ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORÓW ROBOTÓW METODĄ MACIERZOWĄ

Jeśli dane są: - współrzędne wxi , wyi , wzi wektora w związane z ogniwem i - współrzędne px , py , pz początku układu i związane z ogniwem j oraz kosinusy kierunkowe osi układu i względem osi układu j

to zależność pomiędzy współrzędnymi w układzie i oraz j można zapisać jako

{ lub w formie symbolicznej gdzie: - macierz przekształcenia współrzędnych wektora z układu i do układu j Wyznacznik macierzy { 1, gdy obydwa układy są prawoskrętne -1, gdy jeden jest prawo- a drugi lewoskrętny

Macierz Tij przekształcenia złożonego z przesunięcia i obrotu można przedstawić w postaci iloczynu macierzy: - obrotu (rotacji) - przesunięcia (translacji) czyli gdzie:

Zastosowanie do opisu przekształceń w kinematyce i dynamice manipulatorów robotów macierzy 4x4 jest bardzo wygodne ponieważ umożliwia w zwartej formie zapisać zarówno obrót jak i przesunięcie oraz ułatwia mnożenie odpowiednich macierzy przy użyciu komputerów osobistych bez konieczności sprawdzania osobliwości.

Z dziewięciu zmiennych wyrazów macierzy - obrotu (rotacji) tylko trzy są niezależne, natomiast pozostałe sześć muszą spełniać równania

przy czy kwadraty kosinusów kierunkowych (trzy pierwsze równania) są równe odpowiednim kwadratom współrzędnych wersorów osi, których długość jest równa 1; pozostałe trzy równania wynikają z warunków prostopadłości wersorów osi układu współrzędnych.

współrzędnych przypadku przekształceń odwrotnych to znaczy przy przejściu z układu j do układu i stosuje się macierze odwrotne, czyli przy czym gdzie: E jest macierzą jednostkową, czyli

Hartenberga i Denavita W celu uproszczenia analizy przestrzennego łańcucha kinematycznego wprowadza się specjalne usytuowanie układów współrzędnych poszczególnych członów tak, aby liczba parametrów wchodzących do macierzy przekształceń była minimalna, a postać tej macierzy była jednakowa tak w przypadku pary obrotowej, jak i pary przesuwnej. W dalszym ciągu przedstawiono najczęściej stosowany sposób usytuowania wzajemnego układów współrzędnych członów połączonych parami obrotowymi i przesuwnymi, który jest znany jako zapis Hartenberga i Denavita

Na rysunku przedstawiono dwa układy współrzędnych związanych z członami i – 1 oraz i,

Figure 4-8 The variables in a link using the notation of Paul [9] Figure 4-8 The variables in a link using the notation of Paul [9]. The rules used to define the notation are: (1) Axis zn-1 defines the position of the axis of rotation for joint Jn, zn, for joint Jn+1, and so forth. (2) Axis xn-1 is selected to be an extension for the common perpendicular line of length an-1 between consecutive joints zn-2 and zn-1. (3) The axis yn-1 – is selected to provide a right-hand coordinate system with the other axes. (4) Axis xn is an extension of the common perpendicular line of Iength an. Rys 4-8. Zapis zmiennych z użyciem notacji Paul’a [7]. Według zasad: (1) Oś zn-1 opisuje położenie osi rotacji dla ogniwa Jn, zaś oś zn dla ogniwa Jn+1 itd. (2) Oś xn-1 jest przedłużeniem linii znajdującej się pomiędzy osią zn-2 i zn-1 i prostopadłą do nich o długości an-1. (3) Oś yn-1 zapewnia prawoskrętny układ współrzędnych. (4) Oś xn jest przedłużeniem linii prostopadłej do osi zn-1 o długości an.

