Rozważmy na początku jednowymiarowy strumień ciepła Jq (zmieniający się tylko w jednym kierunku: wzdłuż osi Ox). Ustalamy obszar w formie prostopadłościanu, którego krawędzie są prostopadłe do osi układu kartezjańskiego XYZ. x Jq Jq A Podstawowym pojęciem jest strumień „ciepła” (energii wewnętrznej): ilość energii (strumień), która przepłynęła przez powierzchnię jednostkową w jednostkowym czasie w kierunku prostopadłym do tej powierzchni ilość energii, która przepłynęła przez powierzchnię A w czasie t w kierunku prostopadłym do tej powierzchni pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku strumienia (m2)

zmiana energii cieplnej masy m, gdy temperatura zmieniła się o T masa ciała o gęstości  i objętości V ciepło właściwe ośrodka (J/kgm3) gęstość ośrodka (kg/m3) źródło objętościowe energii cieplnej (J/m3s) [dokładniej: gęstość źródeł] Sens (definicja) członu źródłowego jest zawarty w poniższym opisie: ilość energii (np. w dżulach, J) wyprodukowana/skonsumowana w objętości V w czasie t (na skutek różnych procesów, np. rekcje chemiczne, rozpad radioaktywny, umieszczone spirale grzejne itd.).

x x+x Qcałk = m cw T Jq(x,t) Jq(x+x,t) Qźr = S(x,t) V t Bilans energii w wydzielonym obszarze w czasie t: Qcałk = (strumień przez brzeg) + (źródła) m cw T = Jq(x,t) A  t  Jq(x+x,t) A  t + S(x,t) V t  A x cw T = Jq(x,t) A  t  Jq(x+x,t) A  t + S(x,t) A x t Dzielimy obie strony przez (A x t): Przechodzimy do granicy x  0, t  0 i otrzymujemy:

Wyprowadzone właśnie równanie bilansu często zapisuje się też w takiej formie W ogólnym przypadku, gdy nie można problemu sprowadzić do jednego wymiaru, równanie bilansu energii w obszarze   R3 (3D) ma postać  Jq r brzeg: ,  gdzie r=(x, y, z) jest położeniem punktu w przestrzeni 3D. z y x

Współczynnik  (W/(mK) Samo równanie bilansu nie wystarczy do uzyskania rozkładu temperatury w ciele. Jeżeli potrafimy powiązać strumień Jq z innymi wielkościami (np. z temperaturą), to taki związek jest przykładem tzw. równania konstytutywnego. Pozwala ono uzyskać dodatkowe zależności do rozwiązania problemu. Przykładem jest tutaj prawo Fouriera: gdzie  to współczynnik przewodzenia ciepła (przewodność cieplna właściwa). Jednostką w układzie SI jest W/(mK), czyli J/(msK). Przykładowe wartości podano w tabeli poniżej. Substancja Temperatura (K) Współczynnik  (W/(mK) Azot 273 0,02373 Woda 0,555 373 0,682 Aluminium 229,111 Miedź 386,116 Stal węglowa (0,1%C) 59,313 Piasek (suchy) 293 0,326

Na granicy obszaru musimy określić warunki brzegowe Na granicy obszaru musimy określić warunki brzegowe. W przypadku problemów transportu ciepła warunki te na ogół dotyczą wartości temperatury lub strumienia ciepła w punktach leżących na brzegu. Rozważmy prosty przypadek pręta o długości l wykonanego z jednorodnego materiału (np. stal, beton), którego powierzchnie boczna jest zaizolowana, a ciepło może przechodzić tylko przez końce. Jeżeli pręt jest „dostatecznie cienki”, to możemy założyć że ciepło rozchodzi się tylko w kierunku osi pręta, a temperatura zależy tylko od współrzędnej x: T=T (x,t). Jeżeli potrafimy utrzymać końce pręta w określonej temperaturze, np. TL („lewy” koniec) i TP („prawy” koniec) jak na rysunku x=0 x=l T=TL T=TP T=T(x,t) to formalnie mamy następujące wymaganie Tego typu warunek (zadana wartość szukanej funkcji na brzegu) nazywamy warunkiem brzegowym Dirichleta.

