Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Kinga Cichoń Dominika Cichocka Justyna Bieńko

Liczba pierwsza Jest to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itp.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem {P}. Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone

Na żółto zaznaczone są liczby pierwsze

Szukanie Aby sprawdzić, czy liczba naturalna n jest liczbą pierwszą, należy dzielić ją kolejno przez wszystkie liczby większe od 1. Jeśli przy każdym dzieleniu reszta z dzielenia jest różna od zera, to liczba jest liczbą pierwszą. Natomiast jeżeli choć jedno dzielenie daje resztę równą zero, to sprawdzana liczba naturalna jest liczbą złożoną

Rodzaje liczb pierwszych Liczby pierwsze bliźniacze: to dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Na przykład: (3, 5)(5, 7)(59, 61) Liczby pierwsze czworacze to takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą. Na przykład: 5, 7, 11, 13

Liczby pierwsze lustrzane To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71.

Liczby pierwsze Sophie Germain liczby pierwsze p które zapisane w postaci 2p+1, dają również liczbę pierwszą, np. 2 ponieważ 2 ∗ 2+1=5 3 ponieważ 2 ∗ 3+1=7 5 ponieważ 2 ∗ 5+1=11 11 ponieważ 2 ∗ 11+1=23 23 ponieważ 2 ∗ 23+1=47 29 ponieważ 2 ∗ 29+1=59

Dotychczas nie udało się potwierdzić, czy liczb pierwszych Sophie Germain jest nieskończenie wiele. Największa dotychczas znana liczba tego typu to ∗ −1. Liczby te mają zastosowanie między innymi przy generowaniu losowych ciągów oraz w kryptografii.

Liczby pierwsze Mersenne'a - liczby pierwsze które można zapisać w postaci 2 n −1, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą, np. 3 ponieważ 2 2 −1=3 7 ponieważ 2 3 −1=7 31 ponieważ 2 5 −1= ponieważ 2 7 −1= ponieważ 2 13 −1= ponieważ 2 17 −1=131071

Dotychczas nie stwierdzono, czy liczb pierwszych Mersenne'a jest nieskończenie wiele. Do tej pory odkryto ich 48, z których największa to −1. Prawdziwe jest twierdzenie, że jeżeli liczba w postaci 2 n −1 jest pierwsza, to n również musi być liczbą pierwszą.

Zastosowanie Liczby pierwsze są stosowane w niektórych znanych algorytmach kryptograficznych (kryptografia - dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem). Jednym z takich jest RSA(jeden z pierwszych i obecnie najpopularniejszych algorytmów kryptograficznych z kluczem publicznym)

Ciekawostka 1 W 1914 roku amerykański matematyk Derrick Norman Lehmer opublikował po raz pierwszy listę wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 10 milionów. Ciekawostka 2 Liczba złożona z 23 jedynek jest liczbą pierwszą. Ciekawostka 3 Liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest liczbą pierwszą. Ciekawostka 4 Liczba pierwsza ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie Największą znalezioną dotąd liczbą pierwszą jest liczba: Rekordzistkę odkryto 14 listopada 2001 roku. Liczba ta składa się z cyfr.

Ciekawostka 5 Liczba nie tylko jest liczbą pierwszą, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej strony też są liczbami pierwszymi: jest liczbą pierwszą jest liczbą pierwszą jest liczbą pierwszą 7393 jest liczbą pierwszą 739 jest liczbą pierwszą 73 jest liczbą pierwszą 7 jest liczbą pierwszą

Czego nie wiadomo o liczbach pierwszych: Hipoteza 1 Czy istnieje liczba pierwsza między n 2 a (n+1) 2 dla każdego n>0? Hipoteza 2 Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n 2 +1 gdzie n jest liczbą całkowitą? Hipoteza 3 Czy każda liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych? Hipoteza 4 Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, takich jak 11,13 albo 17,19 różniących się o 2. Jest to problem bliźniaczych liczb pierwszych.

Dziękujemy za uwagę