STATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW

Opór elektryczny i opór elektryczny właściwy Plan wykładu Opór elektryczny i opór elektryczny właściwy Zależność oporu od temperatury Prawo Ohma – obraz klasyczny i mikroskopowy I i II prawo Kirchhoffa Siła elektromotoryczna Łączenie oporników Praca i moc prądu stałego Prąd elektryczny w cieczach, prawa elektrolizy Faradaya Prąd elektryczny w próżni i gazach

Ciecz, której gęstość nie zależy od ciśnienia. MODELE SUBSTANCJI MODEL PUNKTU MATERIALNEGO MODEL BRYŁY SZTYWNEJ MODEL CIECZY NIELEPKIEJ Ciecz, której gęstość nie zależy od ciśnienia. Jest to ośrodek ciągły, w którym istnieją jedynie napięcia normalne jednakowe w każdym kierunku, napięcia styczne natomiast znikają. Równanie stanu dla takiej cieczy ma postać: = const.

Statyka płynów CIŚNIENIE I GĘSTOŚĆ W cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą parcia, musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu, gdyż spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć. Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni. Ciśnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów zawsze prostopadle do tych ścianek i przekrojów. Jednostką ciśnienia jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m2 Do opisu płynów stosujemy również pojęcie gęstości ρ : Gęstość płynów zależy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie.

Z równowagi sił w kierunku pionowym wynika : CIŚNIENIE HYDROSTATYCZNE Z równowagi sił w kierunku pionowym wynika : p0- ciśnienie na powierzchni –atmosferyczne

Zmiany ciśnienia z wysokością w atmosferze ziemskiej W atmosferze ziemskiej wraz ze wzrostem wysokości zmienia się gęstość powietrza. Zakładając, proporcjonalność gęstości do panującego ciśnienia możemy wyznaczyć zmiany ciśnienia z wysokością w atmosferze (tzw. wzór barometryczny).

PRAWO PASCALA Rozpatrzmy teraz ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który działamy siła F1. Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia. Prasa hydrauliczna

Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa się siłą wyporu. PRAWO ARCHIMEDESA Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie, to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa się siłą wyporu. Ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu

Kiedy ciało jest zanurzone w całości: PRAWO ARCHIMEDESA Kiedy ciało jest zanurzone w całości: - gęstość płynu 1- średnia gęstość ciała  < 1 – ciało tonie  > 1 – pływa częściowo zanurzone

Opis Lagrange’a - podajemy położenie DYNAMIKA CIECZY Opiszmy ruch płynu czyli dynamikę. Można to zrobić na dwa sposoby: opisując ruch poszczególnych cząstek płynu, albo podając jej gęstość i prędkość w każdym punkcie w funkcji czasu Opis Lagrange’a - podajemy położenie każdej cząstki cieczy w funkcji czasu

Opis Eulera - wybieramy punkt przestrzeni, DYNAMIKA CIECZY Opis Eulera - wybieramy punkt przestrzeni, rejestrujemy prędkości, z którymi przechodzą przez dany punkt cząstki cieczy.  

Ustalony: V = const w dowolnym punkcie w czasie. DYNAMIKA CIECZY – RODZAJE PRZEPŁYWU CIECZY Ustalony: V = const w dowolnym punkcie w czasie. Nieustalony: V  const w dowolnym punkcie w czasie. Wirowy:   const w dowolnym punkcie w czasie. Bezwirowy: cząstka nie ma wypadkowej  w żadnym punkcie płynu. Ściśliwy:   const Nieściśliwy:  = const Lepki i nielepki: opór płynów przeciwko płynięciu pod działaniem sił zewnętrznych W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich. Co to oznacza? Oznacza to tyle, ze każda cząstka przechodząca przez dowolny punkt cieczy ma taką samą prędkość w tym punkcie a w innym inną

Laminarny: Przepływ ma charakter warstwowy. DYNAMIKA CIECZY – RODZAJE PRZEPŁYWU CIECZY Laminarny: Przepływ ma charakter warstwowy. Cząstki cieczy nie przechodzą z warstwy do warstwy. Turbulentny: Płyn miesza się (nie zachowuje charakteru warstwowego). Prędkość cząstek w danym punkcie zmienia się chaotycznie.   Kryterium podziału na ruch laminarny i turbulentny jest wielkość bezwymiarowa zwana liczbą Reynoldsa Re. gdzie:  – gęstość cieczy  – średnia (w przekroju poprzecznym) prędkość  – współczynnik lepkości l – charakterystyczny rozmiar przekroju poprzecznego (bok kwadratu) Dla małych Re – przepływ laminarny. Począwszy od tzw. wartości krytycznej Rekr – przepływ turbulentny.   Przejście przepływu laminarnego w turbulentny zachodzi, gdy Re > Rekr.  Wielkość Rekr zależy od szeregu czynników: gładkości ścianek rury, sposobu wprowadzania cieczy do rury. Dla gładkich powierzchni rur Rekr  2300.

Tor cząstek przechodzących przez określony punkt nazywamy linią prądu DYNAMIKA CIECZY – LINIE PRĄDU I STRUGI Tor cząstek przechodzących przez określony punkt nazywamy linią prądu Linie prądu są równoległe do prędkości w każdym punkcie i nie mogą się przecinać Dla przepływu ustalonego (laminarnego) linie prądu tworzą wiązkę zwaną strugą prądu. Ograniczenia strugi są równoległe do prędkości cząsteczek płynu i cząsteczki płynu nie wypływają. Strugę tworzą skończona liczba linii prądu

Dla cieczy nieściśliwych 1= 2 stąd: RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI Strumień masy: Dla cieczy nieściśliwych 1= 2 stąd: W przypadku ogólnym:

Z prawa ciągłości: 1 D l1S1 = 2 D l2S2. PRAWO BERNOULIEGO P1 – siła parcia na powierzchnię S1; P1 = p1S1 p1 – ciśnienie na powierzchnię S1 P2 – siła parcia na powierzchnię S1; P2 = p2S2 p2 – ciśnienie na powierzchnię S2 W czasie t przez powierzchnię S1 przepływa ciecz o masie: m1 = 1 D l1S1, zaś przez S2: m2 = 2 D l2S2. Z prawa ciągłości: 1 D l1S1 = 2 D l2S2. Przyrost energii  warstwy cieczy o masie m1 = m2 = m równy jest pracy wykonanej przez siły zewnętrzne nad tą warstwą cieczy.

