Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

W gimnazjum poznaliśmy trzy metody rozwiązywania układów równań liniowych: - metoda podstawiania, - metoda przeciwnych współczynników, - metoda graficzna. Wiemy również że układ może mieć: jedno rozwiązanie nieskończenie wiele rozwiązań nie mieć wcale rozwiązań.

Istnieje jeszcze jedna metoda rozwiązywania układów równań – to metoda wyznacznikowa. Obliczamy trzy wyznaczniki i w zależności od ich wartości wiemy czy układ ma rozwiązania czy nie. Zanim pojawią się wzory rozwiążmy dowolny układ równań.

Obliczamy najpierw wyznacznik główny W – tworzymy dwie kolumny: kolumna czerwona to współczynniki znajdujące się przed niewiadomą, natomiast kolumna zielona to współczynniki przed

Obliczamy wyznacznik Wx: Pierwszą kolumnę tworzymy z wyrazów wolnych, a druga pozostaje bez zmian. Obliczamy wyznacznik Wy: Druga kolumna to wyrazy wolne z układu równań.

Wyznacznik główny W jest różny od zera, dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru: Zbiorem rozwiązań układu równań jest para liczb:

DEFINICJE: Układ równań liniowych można rozwiązać stosując metodę wyznaczników: wyznacznik główny wyznacznik Wx wyznacznik Wy

Układ równań: a)ma jedno rozwiązanie, jeżeli: W 0 układ taki nazywamy układem oznaczonym b) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli : W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0 układ taki nazywamy nieoznaczonym c) nie ma rozwiązań, jeżeli: W = 0 i ( Wx 0 lub Wy 0 ) układ taki nazywamy sprzecznym

Przykład 1. Metodą wyznacznikową rozwiąż układ równań: Najpierw uporządkujemy równania w układzie. Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wszystkie trzy obliczone wyznaczniki mają wartość 0 W=0 i Wx=0 i Wy=0 dlatego układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).

Przykład 2. Metodą wyznacznikową rozwiąż układ równań: Najpierw uporządkujemy równania w układzie. Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wyznacznik główny ma wartość 0, pozostałe wyznaczniki są różne od 0. Spełniony jest warunek: W=0 i ( Wx0 lub Wy0 ) dlatego układ równań nie ma rozwiązania. (układ sprzeczny)

Przykład 3. Rozwiąż układ równań: Najpierw przekształcimy równania, wykonamy odpowiednie działania.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wyznacznik W ma wartość 0, wyznaczniki Wx i Wy są różne od 0. Spełniony jest warunek: W=0 i ( Wx0 lub Wy0 ) dlatego układ równań jest sprzeczny. Zr =

Przykład 4. Oblicz pole figury ograniczonej prostymi: y=0, y=x, y=-2x+8 Najpierw narysujemy przybliżony wykres, aby powstał odpowiedni obszar, którego pole policzymy. A C B Otrzymaną figurą jest trójkąt o wierzchołkach: A, B, C. Prosta AB to prosta o równaniu: y=0 Prosta AC to prosta o równaniu: y=x Prosta BC to prosta o równaniu: y=-2x+8

Musimy wyznaczyć współrzędne punktów A, B, C. Wyznaczamy współrzędne punktu A – szukamy miejsca zerowego funkcji y=x y=x 0=x A=(0,0) Wyznaczamy współrzędne punktu B – szukamy miejsca zerowego funkcji y=-2x+8 y=-2x+8 0=-2x+8 2x=8 x=4 B=(4,0)

Wyznaczamy współrzędne punktu C – punktu przecięcia się prostych o równaniach: y=x i y=-2x+8 Tworzymy układ równań: Obliczamy wyznaczniki:

C= Obliczamy długość podstawy i wysokości trójkąta ABC. Pole obszaru wynosi j 2