MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny , zwanej płaszczyzną kierującą (Rys. 1). Przez ciało sztywne prowadzimy prostą l prostopadłą do płaszczyzny .

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Własności: Podczas dowolnego ruchu ciała prosta l porusza się ruchem postępowym i jest stale prostopadła do . Podczas ruchu obrotowego ciała wokół prostej l punkty leżące na prostej równoległej do l mają te same prędkości i przyspieszenia. Rys.1 Wniosek! Ruch płaski jest określony, jeżeli znamy ruch przekroju bryły po płaszczyźnie kierującej.

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Bryła wykonuje ruch płaski. Przekrój bryły S porusza się po płaszczyźnie rysunku z położenia I do II. I sposób (linia czerwona): Ruch postępowy przekroju z położenia I do IA; Obrót przekroju dookoła A1 o kąt φ. II sposób (linia niebieska): Ruch postępowy przekroju z położenia I do IB; Obrót przekroju dookoła B1 o kąt φ. Rys. 2

Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Twierdzenie W ruchu płaskim możemy przeprowadzić bryłę z położenia początkowego do położenia końcowego za pomocą ruchu postępowego oraz obrotowego dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez obrany biegun.

Środek Obrotu Zastępczego Obieramy punkty A i B danego przekroju (w położeniu I). Punkty te po wykonaniu ruchu zajmą położenie A1 i B1. Znajdujemy punkt C przecięcia się symetralnych odcinków AA1 i BB1. Widzimy, że ruch przekroju dokonał się za pomocą obrotu dookoła punktu C. Taki punkt nazywamy środkiem obrotu zastępczego (Rys. 3). Rys. 3

Środek Obrotu Chwilowego Punkty AB i A1B1 obieramy nieskończenie blisko siebie. Ruch w nieskończenie krótkim czasie nazywamy ruchem chwilowym. Ruch chwilowy przekroju po płaszczyźnie kierującej jest obrotem chwilowym dookoła punktu S zwanego środkiem obrotu chwilowe- go. Rys. 4

Środek Obrotu Chwilowego Własność! Środek S obrotu chwilowego leży w punkcie przecięcia się normalnych do torów punk- tów A i B (rys. 4). Rys. 4

Oś Obrotu Chwilowego Osią obrotu chwilowego nazywamy prostą przechodzącą przez środek obrotu chwilowego S i prostopadłą do płaszczyzny kierującej. Wokół tej osi dokonuje się również ruch chwilowy. Rys. 4

Centroidy i Aksoidy Punkty A1 i B1 poruszają się w płaszczyźnie po torach odpowiednio 1 i 2 (Rys. 5). S1, S2, S3,… – środki obrotów chwilowych odpowiednio w położeniach I, II, III,… Centroidą stałą Cs nazywamy miejsce geometryczne środków chwilowych Si na płaszczyźnie stałej. Rys. 5

Centroidy i Aksoidy Przenieśmy teraz odcinki A2B2, A3B3, A4B4,… do odcinka A1B1 (Rys. 5). Wierzchołki S2, S3, S4,… trójkątów A2B2S2, A3B3S3, A4B4S4 – znajdą się w położeniach S’2, S’3, S’4,… Centroidą ruchomą Cr nazywamy miejsce geometryczne środków chwilowych S’i na płaszczyźnie ruchomej, związanej z poruszającym się układem. Rys. 5

Centroidy i Aksoidy Aksoidą stałą nazywamy miejsce geometryczne osi obrotów chwilowych w układzie stałym (związanym z płaszczyzną kierującą). Jest to powierzchnia walcowa. Aksoidą ruchomą nazywamy miejsce geometryczne osi obrotów chwilowych w układzie ruchomym (związanym z poruszającą się bryłą). Jest to również powierzchnia walcowa.

Przewodnie prędkości i przyspieszeń Przewodnią prędkości (przyspieszeń) punktów poruszającego się ciała nazywamy linię , na której leżą końce wektorów ich prędkości (przyspieszeń). Przewodnią jest prosta.

