Metody optymalizacji Wykład 1b - 2015/2016 Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 1b - 2015/2016 Podstawy matematyczne metod optymalizacji

Czym jest optymalizacja? Optymalizacja jest procesem (i) formułowania i (ii) rozwiązywania problemu optymalizacyjnego o następującej ogólnej postaci spełniając ograniczenia gdzie , oraz są funkcjami skalarnymi wektora

Przykłady formułowania problemów optymalizacyjnych 1. Opis werbalny problemu Należy zaprojektować puszkę, która może pomieścić co najmniej 400 ml (1ml=1cm3) cieczy, spełniając przy tym inne wymagania projektowe. Puszka ma być produkowana w bardzo dużych ilościach, zatem pożądana jest minimalizacja kosztów jej wytworzenia. Ponieważ koszt wytworzenia może być odniesiony bezpośrednio do powierzchni zużytego materiału, rozsądnym jest minimalizować ilość materiału potrzebnego do produkcji puszki. Produkcja, użytkowanie, estetyka i względy transportowe nakładają następujące wymagania na rozmiary puszki: średnica nie powinna być większa niż 8 cm i mniejsza niż 3,5 cm, a wysokość powinna być nie większa niż 18 cm i nie mniejsza niż 8 cm. 2. Zebranie danych i informacji Zawarte są w opisie problemu 3. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Definiujemy dwie zmienne decyzyjne:

4. Określenie kryterium, które ma być optymalizowane Projekt puszki ma być taki, aby minimalizował jej powierzchnię boczną S składającą się z powierzchni ścianki bocznej i dwóch denek 5. Określenie ograniczeń Pierwsze ograniczenie – puszka musi pomieścić co najmniej 400cm3 cieczy Druga grupa ograniczeń – wymiary puszki muszą mieścić się w okrteślonych przedziałach Charakterystyka zadania: - zadanie optymalizacji nieliniowej - z ograniczeniami - zmienne decyzyjne rzeczywistoliczbowe

Przykład 2: 1. Opis werbalny problemu Celem projektu jest określenie grubości izolacji zbiornika kulistego t minimalizującej koszty chłodzenia tego zbiornika w okresie jego cyklu życia. Koszty chłodzenia obejmują koszty instalacji i eksploatacji wyposażenia chłodniczego oraz koszty instalacji izolacji. Założony został 10 letni cykl życia, 10% oprocentowanie w stosunku rocznym i zerową wartość instalacji na końcu użytkowania. Zbiornik jest już zaprojektowany i jego średnica wynosi r [m]. 2. Zebranie danych i informacji Aby obliczyć objętość materiału izolacyjnego należy znać powierzchnię kulistego zbiornika Aby obliczyć wydajność wyposażenia chłodniczego i koszt jego eksploatacji należy znać roczny ubytek ciepła ze zbiornika - średnia różnica pomiędzy temperaturami wewnętrzną i zewnętrzną - oporność cieplna na jednostkę grubości - grubość izolacji

Niech ponadto: - koszt jednostkowy izolacji (j.p. – jednostka pieniężna) na jednostkę objętości - koszt jednostkowy wyposażenia chłodniczego na jednostkę energii - roczny koszt jednostkowy eksploatacji wyposażenia chłodniczego na jednostkę energii 3. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych - grubość izolacji

4. Określenie kryterium, które ma być optymalizowane Celem jest minimalizacja kosztów chłodzenia zbiornika kulistego w okresie 10 lat. Koszt ten w okresie cyklu życia ma trzy składowe: - koszt instalacji izolacji (zakup i montaż) - koszt instalacji wyposażenia chłodniczego - koszt eksploatacji w okresie 10 lat Koszt eksploatacji należy sprowadzić do kosztów bieżących korzystając ze współczynnika bieżącej wartości (USPWF – Uniform Series Present Worth Factor) - stopa procentowa - liczba rocznych wpłat

Można założyć, że grubość izolacji jest znacznie mniejsza od promienia zbiornika Optymalizowany koszt wyrazi się wówczas 5. Określenie ograniczeń Przyjąć należy, że grubość izolacji nie może być mniejsza od pewnej granicznej wartości izolacji dostępnej na rynku Policzymy przed podaniem ostatecznego sformułowania zadania