Jeżeli teraz „prawy” koniec pręta będzie zaizolowany cieplnie, oznacza to, że strumień ciepła musi być na tym brzegu zerowy (a dokładniej: składowa prostopadła strumienia do brzegu musi być zerowa – więcej na ten temat będzie przy zagadnieniach 2D i 3D) x=0 x=l T=TL izolacja, Jq=0 T=T(x,t) Jeżeli strumień ciepła jest opisany prawem Fouriera, J = T, to warunek na izolację (Jq=0) na prawym końcu będzie miał formalna postać Ponieważ współczynnik  jest niezerowy, więc warunek ten można przepisać tak Tego typu warunek (zadana wartość gradientu funkcji na brzegu) nazywamy warunkiem brzegowym Neumanna.

gdzie Tot jest znaną temperaturą (np. temperatura otoczenia). W przypadku zagadnień w dwóch lub trzech wymiarach możemy zadawać podobnie warunki. Jednak opis warunków typu Neumanna jest nieco bardziej skomplikowany, gdyż w dwóch lub trzech wymiarach brzeg może być geometrycznie skomplikowany; w jednym wymiarze brzeg to po prostu punkt (lub dwa punkty). Warunki typu Dirichleta: kontrolujemy temperaturę. Oznacza to, że na całym brzegu  lub na jego fragmencie    jest spełniona zależność gdzie Tot jest znaną temperaturą (np. temperatura otoczenia). Na ogół temperatura otoczenia jest stała, wtedy warunek ma postać Dla uproszczenia zapisu często nie podajemy argumentów podając warunek. Wtedy piszemy G T(x,y)=Tot

Wektor normalny na brzegu obszaru  jest zdefiniowany następująco: Warunki typu strumieńźródło (warunki Robina lub Neumanna): kontrolujemy strumień ciepła na brzegu. Przykładem jest tutaj prawo stygnięcia ciał (prawo Newtona): gdzie Tot jest zadaną temperaturą (np. temperatura otoczenia),  jest współczynnikiem wnikania ciepła, J/(m2sK). W zapisie pojawia się dwa nowe elementy: symbol iloczynu skalarnego, kropka (), oraz wektor normalny na brzegu, n. Tak więc zapis un, gdzie u jest dowolnym wektorem oznacza wartość składowej wektora u w kierunku normalnym. n u Wektor normalny na brzegu obszaru  jest zdefiniowany następująco: Jest prostopadły do brzegu (powierzchni) w danym punkcie, n  . Długość wynosi 1, |n|=1. Jest skierowany na zewnątrz obszaru.

Promieniowanie ciepła Rozgrzane ciało może emitować/pochłaniać ciepło poprzez promieniowanie. Moc wypromieniowana przez ciało może być opisana prawem Stefana-Boltzmanna (ściśle zachodzi dla tzw. ciała doskonale czarnego). Prawo to stwierdza, że całkowita energia wypromieniowana na jednostkę powierzchni w jednostkowym czasie (czyli strumień energii) jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury wyrażonej w kelwinach: gdzie  jest tzw. stałą Stefana-Boltzmanna, 5,6710-8 W/(m2K4). Ponieważ ciała rzeczywiste nie są ciałami doskonale czarnymi, więc dla nich prawo Stefana-Boltzmanna modyfikuje się wprowadzając współczynnik emisyjności e: Współczynnik e określa stopień „czarności” ciała, e[0, 1].

Ponieważ wypromieniowanie energii zachodzi przez brzeg, więc prawo Stefana-Boltzmanna może być użyte w modelowaniu jako warunek brzegowy typu strumień-źródło Metal polerowany utleniony Al 0,04 0,110,19 Sn 0,05  Cu 0,0180,02 0,57 Pb 0,0570,075 0,68 Ag 0,020,035 stal 0,120,4 0,80,95