11. Prąd elektryczny Po przyłożeniu zewnętrznego źródła pola elektrycznego (baterii) do przewodnika elektrycznego, siły działające na elektrony przewodnictwa powodują ruch ładunków i ustala się prąd elektryczny. Natężenie prądu elektrycznego definiuje się jako przepływ ładunku dQ w czasie dt: (11.1) Wielkość ta jest niezależna od zmian przekroju przewodnika. Jej jednostką jest 1A = 1C/s. Wprowadza się również wielkość mikroskopową, prąd na jednostkę przekroju A przewodnika, zwaną gęstością prądu Gęstość prądu jest wektorem, przy czym może się zmieniać w ramach danego przekroju i w ogólności związek tej wielkości z natężeniem prądu jest następujący (11.2) Swobodne elektrony w przewodniku (np.Cu) poruszają się chaotycznie ulegając zderzeniom z atomami miedzi. Pole elektryczne powoduje unoszenie, które nakłada się na ruch chaotyczny. W rezultacie następuje kierunkowy przepływ ładunku (dla elektronów przeciwny do kierunku pola elektrycznego, który jest umownym kierunkiem prądu).

Prąd elektryczny, cd. Drut (cylinder) o długości L i przekroju A zawiera ładunek , gdzie n jest koncentracją nośników prądu. Ładunek ten w czasie t przemieszcza się przez przekrój A dając gęstość prądu gdzie jest prędkością unoszenia (dryfu). Prędkości dryfu elektronów przewodnictwa w miedzi są bardzo małe w porównaniu z prędkością średnią ruchu chaotycznego vav : vd ~ 10-10 vav , (vd)Cu ≈ 10-2 cm/s. W półprzewodniku, gdzie wkład do prądu całkowitego wnoszą zarówno elektrony jak i dziury, mamy (11.3) - prędkości dryfu odpowiednio elektronów i dziur

11.1. Opór elektryczny (rezystancja) Opór elektryczny definiuje się jako stosunek różnicy potencjałów między końcówkami przewodnika i płynącego przez ten przewodnik prądu (11.4) Jednostką oporu jest 1 om = 1Ω = 1 V/A Opór właściwy (rezystywność) ρ materiału definiuje się z użyciem pola elektrycznego E i gęstości prądu j (11.5) Dla przewodnika w kształcie drutu opór zależy nie tylko od rodzaju materiału ale również od jego wymiarów geometrycznych następująco σ – przewodność właściwa Prawo Ohma Istnieją materiały, dla których zależność między przyłożonym napięciem i płynącym prądem jest liniowa. Materiały te spełniają prawo Ohma (11.6) Termin „prawo” jest używany ze względów historycznych. Równanie (11.6) nie zawsze jest spełnione.

11.2. Temperaturowe zmiany przewodnictwa W praktyce opór zmienia się zasadniczo w rezultacie zmian temperatury. Analizujemy tu zmiany oporu właściwego materiału, z pominięciem zmian jego parametrów geometrycznych. Dla niewielkiego przedziału zmian temperatury można przyjąć liniową zależność oporu właściwego od temperatury, definiując temperaturowy współczynnik rezystancji TWR (11.7) gdzie To jest wybraną temperaturą odniesienia, najczęściej pokojową, a ro oporem właściwym w tej temperaturze. Interpretacja mikroskopowa temperaturowych zmian przewodnictwa Z mikroskopowego punktu widzenia prędkość dryfu nośników prądu zależy od pola elektrycznego. Dzieląc wyrażenie na gęstość prądu przez E otrzymuje się (11.8)

Wprowadzając wielkość zwaną ruchliwością nośników można zapisać (11.8) w postaci lub bardziej ogólnie (11.9) Zarówno koncentracja nośników jak i ruchliwość mogą zależeć od temperatury. Zależność σ(T) jest charakterystyczna dla danego rodzaju materiału. Metale Dla metali, z wyłączeniem obszaru niskich temperatur, opór właściwy wzrasta prawie liniowo z temperaturą. Związane jest to z faktem, iż koncentracja nośników (elektronów) prawie nie zależy od temperatury a ruchliwość przy rozpraszaniu na drganiach sieci jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury Liniowa zależność ρ = ρ(T) dla Pt jest używana w pomiarach temperatury.