Usytuowanie układów współrzędnych

Usytuowanie układów współrzędnych

xi-1 zi-1 yi-1 i-1 przy czym oś leży na wspólnej prostopadłej do osi par obrotowych członu i-1, oś zi-1 leży na osi pary obrotowej łączącej człony i-1 z i oś yi-1 nie pokazana na rysunku stanowi uzupełnienie prawoskrętnego układu współrzędnych i-1

i xi i zi Układ współrzędnych jest związany z członem w podobny sposób, to znaczy oś xi leży na wspólnej prostopadłej do osi par obrotowych członu i oś zi leży na osi pary obrotowej łączącej człon i z członem i + 1

Zaletą takiego usytuowania układów współrzędnych jest to, że tylko cztery parametry określają względne położenie dwóch sąsiednich układów, przy czym dwa z nich to znaczy li oraz αi są zawsze stałe, jeden z pozostałych jest zmienny w zależności od typu pary kinematycznej - w przypadku pary obrotowej zmienny jest kąt θi - w przypadku pary przesuwnej zmienne jest przesunięcie λi

i jeszcze jednego obrotu Dwa sąsiednie układy współrzędnych i oraz i-1 mogą być przekształcone jeden w drugi za pomocą obrotu dwóch przesunięć i jeszcze jednego obrotu w następującej kolejności a) obrót wokół osi zi-1 o kąt θi tak, aż oś xi-1 stanie się równoległa do osi xi

b) przesunięcie wzdłuż osi zi-1 o wielkość λi tak, aby oś xi-1 pokryła się z osią xi c) przesunięcie wzdłuż osi xi o wielkość li tak, aby początki obu układów pokryły się d) obrót wokół osi xi o kąt αi tak aż wszystkie osie będą pokrywać się

Ti,i-1 Ai Każdemu z tych elementarnych ruchów odpowiada macierz Przekształcenia, którą tutaj oznaczono przez Ai przy czym

Macierz Ai opisująca przekształcenia z układu i do układu i-1 będzie równa iloczynowi wyżej wymienionych macierzy ruchów elementarnych, czyli Zatem, po wykonaniu mnożeń macierzy zaczynając od prawej strony otrzymuje się

gdzie: li , αi - odległość i kąt pomiędzy osiami par obrotowych ogniwa i, λi , θi , - odległość i kąt obrotu pomiędzy ogniwami i-1 oraz i

Przypadku pary obrotowej kąt θi jest zmienny, a odległość λi jest stała; w przypadku pary przesuwnej zmienna jest długość λi a stały kąt θi Macierz przekształcenia odwrotnego, to znaczy układu współrzędnych członu i-1 do układu członu i otrzymuje się jako rozwiązanie równania macierzowego gdzie: E – macierz jednostkowa

stąd W przypadku otwartego łańcucha kinematycznego wprowadza się macierz położenia i orientacji układu związanego z członem n względem układu związanego z członem i jako iloczyn macierzy kolejnych przekształceń

przy czym W przypadku zamkniętego łańcucha kinematycznego, zbudowanego z n członów wprowadza się równanie zamknięcia w postaci Mnożąc z lewej strony powyższe równanie przez macierze odwrotne otrzymuje się równanie zamknięcia łańcucha kinematycznego w bardziej wygodnej postaci

………………….…………………… W przypadku, gdy dany jest wektor

opisujący położenie dowolnego punktu Pi należącego do członu i w układzie współrzędnych związanym z tym członem oraz dane są macierze kolejnych przekształceń, wtedy z równań oraz

można wyznaczyć wektor opisujący położenie punktu Pi w układzie podstawy przy czym mnożenia macierzy trzeba zaczynać od prawej strony (!!!) Kolejność obliczeń jest zatem następująca

………….……………… (wzory na r)

Wektory prędkości i przyspieszenia punktu Pi otrzymuje się jako pierwszą i drugą pochodną względem czasu wektora A zatem

Różniczkując kolejno dwie ostatnie zależności przy założeniu, że otrzymuje się algorytm wyznaczania prędkości jako ……………………………………………

(wzory na v) oraz algorytm wyznaczania przyśpieszenia jako ………………………………………………….

Aj (wzory na a) Pochodne względem czasu macierzy oblicza się według następujących wzorów (wzory na A)

przy czym w przypadku pary obrotowej

natomiast w przypadku pary przesuwnej

Podstawiając (wzory na A) do (wzorów na v) i (wzorów na a) przy uwzględnieniu (wzorów na r) otrzymuje się …………………….…………………… (wzory na v)1

oraz …………………………………….. (wzory na a)1

PRZYKŁAD Gdy i = 2 wtedy (wzory na r) przyjmą postać natomiast (wzory na v)1 są następujące

natomiast ( wzory na a)1 przyjmą formę Wektory prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego członów można wyznaczyć z następujących równań:

(wzór na prędkość kątową członów) ………………………………………

(wzór na przyśpieszenia kątowe członów)

gdzie: