Ruch złożony i ruch względny Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 4 Ruch złożony i ruch względny Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Ruch złożony punktu M względem układu OXYZ jest to ruch, w skład którego wchodzą ruch układu ruchomego O’xyz względem nieruchomego układu OXYZ; ruch punktu M względem układu O’xyz. Ruch punktu M względem nieruchomego układu OXYZ nazywamy ruchem bezwzględnym. Ruch punktu M względem ruchomego układu O’xyz nazywamy ruchem względnym. Ruch układu ruchomego O’xyz względem układu OXYZ nazywamy ruchem unoszenia.

Równania ruchu złożonego Wektor położenia punktu M w ruchu bezwzględnym: Wektor położenia punktu M w ruchu względnym: Wektor położenia układu O’xyz w ruchu unoszenia: Mamy (1) gdzie: przy czym:

Prędkość w ruchu złożonym Po zróżniczkowaniu równania (1): gdzie: oraz

Prędkość w ruchu złożonym Oznaczenia: Prędkość unoszenia w ruchu postępowym układu O’xyz: Prędkość względna: Pochodne wersorów: – prędkość kątowa układu ruchomego O’xyz

Prędkość w ruchu złożonym W konsekwencji: Ostatecznie: Wprowadźmy oznaczenie: – całkowita prędkość unoszenia układu O’xyz

Prędkość w ruchu złożonym Twierdzenie! Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej.

Przyspieszenie w ruchu złożonym Po zróżniczkowaniu równania : (2) gdzie: – przyspieszenie unoszenia w ruchu postępowym układu ruchomego O’xyz oraz – składowa styczna przyspieszenia unoszenia w ruchu obrotowym układu O’xyz

Przyspieszenie w ruchu złożonym gdzie: – składowa normalna przyspieszenia unoszenia w ruchu obrotowym układu O’xyz: A zatem: – przyspieszenie względne punktu M

Przyspieszenie w ruchu złożonym Podstawiając do (2) otrzymujemy: – przyspieszenie unoszenia – przyspieszenie Coriolisa

Przyspieszenie w ruchu złożonym Twierdzenie! Przyspieszenie bezwzględne punktu M w ruchu złożonym jest równe sumie wektorowej przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia względnego oraz przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie w ruchu złożonym Przyspieszenie Coriolisa nie występuje gdy: ruch unoszenia jest ruchem postępowym (ω=0); wektor prędkości obrotowej jest równoległy do wektora prędkości względnej (ω || vw); szybkość względna jest równa zeru (vw=0).

Przykład 1 Kajak 1 płynie w kierunku południowym z prędkością v1 = 30√2 km/h. Kajak 2 pły-nie w kierunku południowo-wschodnim z prędkością v2 = 30 km/h. W jakim kierunku i z jaką prędkością płynie kajak 2 względem obserwatora znaj-dującego się w kajaku 1?

ROZWIĄZANIE α = 45°

ROZWIĄZANIE

Przykład 2 Punkt M porusza się względem punktu A ze stałą prędkością v, wzdłuż pręta o długości l. Pręt obraca się wokół punktu O ze stałą prędkością kątową . Wyznaczyć prędkość bezwzględną, przyśpieszenie bezwzględne, szybkość bezwzględną i przyspieszenie Coriolisa punktu M.

ROZWIĄZANIE A M Y φ X y Układ OXY – układ nieruchomy. Układ Axy – układ ruchomy A M φ

ROZWIĄZANIE

ROZWIĄZANIE

Przykład 3 Wagon miał 3 m szerokości. W czasie t = 2 s od jednej krawędzi do drugiej, prostopadle do osi toru, przebiegła myszka, poruszając się ruchem jednostajnym. W tym czasie wagon przesunął się ruchem jednostajnym prostoliniowym na odległość 4 m. Znaleźć wektor przemieszczenia i prędkości myszki względem torów.

ROZWIĄZANIE W chwili t = 2 s:

Przykład 4 Wózek porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z szybkością v0 względem nieruchomego punktu O. Punkt M porusza się po okręgu o promieniu R ze stałą prędkością kątową ω tak, jak na rysunku (zaczynając z punktu P). Znaleźć równanie ruchu punktu M względem punktu O oraz prędkość bezwzględną i przyspieszenie bezwzględne punktu M.

ROZWIĄZANIE φ = ωt

ROZWIĄZANIE

Przyspieszenie Coriolisa na powierzchni Ziemi Wiele zjawisk zachodzących na powierzchni Ziemi jest związanych z jej obrotem wokół własnej osi, a co za tym idzie, z występowaniem przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa na powierzchni Ziemi Przykłady: Na półkuli północnej kierunek ruchu prądów morskich i wiatrów jest odchylony w prawo (przeciwnie niż na półkuli południowej). Przy prawym brzegu Wisły i Odry poziom wody jest wyższy. Gdy pociąg porusza się z południa na północ po południku, to bardziej zużywają się prawe szyny niż lewe.