5. Środek masy, Zderzenia 5.1. Środek masy Aby opisać ruch układu cząstek (a także ich ciągłego rozkładu – ciała stałego), wprowadza się pojęcie środka masy. Kij bejsbolowy wyrzucony w powietrze porusza się w skomplikowany sposób, ale jeden z jego punktów, środek masy CM, porusza się po paraboli. CM porusza się tak, jakby cała masa ciała była w nim skupiona i wszystkie siły zewnętrzne były do niego przyłożone (do sprawdzenia). Zdefiniujemy położenie CM dla układu cząstek następująco (5.1) Dla ciała stałego sumowanie w równaniu (5.1) musi być zastąpione całkowaniem (5.2) gdzie jest gęstością.

Środek masy, c.d. Dla ciała jednorodnego (ρ=const), położenie CM zależy tylko od kształtu ciała (5.3) Przykłady Dwie cząstki o masach m1 i m2 w odległości wzajemnej d. Położenie CM znajdujemy umieszczając obie cząstki na osi x . Z równania (5.1) otrzymuje się Przyjmując x1=0 otrzymuje się Środek masy trójkąta. W tym przypadku zamiast stosowania równania (5.3), można podzielić trójkąt na małe paski równolegle do każdego z boków. Środek masy każdego paska leży w jego połowie. Dochodzimy ostatecznie do wniosku, że przecięcie środkowych boków trójkąta wyznacza jego CM.

5.2. Ruch układu cząstek Dla układu n cząstek można zapisać równanie (5.1) następująco (5.4) Różniczkując obie strony równania (5.4) po czasie otrzymuje się (5.5) Różniczkując ponownie po czasie równanie (5.5) mamy (5.6) Równanie (5.6) może być zapisane następująco (5.6a) W skład prawej strony równania (5.6a) wchodzą wszystkie siły, zarówno wewnętrzne działające między cząstkami, jak i siły zewnętrzne. Z III zasady dynamiki Newtona suma wszystkich sił wewnętrznych jest równa zero, gdyż występują one parami, a zatem prawa strona równania (5.6a) jest wektorową sumą sił zewnętrznych, siłą wypadkową. W tym przypadku otrzymuje się: (5.7) To potwierdza założenie poczynione na początku paragrafu. II zasada dynamiki zastosowana do układu mas

5.3. Pęd układu cząstek Równanie (5.5) można zapisać następująco (5.8) A zatem pęd wypadkowy układu cząstek (prawa strona powyższego równania) jest równy iloczynowy masy całkowitej układu i prędkości środka masy (5.9) Różniczkując równanie (5.9) względem czasu otrzymuje się (5.10) Z powyższej zależności, po uwzględnieniu równania (5.7) otrzymuje się (5.11) Na podstawie (5.11) wnioskujemy, że jeżeli jest równe zero, zatem (5.12) Pęd układu zmienia się na skutek działania sił zewnetrznych (druga zasad Newtona dla układu cząstek). Dla izolowanego układu jego pęd nie zmienia się (prawo zachowania pędu dla układu cząstek).

Pęd układu, przykład Stojący na lodzie łyżwiarz A w pewnym momencie odpycha od siebie innego łyżwiarza B, który zaczyna się poruszać z prędkością 3 m/s. Jaki jest kierunek i wartość prędkości początkowej łyżwiarza A? Masy łyżwiarzy wynoszą mA = 100 kg, mB = 60 kg. Pęd układu w chwili początkowej wynosił zero i ponieważ zadziałały siły wewnętrzne, więc się nie zmienił. Skierowując te wektory wzdłuż osi x można napisać lub Tzn. wektor ma przeciwny zwrot niż .

5.4. Zderzenia Pęd ciała można zmienić w wyniku zderzenia z innym. Przykładem może być uderzenie kija bejsbolowego w piłkę. Siły działające podczas zderzenia są duże i działają krótko. Na podstawie drugiej zasady dynamiki można zapisać (5.13) Całkując równanie (5.13) w przedziale czasu Δt = tf – ti otrzymuje się zmianę pędu lub (5.14) Zmiana pędu ciała jest równa popędowi siły. Na rys. po lewej pokazana jest zmiana w czasie siły z jaką oddziałuje kij bejsbolowy na piłkę. Pole powierzchni pod krzywą F(t) jest równe wartości popędu doznawanego przez piłkę podczas zderzenia.