Koncentracja nośników ni zależy eksponencjalnie od temperatury Półprzewodniki W samoistnych (niedomieszkowanych) półprzewodnikach przewodność jest uwarunkowana ruchem elektronów i dziur. W tym przypadku Koncentracja nośników ni zależy eksponencjalnie od temperatury Eg – przerwa energetyczna półprzewodnika a ponieważ ruchliwość zależy słabo od temperatury, przewodność s spełnia zależność (11.10) Obliczając logarytm naturalny obu stron równania (11.10) otrzymuje się linię prostą w układzie współrzędnych lnσ = f(1/T) (11.11) Z równania (11.11) można wyznaczyć przerwę energetyczną Eg dla danego płprzewodnika. A Przerwy energetyczne wybranych półprzewodników (eV) german 0.7 krzem 1.1 diament 5.2

11.3. Siła elektromotoryczna (SEM) Źródło SEM, wykonując pracę na nośnikach ładunku, utrzymuje różnicę potencjałów między biegunami. SEM źródła można zdefiniować jako pracę przypadającą na jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło przenosząc ładunek z bieguna o niższym potencjale „-” do bieguna o wyższym potencjale „+”. ε =dW/dq (11.12) Obwód o jednym oczku Zmiany potencjału w analizowanym obwodzie poczynając od punktu b: lub (11.13) 1,2 – punkty, do których dołącza się obwód zewnętrzny Obwód rozłożony jako linia oraz zmiany potencjału w tym obwodzie przy jego przechodzeniu poczynając od punktu b Zewnętrzny opór R jest dołączony do baterii o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym r A Vb + ε – Ir – IR = Vb ε – Ir – IR = 0

11.4. Prawa Kirchhoffa ε1 – I1R1 – I2R2 - ε2 + I4R4 - ε3= 0 Równanie (11.13) można wyprowadzić z ogólnego prawa słusznego dla dowolnego oczka, zwanego II prawem Kirchhoffa: algebraiczna suma zmian potencjału przy pełnym obejściu oczka jest równa zeru. Przy wyznaczaniu zmian potencjału podczas obchodzenia oczka należy stosować następujące reguły: reguła 1: przechodząc wzdłuż opornika w kierunku płynącego prądu zmiana potencjału jest ujemna –iR, przy przechodzeniu w przeciwną stronę wynosi + iR reguła 2: przechodząc prez źródło SEM zgodnie z kierunkiem strzałki SEM, tzn. od – do +, zmiana potencjału wynosi + ε. Przykład zastosowania tego prawa dla oczka wg. rysunku: ε1 – I1R1 – I2R2 - ε2 + I4R4 - ε3= 0 Terminologia: - dowolny zamknięty obwód nazywany jest oczkiem (pętlą) - węzeł to punkt, w którym spotykają się co najmniej 3 przewody - gałąź to odcinek obwodu między sąsiednimi węzłami; prąd w gałęzi jest niezmienny. A

Prawa Kirchhoffa, cd. Z prawa zachowania ładunku można wywnioskować, że w węźle nie może gromadzić się ładunek, czyli całkowity prąd dochodzący do węzła musi być równy prądowi wychodzącemu. Stanowi to podstawę I prawa Kirchhoffa: Algebraiczna suma prądów schodzących się w węźle jest równa zero. i1- i2 + i3 – i4 = 0 albo i1+ i3= i2+ i4 W rozgałęzionym obwodzie mamy wiele gałęzi, w których płyną różne prądy. Użycie praw Kirchhoffa umożliwia znalezienie nieznanych prądów i napięć, jeżeli znamy wartości SEM źródeł oraz oporności w gałęziach. Jeżeli mamy n węzłów i p gałęzi, wówczas układamy: n – 1 niezależnych równań w oparciu o I prawo p – n + 1 równań w oparciu o II prawo Kirchhoffa.

Zadanie 1 Znaleźć wartości prądów w obwodzie pokazanym na rysunku, gdzie 1. Obieramy umownie kierunki i oznaczamy wszystkie prądy płynące w poszczególnych gałęziach. 2. Zapisujemy równania w oparciu o prawa Kirchhoffa: jedno w oparciu o I prawo (2 węzły) i dwa w oparciu o II prawo (3 gałęzie) Układ równań można rozwiązać przykładowo metodą Cramera. Porządkowanie: Wyznacznik ze współczynników: Kolejny wyznacznik gdzie pierwsza kolumna została zastąpiona przez wolne wyrazy: Pierwszy prąd: , itd. A

Zadanie 2 Wyznaczyć nieznany opór Rx w konfiguracji mostka Wheatstone’a. Gdy mostek jest zrównoważony VBC = 0. Opór R2 jest regulowany tak, aby uzyskać VBC = 0, co oznacza VC = VB. W takim przypadku w gałęziach górnej i dolnej występują tylko dwa prądy. Można zatem napisać: Dzieląc powyższe równania stronami otrzymuje się: Jest to ilustracja dokładnej metody wyznaczania nieznanego oporu. I1 Rx = I2R3 I1 R2 = I2R4