Ostateczne sformułowanie zadania: Dane: Znaleźć: Minimalizując: gdzie: Spełniając ograniczenie: Charakterystyka zadania: - zadanie optymalizacji nieliniowej - z ograniczeniami - zmienna decyzyjna rzeczywistoliczbowa

Zdolność przerobowa/dzień Przykład 3: 1. Opis werbalny problemu Firma posiada dwa tartaki i dwa lasy. Tablica poniżej podaje zdolności przerobowe [kłody/dzień] i odległości pomiędzy lasami i tartakami [km]. Z każdego lasu można pozyskać do 200 kłód/dzień w rozważanym okresie czasu a koszt transportu kłód został oszacowany na 0.15 [j.p./(km·kłoda)]. Istnieje zapotrzebowanie na cięcie co najmniej 300 kłód dziennie. Firma chciałaby minimalizować koszty transportu kłód każdego dnia. Tablica 1. Odległość, km Tartak Las 1 Las 2 Zdolność przerobowa/dzień kłód

Tartak A Las 1 Las 2 Tartak B x1A x1B x2B x2A 2. Zebranie danych i informacji Zawarte są w opisie problemu i Tablicy 3. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Celem projektu jest określenie ile kłód należy przewieźć z Lasu i do Tartaku j, zatem - liczba kłód przewożonych z Lasu 1 do Tartaku A - liczba kłód przewożonych z Lasu 1 do Tartaku B - liczba kłód przewożonych z Lasu 2 do Tartaku A - liczba kłód przewożonych z Lasu 2 do Tartaku B

4. Określenie kryterium, które ma być optymalizowane Optymalizowany koszt transportu wyraża się 5. Określenie ograniczeń Pierwsza grupa ograniczeń związana jest z ze zdolnościami przerobowymi tartaków Druga grupa ograniczeń związana jest z możliwościami pozyskiwania drewna z lasów

Trzecia grupa ograniczeń związana jest z zapotrzebowaniem na pocięte kłody Czwarta grupa ograniczeń to warunki nieujemności Charakterystyka zadania: - zadanie optymalizacji liniowej - z ograniczeniami - zmienne decyzyjna całkowitoliczbowa

Inne przykłady podczas ćwiczeń laboratoryjnych

II etap procesu optymalizacji: (ii) rozwiązywanie problemu optymalizacyjnego o następującej ogólnej postaci spełniając ograniczenia gdzie , oraz są funkcjami skalarnymi wektora Krócej będziemy dla potrzeb wykładu pisali gdzie jest obszarem dopuszczalnym

Twierdzenie 1: Zadanie optymalizacyjne z funkcją celu jest równoważne zadaniu optymalizacyjnemu z funkcją celu Jest przy tym spełniona zależność:

Przykład 1: spełniając spełniając x x z’ x x z

Twierdzenie 2: Jeżeli w zadaniu optymalizacyjnym zastąpimy funkcję celu postaci funkcją celu postaci to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne

 Minimum globalne silne: Punkt jest unikatowym minimum globalnym silnym funkcjonału jeżeli zachodzi , dla wszystkich  Minimum globalne słabe: Punkt jest minimum globalnym słabym funkcjonału jeżeli zachodzi , dla wszystkich

Minimum globalne silne Przykład 2: Minimum globalne silne

Przykład 3: Minimum globalne słabe Minimum globalne słabe wzdłuż prostej x1 = 0

 Minimum lokalne silne: Punkt jest minimum lokalnym silnym funkcjonału jeżeli istnieje skalar taki, że zachodzi , dla wszystkich takich, że ,  Minimum lokalne słabe: Punkt jest minimum lokalnym słabym funkcjonału a istnieje skalar , jeżeli taki, że zachodzi , dla wszystkich takich, że nie jest minimum silnym ,

Maksimum lokalne silne Przykład 4: Minima lokalne silne Maksimum lokalne silne Minimum globalne silne Maksimum lokalne silne Minimum lokalne silne Minimum globalne silne

