Błędy i niepewności pomiarowe II Wykład III Błędy i niepewności pomiarowe II

Plan wykładu model losowy; rozkład Gaussa; odchylenie standardowe; rozkład normalny; oszacowanie niepewności pomiaru w modelu losowym; zapisanie kompletnego wyniku pomiaru.

Model losowy Bardzo często pomiary wielkości mierzonej xi różnią się między sobą. Tradycyjna interpretacja tego zjawiska opiera się na założeniach dot.: wartości prawdziwej; błędów powodujących obserwowany rozrzut.

Model losowy błąd systematyczny, Dsx, jest niezmienny dla każdego pomiaru, błąd przypadkowy, Dpx, jest zmienną losową o zerowej wartości oczekiwanej (1)

Model losowy Estymatą x wartości prawdziwej wielkości mierzonej xr jest średnia arytmetyczna wyników serii pomiarów (2) gdzie: n - liczba pomiarów, xi - pojedynczy wynik pomiaru.

Rozkład Gaussa Jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa jest rozkład Gaussa, zwany też rozkładem normalnym. Odgrywa on ważną rolę w statystycznym opisie wielu zagadnień otaczającego nas świata, w szczególności w fizyce i inżynierii. Jednym z parametrów tego rozkładu jest tzw. odchylenie standardowe*: *tzw. odchylenie standardowe populacji Wysokość krzywej dla dowolnej wartości x daje względną częstość obserwacji. Powierzchnia pod krzywą pomiędzy dwoma wartościami x daje prawdopodobieństwo, że wartość x znajdzie się w tym przedziale. Najsilniej zaciemnionym wypełnieniem (rys. 5) zaznaczono przedział o odchyleniu mniejszym niż jedno odchylenie standardowe od wartości średniej. W zakresie od -1 odchylenia standardowego do +1 odchylenia standardowego w stosunku do wartości średniej x = μ znajduje się 68,2% powierzchni pod krzywą, wskazując, że 68,2% wyników znajdzie się w tym przedziale, podczas gdy w przedziale o odchyleniu 2σ mieści się około 95% wyników. Przedział 3σ zawiera około 99,7% wyników.

Rozkład Gaussa Rozkład normalny ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ jest przykładem funkcji Gaussa:   Można ją interpretować jako gęstość prawdopodobieństwa P(x), opisującą prawdopodobieństwo zaistnienia faktu, że zmienna losowa x przyjmie zadaną wartość w przedziale [x, x+dx], czyli: gdzie W – jest równe prawdopodobieństwu otrzymania tej wartości we wskazanym przedziale, spełniającym warunek normalizacyjny: (w wyniku pomiaru otrzymamy jakąś wartość ze 100% prawd.).

Rozkład Gaussa Jeśli wartości współczynników rozkładu wynoszą odpowiednio: μ = 0 i σ = 1, to rozkład ten nazywa się standardowym rozkładem normalnym, a jego funkcja gęstości prawdopodobieństwa opisana jest wzorem:

Model losowy Dla odchylenia standardowego (rozkładu normalnego) zaleca się (Przewodnik), by parametr ten stanowił podstawę tzw. metody opracowania wyników pomiarów typu A, czyli podstawę oceny niepewności pomiaru poprzez statystyczną analizę wyników.

Model losowy Przewodnik wprowadza trzy podstawowe parametry niepewności. Są to:  niepewność standardowa (standard uncertainty) - zdefiniowana jako niepewność wyniku pomiaru mierzonego bezpośrednio, wyrażona przez odchylenie standardowe: 2.3.1 standard uncertainty - uncertainty of the result of a measurement expressed as a standard deviation

Model losowy niepewność standardowa połączona uc (combined standard uncertainty) - zdefiniowana jako niepewność wyniku pomiaru wielkości złożonej mierzonej pośrednio, zgodnie ze wzorem: 2.3.4 Combined standard uncertainty - standard uncertainty of the result of a measurement when that result is obtained from the values of a numer of other quantities, equal to the positive square root of a sum of terms, the terms being the variances or covariances of these other quantities weighted according to how the measurement result varies with changes in these quantities

Model losowy niepewność rozszerzona U (expanded uncertainty) - zdefiniowana przez „wielkość określającą przedział wokół wyniku pomiaru, taki że można oczekiwać, iż obejmie on dużą część wartości, które w uzasadniony sposób można przyporządkować wielkości mierzonej." 2.3.5 expanded uncertainty - quantity defining an interval about the result of a measurement that may be expected to encompass a large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand

2·σ, tj. z prawdopodobieństwem p ≈ 0,95. Model losowy Tak więc gdy chcemy oszacować niepewność rozszerzoną, musimy zdecydować jakie prawdopodobieństwo wybierzemy. Zwykle w praktyce laboratoryjnej, dla rozkładu normalnego przyjmuje się oszacowanie k=2: 2·σ, tj. z prawdopodobieństwem p ≈ 0,95.