Zderzenia, cd. W wielu przypadkach mamy do czynienia z układami izolowanymi, w których ciała zderzają się wzajemnie. W takim przypadku pęd układu nie zmienia się i niezależnie od rodzaju zderzenia suma pędów zderzających się ciał pozostaje stała. Gdy energia kinetyczna układu po zderzeniu nie zostaje zachowana to nazywamy je niesprężystym. W przeciwnym przypadku zderzenie jest sprężyste. Zderzenie traktujemy jako całkowicie niesprężyste gdy dwa ciała po zderzeniu nie rozdzielają się. W przypadku zderzenia w jednym wymiarze ruch ciał przed i po zderzeniu odbywa się wzdłuż jednej linii prostej. Z prawa zachowania pędu można napisać (ponieważ ruch jest jednowymiarowy nie musi się stosować zapisu wektorowego): (5.15) Zderzenie całkowicie niesprężyste w jednym wymiarze

Zderzenia, cd. a zatem prędkość połączonych ciał po zderzeniu jest równa: (5.16) Łatwo sprawdzić, że energia kinetyczna mas po zderzeniu jest mniejsza niż suma ich energii kinetycznych przed zderzeniem. Zderzenie sprężyste w jednym wymiarze Korzystając z praw zachowania pędu i energii kinetycznej można zapisać (5.17) (5.18) Rozwiązując układ równań (5.17) i (5.18) można wyznaczyć prędkości u1 i u2 po zderzeniu Gdy cząstki mają te same masy, wymieniają prędkości po zderzeniu

Zderzenia, cd. Zadanie Na rys. poniżej masa m2 znajduje się w spoczynku na gładkim stole i jest przymocowana do ściany za pomocą sprężyny o stałej sprężystości k. Masa m1 poruszająca się z prędkością v1 zderza się z masą m2 i obie masy łączą się napinając sprężynę. Gdy masy te na moment się zatrzymują, to o ile skróciła się wtedy sprężyna? Z zasady zachowania pędu otrzymuje się: u0 – prędkość w momencie rozpoczęcia sprężania Energia kinetyczna układu mas zamienia się w energię potencjalną sprężyny

5a. Grawitacja 5a.1. Prawo powszechnego ciążenia Dwie cząstki przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji, z których każda jest proporcjonalna do iloczynu ich mas. Prawo to sformułował Newton w postaci: m1 i m2 – masy cząstek r – odległość między cząstkami G = 6.67 · 10-11 Nm2/kg2 - stała grawitacyjna Prawo grawitacji można zapisać w postaci wektorowej (5.19) Chociaż prawo to stosuje się ściśle do punktowych cząstek, można je stosować również do obiektów rzeczywistych z rozmiarami małymi w porównaniu do odległości między nimi. Można je także stosować do mas o symetrii sferycznej.

5a.2. Przyciąganie grawitacyjne Ziemi Ziemia przyciąga masę m położoną w odległości r od jej środka siłą (5.20) Siła grawitacji F powoduje spadanie masy m w kierunku środka Ziemi z przyspieszeniem (5.21) Przyspieszenie grawitacyjne zmienia się z wysokością h = r – RZ nad powierzchnią Ziemi. Z równania (5.21) otrzymuje się : h (km) ag (m/s2) 0 9.83 400 8.70 35700 0.225 (sat. telekom.) Musimy jednak mieć na uwadze, że Ziemia nie jest kulista (bardziej podobna do elipsoidy obrotowej spłaszczonej na biegunach), jej gęstość nie jest stała i obraca się wokół osi. Zatem założenie, że w każdym miejscu na powierzchni Ziemi g = 9.8 m/s2 jest uproszczeniem. W ogólności g jest mniejsze na równiku od ag wg. wzoru (5.21) o 0.034m/s2 .