Przewodnie prędkości i przyspieszeń Jak znaleźć mając dane i ? Końce wektorów prędkości punktów A i B dzielą przewodnią na odcinki proporcjonalne do odległości między nimi.

Równania Ruchu Płaskiego Przyjmijmy układ współrzędnych x, y, związany z płaszczyzną kierującą. Na ruchomym przekroju S obierzmy dowolny biegun A jako początek ruchomego układu współrzędnych , , związanego z poruszającym się przekrojem. – wektor położenia dowolnego punktu P w układzie stałym x, y. – wektor położenia punktu P w układzie ruchomym , . – wektor położenia bieguna A w układzie stałym. Uwaga! Rys. 3

Równania Ruchu Płaskiego – kąt zawarty między osią x a osią . Położenie układu ruchomego względem układu stałego:

Równania Ruchu Płaskiego Kinematyczne RÓWNANIA RUCHU PŁASKIEGO w postaci wektorowej Uwzględniając rzuty tych wektorów otrzymamy RÓWNANIA RUCHU PUNKTU P.

Prędkość w ruchu Płaskim Prędkość punktu P przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej: – prędkość punktu P przekroju – prędkość obranego bieguna A, jednakowa w danej chwili dla wszystkich punktów przekroju. Jest to prędkość ruchu postępowego. Prędkość końca wektora wskutek obrotu przekroju wokół bieguna A:

Prędkość w ruchu Płaskim Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju: Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest więc sumą geometryczną prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna.

Przyspieszenie w Ruchu Płaskim Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości względem czasu: czyli Iloczyn wektorowy , lecz w przypadku ruchu płaskiego wektory i są stale do siebie prostopadłe, a więc co upraszcza równanie do postaci

Przyspieszenie w Ruchu Płaskim gdzie – przyspieszenie punktu A w ruchu postępowym – przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A. – przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

Przykład 1 Pręt AB o długości l umocowany jest poziomo na kołach o promieniach r tak, jak na Rys. 7. Koło o środku O obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Znaleźć prędkość oraz przyspieszenie punktu B.

ROZWIĄZANIE Obieramy układ współrzędnych x i y oraz  i  tak, jak na rysunku. Oxy – układ nieruchomy; A – układ ruchomy. Wtedy

ROZWIĄZANIE

Przykład 2 Obliczyć prędkość kątową pręta AB oraz prędkość liniową punktu B mechanizmu korbowo-wodzikowego w chwili gdy φ1 = 60°. Walec toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie odległej od osi OB o promień walca 0,5 d. Dane: OA = d, AB = d√3, ω1 = const. d√3 d ½d

ROZWIĄZANIE Ponieważ ω1 = const, więc Równania ruchu punktu B: d√3 d ½d Należy znaleźć zależność pomiędzy kątami φ1 i φ2!

ROZWIĄZANIE Skorzystamy z twierdzenia sinusów: A zatem:

ROZWIĄZANIE Prędkość kątowa pręta AB jest równa: Równanie ruchu punktu B:

Prędkość liniowa punktu B: Dla φ1 = 60°:

Toczenie się walca po powierzchni Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni v v 2v v√2 v v v v v + = O O O v ω v v ω v√2 r. postępowy + = r. obrotowy r. płaski ω = v/r

Toczenie się walca po powierzchni Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni vobr – prędkość punktu P w ruchu obrotowym r1 O α vobr P v

Toczenie się walca po powierzchni Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni

Przykład 4 Walec o promieniu r toczy się bez poślizgu po wewnętrznej stronie nieruchomej powierz-chni walcowej o promieniu R, wprowadzony w ruch za pomocą korby OA. Prędkość kątowa korby wynosi ω1. Znaleźć: prędkości liniowe punktów A, B i D; prędkość i przyspieszenie liniowe walca. Dane: r, R, ω1.

ROZWIĄZANIE Korzystając z poprzedniego zadania: vD ω2 vA