Jeżeli dany problem minimalizacji ma taką przyjazną funkcję celu, a region dopuszczalny jest taki, jak w ZPL, wówczas rozwiązanie tego problemu może być przedstawione jako ZPL Problem minimax jednej zmiennej Problem z przyjazną funkcją ZPL

Z powrotem do problemu obsady poczty Minimalizuj maksymalny nadmiar pracowników na dany dzień

Inny przykład „przyjaznej” funkcji celu Przypuśćmy, że funkcją celu jest Jak ją zmodyfikować, aby stała się liniowa? Kluczowa obserwacja: , dla każdego j. Musimy stworzyć tym razem 7 zmiennych zj Nowa funkcja celu Dodatkowe ograniczenia Dla każdego optymalnego rozwiązania będzie zachodzić