5a.3. Ruch planet i satelitów Do analizy tego ruchu stosuje się zasady dynamiki Newtona i prawo powszechnej grawitacji. Na rys. obok dwa obiekty o porównywalnych masach obracają się wokół wspólnego środka masy C. Mają te same prędkości kątowe ω. Z trzeciej zasady dynamiki siły dośrodkowe działające na każdą z mas są sobie równe i równe sile grawitacji (5.22) (5.23) Dla układu gwiazda planeta masa gwiazdy jest znacznie większa niż planety (M>>m), stąd R<<r. W tym przypadku z (5.23 ) otrzymuje się (5.24) W ogólności planety poruszają się po orbitach eliptycznych z gwiazdą, np. Słońce, w jednym z ognisk (pierwsze prawo Keplera) i w tym wypadku w miejsce r w równaniu (5.24) podstawia się półoś dużą elipsy a.

Ruch planet i satelitów, cd. Zalezność między T2 i r3 otrzymana z (5.24) jest również znana jako tzw. III prawo Keplera. Z zależności tej można określić masę gwiazdy gdy znane są T oraz r dla orbitującej planety. Równ. (5.24) może być również użyte do analizy ruchu satelitów wokółziemskich (w tym wypadku podstawiamy M = MZ). Przykład Stosując równ. (5.24) wyznaczyć promień orbity satelity geostacjonarnego, który wydaje się nieruchomy dla obserwatora na powierzchni Ziemi. Wnioskujemy, że w tym wypadku płaszczyzna orbity satelity musi leżeć w płaszczyźnie równika. (5.25) Z (5.25) wyznacza się r (5.26) Po podstawieniu wymaganych danych otrzymuje się dla r ok. 42 000 km.

5a.4. Grawitacyjna energia potencjalna Siła grawitacji jest typową siłą zachowawczą. W rozdz. 4.4 wprowadzono wyrażenie na energię potencjalną w punkcie B danym wektorem r w odniesieniu do energii potencjalnej UA w punkcie A Zakładając, że UA= 0 dla r = ∞ otrzymuje się wyrażenie na energię potencjalną cząstki w polu sił zachowawczych (5.27) Jeżeli źródłem siły zachowawczej FC jest Ziemia otrzymuje się z (5.27) (5.28) Równ. (5.28) jest wyrażeniem na energię potencjalną masy m w polu grawitacyjnym masy M (ściśle jest to energia potencjalna układu dwu mas).

Grawitacyjna energia potencjalna, cd. Prędkość ucieczki Z jaką prędkością początkową należy z powierzchni Ziemi wystrzelić pionowo pocisk aby nie wrócił na Ziemię. Z równ. (5.28) wynika, że w nieskończoności energia potencjalna pocisku jest równa zero. W nieskończoności pocisk się zatrzymuje, zatem jego energia kinetyczna również osiągnie wartość zerową. Całkowita energia mechaniczna w nieskończoności jest więc równa zero. Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika, że suma energii kinetycznej i potencjalnej na powierzchni Ziemi jest równa sumie tych energii w nieskończoności, czyli zero. (5.29) W wyniku otrzymuje się (5.30) Z (5.30) można wyliczyć prędkość ucieczki z dowolnego obiektu astronomicznego. Dla gwiazdy neutronowej otrzymuje się prędkość rzędu 105 km/s.

Energia w ruchu orbitalnym Satelita o masie m porusza się po orbicie radialnej wokół Ziemi o masie M . Ponieważ M >> m, możemy przypisać energie kinetyczną i potencjalną tylko satelicie. Energia potencjalna jest dana równ. (5.28): Energia kinetyczna może być znaleziona z warunku, że siłą dośrodkową w ruchu satelity jest siła grawitacji (5.31) Całkowita energia mechaniczna jest zatem równa (5.32) Energia całkowita jest ujemna co oznacza, że orbita jest zamknięta.

Energia w ruchu orbitalnym, cd. W ruchu po orbicie eliptycznej, zamieniamy promień okręgu r w równ. (5.32) na półoś dużą a elipsy. Podczas ruchu po orbicie eliptycznej energie kinetyczna i potencjalna zmieniają się periodycznie ale całkowita energia mechaniczna jest zawsz stała. Elipsa z półosią dużą a i mimośrodem e. Słońce o masie M znajduje się w ognisku elipsy F. Energia całkowita orbitującego obiektu zależy tylko od wartości półosi dużej a orbity eliptycznej a nie od wartości mimośrodu e. Dwie orbity: kołowa i eliptyczna, gdzie promień okręgu jest równy półosi dużej a.