Objętość płynu jaka przepłynie przez powierzchnię S1 i S2: PRAWO BERNOULIEGO Objętość płynu jaka przepłynie przez powierzchnię S1 i S2:

PRZYKŁADY Wzór Torricellego

Rurka Ventouriego Równanie Bernouliego może być wykorzystane do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia. Posłużymy się rurką z przewężeniem z dwiema rurkami służącymi do pomiaru ciśnienia.

PARADOKS HYDROSTATYCZNY

Rozkład prędkości płynu w różnych przekrojach cylindrycznych rury. PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ Rozkład prędkości płynu w różnych przekrojach cylindrycznych rury. Odległość miedzy przekrojami 1-1 i 5-5 nazywamy długością odcinka stabilizacji hydrodynamicznej.

 – współczynnik lepkości S – powierzchnia styku warstw PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ W przepływie cieczy istotną rolę odgrywa siła tarcia pomiędzy warstwami cieczy zwana siłą lepkości. W laminarnym przepływie cieczy siła lepkości między dwiema sąsiednimi warstwami, poruszającymi się z prędkościami ,  + d wynosi: wzór Newtona gdzie: F – siła lepkości  – współczynnik lepkości S – powierzchnia styku warstw – szybkość zmian prędkości w kierunku prostopadłym do samej prędkości (gradient prędkości cieczy)

Rozważmy ciecz w walcu o promieniu r i długości l; PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ Zmianie odległości od osi rury równej dr odpowiada zmiana prędkości o d. Rozważmy ciecz w walcu o promieniu r i długości l; p1, p2 – ciśnienie na powierzchnie 1, 2.

wypadkowa siła parcia wynosi: (p1 – p2)  r2. PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ Siła parcia na powierzchnię 1 wynosi: p1 r2, zaś na powierzchnię 2: p2 r2. wypadkowa siła parcia wynosi: (p1 – p2)  r2. Zwrot tej siły jest zgodny z ruchem cieczy. Jednocześnie działa siła lepkości: Warunek stacjonarności ma postać:

Wartość wypadkowej siły parcia równa jest wartości siły lepkości PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ Wartość wypadkowej siły parcia równa jest wartości siły lepkości (zwroty tych sił są przeciwne). Prędkość maleje wraz ze wzrostem odległości od osi rury czyli: Stąd:

* Rozdzielamy zmienne Całkujemy stronami PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ Rozdzielamy zmienne Całkujemy stronami * stała całkowania Stałą całkowania obliczamy przyjmując, że dla r = R  = 0 stąd 2

* ** ** podstawiając tę wartość C do wzoru otrzymujemy: lub PRZEPŁYW CIECZY PRZEZ OKRĄGŁA RURĘ * podstawiając tę wartość C do wzoru otrzymujemy: ** lub Wartość prędkości na osi rury wynosi: ** Można zatem wzór zapisać gdzie:   prędkość w odległości r od osi

Poprzeczny przekrój rury dzielimy na pierścienie o grubości dr. WYDAJNOŚĆ STRUMIENIA Przy założeniu, że przepływ jest laminarny obliczamy tzw. wydajność strumienia cieczy Q. Wartość liczbowa Q równa jest objętości cieczy, która przepływa przez przekrój poprzeczny rury w jednostce czasu. Poprzeczny przekrój rury dzielimy na pierścienie o grubości dr. Przez pierścień o promieniu r przepływa w jednostce czasu ciecz o objętości równej iloczynowi powierzchni poprzecznego przekroju pierścienia 2rdr i prędkości przepływu w odległości r od osi rury Zatem

WYDAJNOŚĆ STRUMIENIA Wydajność strumienia cieczy Q otrzymamy całkując to wyrażenie w granicach od zera do R. R2

8hl ale stąd wzór Poiseuille’a WYDAJNOŚĆ STRUMIENIA ale stąd wzór Poiseuille’a 8hl Wydajność strumienia Q jest wprost proporcjonalna do spadku ciśnienia na jednostkę długości rury oraz czwartej potęgi promienia rury R. Q zależy od rodzaju cieczy (temperatury). Tę zależność określa współczynnik . Q jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika lepkości .

F║ - siła oporu czołowego Zjawisko Magnusa F┴ - siła nośna F║ - siła oporu czołowego

Dla walca nieskończonego: Wzory Kutta-Żukowskiego: gdzie G jest krążeniem wektora prędkości po konturze C: Warunek prostopadłości siły F do kierunku prędkości cieczy:

Przepływ cieczy przez okrągłą rurę Warunek stacjonarności: Siła lepkości: (Wzór Newtona) Wypadkowa siła parcia:

Wydajność strumienia cieczy wzór Poisenville’a

Prawo Hagena-Poisenville’a Przy laminarnym (warstwowym) przepływie cieczy lepkiej przez rurę spadek ciśnienia jest wprost proporcjonalny do objętości cieczy przepływającej przez przekrój rury w jednostce czasu i do długości rury, a odwrotnie proporcjonalny do czwartej potęgi promienia rury.