Model losowy Dla rozkładu prostokątnego niepewność rozszerzona U(x) (dla p = 95%) wynosi Czynnik 1.65 wynika z proporcji (dla rozkładu prostokątnego): 57.7% - 1s 95.0% - xs

Model losowy Istotnym problemem przy szacowaniu niepewności pomiarów w modelu losowym jest łączenie składników niepewności. Proces ten przebiega w następujących etapach: oszacowanie niepewności standardowej typu A (rozkład gaussowski), przy wykorzystaniu odchylenia standardowego próbki nie mniejszej niż 10 pomiarów; oszacowanie składowej niepewności standardowej typu B (rozkład nie-gaussowski); połączenie niepewności typu A i B, by dać niepewność rozszerzoną przy określonym poziomie ufności:

Model losowy Niepewność rozszerzoną oblicza się przez pomnożenie pierwiastka sumy kwadratów niepewności typu A* (rozkład gaussowski) i typu B** (nie-gaussowski) przez współczynnik rozszerzenia k, określonego dla konkretnego poziomu ufności. * Przewodnik, 4.2 ** Przewodnik, 4.3

Przewodnik – Tabela G2

Model losowy W praktyce laboratoryjnej będziemy stosować następujące zależności: odchylenie standardowe poszczególnego wyniku pomiaru (Przewodnik, 4.2.2): odchylenie standardowe średniej arytmetycznej (Przewodnik, 4.2.3):

Model losowy Tak więc, dla skończonej serii pomiarów mamy: gdzie: współczynnik Studenta-Fishera (tn,a)

Szacowanie błędów i niepewności pomiarów pośrednich Błąd systematyczny pomiaru pośredniego, dla którego wynik pomiaru jest rezultatem obliczenia korzystającego z wyników pomiarów bezpośrednich innych wielkości mierzonych można szacować różnymi metodami. Jedna z nich to tzw. metoda różniczki zupełnej. Dla funkcji: (3) poszukujemy parametru charakteryzującego zmianę wartości tej funkcji dla zmian argumentów x1, x2, … xn. Dla zmiany bezwzględnej Δf mamy Równanie to służy do wyznaczenia całkowitego błędu systematycznego granicznego w pomiarach pośrednich.

Szacowanie błędów i niepewności pomiarów pośrednich Należy zwrócić uwagę na fakt, że jest ono słuszne tylko dla błędów prawdziwych (powinniśmy znać wartość prawdziwą błędu i jego znak). Jeśli nie znamy znaków, to dla określenia całkowitego błędu granicznego powinniśmy w obliczeniach zsumować moduły (wartości bezwzględne) składników powyższego równania:

Szacowanie błędów i niepewności pomiarów pośrednich Kompletny wynik pomiaru składa się z: - estymaty wartości wielkości mierzonej, miary niedokładności, mnożnika (jeżeli jest potrzebny), jednostki wielkości mierzonej.

Zapisanie kompletnego wyniku pomiaru Należy stosować się do następujących zasad: estymata wartości i jej graniczny błąd bezwzględny wyraża się w tym samym formacie, przyjmując dla błędu (niepewności) jedną lub dwie cyfry znaczące; przyjmujemy dwie cyfry znaczące niepewności w przypadku gdy jej zaokrąglenie do jednej cyfry znaczącej spowodowałoby wzrost wartości tej niepewności o więcej niż 10%; graniczny błąd bezwzględny zaokrąglamy zawsze „w górę”; wynik pomiaru zaokrąglamy w sposób „klasyczny”; Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co błąd.

Zapisanie kompletnego wyniku pomiaru Przykład: R = (135.572489 ± 0.046963)  - źle!!! R= (135.57 ± 0.05)  - dobrze!!! m = (1.58997671 ± 0.01341799) kg - źle!!! m= (1.590 ± 0.014) kg - dobrze!!! d = (0. 0037688631 ± 0. 000011782) m – źle!!! d = (3.769 ± 0.012)10-3 m – dobrze!!!