8. Fale Każe zaburzenie, które propaguje się z dobrze określoną prędkością nazywamy falą. Fale można ogólnie sklasyfikować w trzech grupach: Fale mechaniczne: istnieją wyłącznie w ośrodkach materialnych takich jak powietrze, woda, itp. Masa ośrodka i jego własności sprężyste wpływają na propagację fal mechanicznych. 2. Fale elektromagnetyczne: rozchodzące się zaburzenie w postaci pola elektrycznego i magnetycznego opisane równaniami Maxwella. Nie wymagają istnienia ośrodka materialnego. Typowe przykłady: fale radiowe, światło, promienie Roentgena, promienie gamma. 3. Fale materii: skojarzone z wszystkimi mikrocząstkami (elektrony, protony, itp.) Fala poprzeczna – zaburzenie jest prostopadłe do kierunku propagacji fali.. Fala podłużna – zaburzenie jest równoległe do kierunku propagacji fali. Fala w nciągniętej linie Fala dźwiękowa w rurze

gdzie k – liczba falowa, λ – długość fali, T – okres drgań Zaburzenie może być opisane funkcją określającą jego wielkość w punkcie x i w chwili t. Jeżeli oscylacje źródła fali opisuje funkcja harmoniczna zatem można zapisać . Ruch danego elementu ośrodka w położeniu x i w chwili t jest taki sam jak ruch źródła w punkcie x = 0 i wcześniejszej chwili (v – prędkość fali). (8.1) gdzie k – liczba falowa, λ – długość fali, T – okres drgań Zdjęcie migawkowe fali poprzecznej w strunie (w tym przypadku ψ(x,t) = y(x,t) w równ.(8.1)). Pokazana jest długość fali λ mierzona względem wybranego punktu x1 . A

8.1. Prędkość fazowa fali Argument funkcji sinus w równaniu (8.1) jest nazywany fazą: (8.2) Aby utrzymać stałość fazy ze wzrostem czasu t, to jak wynika z równ. (8.2) x musi Również rosnąć co oznacza, że faza (8.2) opisuje falę poruszającą w dodatnim kierunku osi x. Obliczając różniczkę fazy φ(x,t) otrzymuje się: (8.3) Dla stałej fazy dφ=0, zatem albo (8.4) Wielkość vφ (albo v) jest prędkością fazową (prędkość propagacji danej fazy). równ. (8.4) można ogólnie zapisać następująco (8.5) co jest nazywane relacją dyspersji. Prędkość fazowa może być funkcją k (albo λ) co oznacza, że fala będąca superpozycją fal o różnych k ulega dyspersji. W tym przypadku zmienia się jej kształt podczas propagacji, gdyż fale składowe poruszają się z różnymi prędkościami. A Dwa zdjęcia migawkowe fali poruszającej się z prędkością v.

8.2. Równanie falowe W jednym wymiarze równanie falowe można zapisać w postaci równanie różniczkowe cząstkowe (8.6) Równ. (8.6) jest spełnione przez superpozycję fal poruszających się ze stałą prędkością v. Przykładowo sprawdzamy założenie, że równ.(8.6) jest spełnione przez superpozycję fal poruszających się w kierunkach +x i –x (8.7) Obliczając pochodne otrzymuje się: (8.7a) (8.7b) Podstawiając (8.7a) i (8.7b) do (8.6) otrzymuje się co oznacza, że równ. (8.6) jest spełnione przez wyrażenie (8.7). A

8.3. Zasada superpozycji Równanie falowe jest liniowe. Dla tego typu równań słuszne jest nast. twierdzenie: jeżeli ψ1 i ψ2 są rozwiązaniami równania, wówczas funkcja c1 ψ1 + c2 ψ2 jest również rozwiązaniem (c1 i c2 są stałymi). Bezpośrednią konsekwencją liniowości równania falowego jest zasada superpozycji: Dwie różne fale rozchodzą się niezależnie od siebie w danym ośrodku; wypadkowe zaburzenie w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili jest superpozycją (sumą) zaburzeń wnoszonych przez każdą falę. Jeżeli jedna fala jest scharakteryzowana przez przemieszczenie y1(x,t) a druga przez przemieszczenie y2(x,t), wypadkowa fala powstała w wyniku nałożenia obu fal jest sumą algebraiczną Nakładanie fal nie zmienia żadnej z nich. A Nałożenie dwu impulsów poruszających się w przeciwnych kierunkach.

8.4. Prędkość grupowa Jeżeli fala jest ciągła i nieskończenie długa z jedną prędkością i wektorem falowym, nie przenosi żadnego sygnału (informacji). Fala musi mieć „kształt”, musi być zmodulowana. W takim przypadku mamy paczkę falową, składającą się z fal o różnych częstotliwościach. Taka paczka falowa porusza się z prędkością grupową, która jest prędkością propagacji energii. Jako przykład weźmy pod uwagę superpozycję dwu fal harmonicznych o prawie jednakowych częstościach ω1, ω2 i liczbach falowych k1 oraz k2, rozchodzących się w tym samym kierunku x: (8.8) Korzystając z tożsamości: otrzymuje się z (8.8) (8.9) Zakładając dodatkowo, że : A

Prędkość grupowa, cd. równ. (8.9) można zapisać następująco: (8.10) W efekcie otrzymalismy równanie fali bieżącej ze zmodulowaną amplitudą (AM). Amplituda ta jest równa (8.10a) Migawkowe zdjęcie fali zmodulowanej amplitudowo (AM) dla ωmod << ωśr A

Prędkość grupowa, cd. Jaka jest prędkość modulacji? Jest to prędkość danej fazy, np. grzbietu, fali zmodulowanej. Otrzymuje się to z warunku stałości fazy w równaniu (8.10a) (8.11) co daje (8.12) W ogólności ω i k łączy związek dyspersyjny (8.13) i prędkość modulacji nazywana jest prędkością grupową (8.14) „Sygnal” będący grzbietem fali ze zmodulowaną amplitudą rozchodzi się z prędkością grupową a nie ze średnią prędkością fazową A Prędkość grupowa vg (czerwona strzałka) i średnia prędkość fazowa vśr (grzbiet danej fali – strzałka zielona)

Prędkość grupowa, cd. Przykłady prędkości grupowych Promieniowanie elektromagnetyczne w próżni Relacja dyspersji: ω = ck Prędkość fazowa: v = ω/k = c (nie zależy ani od ω ani od k zatem fale świetlne w próżni nie ulegają dyspersji) Prędkość grupowa: vg = dω/dk = c (modulacje rozchodzą się z prędkoscią c) Fale akustyczne Relacja dyspersji: Prędkości: Prędkość fali akustycznej zależy od modułu ściśliwości B i gęstości ośrodka ρ. A Δp W ściśliwych i gęstych ośrodkach prędkość dźwięku jest mała. nadciśnienie Δp powoduje zmianę objętości ΔV

8.5. Interferencja fal Fale ze stałymi w czasie fazami interferują (wszytstkie typy fal). Źródła wysyłające takie fale nazywają się koherentnymi. Typowe przykłady to źródła fal radiowych lub mikrofal. Naturalne źródła światła nie są koherentne. W tym przypadku aby zaobserwować zjawiska dyfrakcyjne trzeba użyć przesłon ze szczelinami. (eksperyment Younga, 1801). Mała szczelina S0 w pierwszej przesłonie powoduje, że źródła S1 i S2 są koherente. Fale ze źródeł S1 i S2 mają jednakowe fazy, częstości i amplitudy. W punkcie P fale mają różne fazy i ta różnica zależy od położenia punktu P na ekranie. W rezultacie otrzymuje się prążki interferencyjne. Superpozycja fal w punkcie P daje (8.15) Różnica faz tych fal jest równa (8.16) zatem zależy od róznicy dróg r2 – r1. A

Interferencja fal, cd. Rozpatrzmy następujące przypadki: 1. otrzymuje się maksymalną amplitudę – interferencja konstrktywna. Warunek ten wg. (8.16) można zapisać jako albo (8.17) co oznacza, że różnica dróg jest całkowitą wielokrotnością długości fali. 2. - interferencja destrktywna. W zapisie równoważnym albo (8.18) co oznacza, że różnica dróg jest nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali. Dla innych przypadków mamy interferencję pośrednią. Przykład Interferencja dwu fal sinusoidalnych y1=Asin(kx-ωt) oraz y2= Asin(kx-ωt+φ) co daje y = y1+y2 = 2Acos(φ/2)sin(kx-ωt+φ/2). Fale wypadkowe dla trzech różnych przesunięć fazowych pokazano na rysunku obok. A

8.6. Fale stojace Analizujemy interferencję dwu fal poruszających się w kierunkach przeciwnych. Stosując zasadę superpozycji otrzymuje się (8.19) Otrzymaliśmy równanie ruchu oscylacyjnego z amplitudą A’(x) zmieniającą się z położeniem x. Jest to fala stojąca. Zależna od położenia amplituda przyjmuje wartości zerowe dla kx = nπ (węzły) i posiada wartości maksymalne dla kx = (n + ½) π (strzałki). strzałka węzeł Dziesięć zdjęć migawkowych fali stojącej. Zarówno sąsiednie węzły jak i sąsiednie strzałki są oddalone o λ/2.

Fale stojące, cd. Pięć zdjęć migawkowych w określonych momentach czasu dla fal biegnących w lewo, w prawo i superpozycja obu fal. Falę stojącą można wytworzyć w wyniku nałożenia fali padającej i odbitej od przeszkody. Gdy następują straty energii w wyniku odbicia, nie obserwuje się punktowych węzłów. W tym przypadku wprowadza się tzw współczynnik odbicia fali stojącej SWR (ang. standing wave ratio) zdefiniowany następująco Ar- amplituda fali odbitej Ai- amplituda fali padającej A

Fale stojące, rezonans Gdy staramy się wytworzyć falę stojącą w strunie zamocowanej na obu końcach, tylko dla określonych częstości w wyniku interferencji powstają fale stojące. Częstości te nazywają się częstociami rezonansowymi układu a samo zjawisko nosi nazwę rezonansu. Ogólnie rezonans ma miejsce gdy fala stojąca spełnia warunki brzegowe układu. Dla przypadku pokazanego na rysunku sprowadza się to do wymagania aby amplitudy w punktach A i B były zerowe (węzły) gdyż w tych punktach struna jest zamocowana. Najniższa częstość rezonansowa w układzie pokazana jest na rys.(a). Druga fala stojąca ma trzy węzły i częstości rys.(b) Ogólnie dla układu ze struną zamocowaną na obu końcach otrzymuje się A B A