Przykład 5: Minima lokalne silne Minimum globalne silne Minimum lokalne silne Punkt siodłowy Minimum globalne Punkt siodłowy

Przykład 6: Minima lokalne silne Minimum globalne

Kiedy minimum lokalne na pewno jest minimum globalnym? x x z z x

Zbiory wypukłe Zbiór S jest zbiorem wypukłym, jeżeli odcinek łączący jego dowolne dwa punkty zawiera się całkowicie w zbiorze S Matematycznie, S jest zbiorem wypukłym, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów/wektorów punkt/wektor dla

Funkcja wypukła Funkcja jest ściśle wypukła na zbiorze S jeżeli dla dowolnych dwóch punktów

Funkcja wklęsła Funkcja jest ściśle wklęsła na zbiorze S, jeżeli jest ściśle wypukła

Pierwsza pochodna (nachylenie) funkcjonału wzdłuż osi Jeżeli , to znaczy posiada ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe to gradient jest definiowany Pierwsza pochodna (nachylenie) funkcjonału wzdłuż osi : - i-ty element gradientu Pierwsza pochodna (nachylenie) funkcjonału wzdłuż wektora :

Przykład 7:

Ilustracja graficzna: Pochodne kierunkowe: Pochodne kierunkowe: 1.4 1.3 1.0 0.5 0.0

Przykład 8:

Ilustracja graficzna: 2.4 Pochodne kierunkowe:

gradient funkcjonału (jakobian) Warto pamiętać, że:  Kierunek gradientu w punkcie x pokrywa się z kierunkiem normalnej do powierzchni stałej wartości funkcjonału przechodzącej przez punkt x.  Zwrot gradientu w punkcie x odpowiada zwrotowi najszybszego wzrostu wartości funkcjonału w otoczeniu punktu x.

Druga pochodna (krzywizna) funkcjonału wzdłuż osi Hesian funkcjonału hessian funkcjonału Druga pochodna (krzywizna) funkcjonału wzdłuż osi : - (i,i)-ty element hessianu

Druga pochodna (krzywizna) funkcjonału wzdłuż wektora Krzywizna określa jak szybko zmienia się gradient w wybranym (wskazanym) punkcie Druga pochodna (krzywizna) funkcjonału wzdłuż wektora :

Optymalność  Warunki konieczne minimum Rozwinięcie , takiego, że w szereg Taylor’a w otoczeniu

Optymalność  Warunki konieczne minimum (silnego lub słabego)  Warunek konieczny pierwszego rzędu: Jeżeli x* jest punktem lokalnego minimum i F jest różniczkowalne w sposób ciągły w otwartym otoczeniu x*, wówczas  Warunek punktu stacjonarnego – zerowanie się gradientu

Optymalność  Warunek konieczny drugiego rzędu: Jeżeli x* jest punktem lokalnego minimum i 2F jest ciągłe w pewnym otwartym otoczeniu x*, wówczas dla dowolnych  Warunek dodatniej półokreśloności hessianu dla punktu stacjonarnego

mimo, że składnik drugiego rzędu w szeregu Taylor’a wynosi zero, Optymalność Dodatnia określoność macierzy hessianu jest warunkiem wystarczającym drugiego rzędu istnienia minimum silnego w mimo, że składnik drugiego rzędu w szeregu Taylor’a wynosi zero, może istnieć Nie jest to warunek konieczny. Minimum silne w ale składnik trzeciego rzędu jest dodatni

Przykład 9: Warunek punktu stacjonarnego Punkt stacjonarny - jedyny Sprawdzenie warunków rzędu drugiego

Punkt x*=0 spełnia warunki konieczne pierwszego i drugiego rzędu dla minimum

Warunki określoności macierzy hessianu można badać przez sprawdzenie wartości własnych tej macierzy Macierz hessianu jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie jej wartości własne są dodatnie Macierz hessianu jest dodatnio półokreślona, jeżeli wszystkie jej wartości własne są nieujemne

Przykład 10: Warunek punkt stacjonarnego Punkt stacjonarny - jedyny Sprawdzenie warunków rzędu drugiego

Pozyskanie informacji o określoności macierzy hessianu Nie można stwierdzić czy macierz hessianu jest dodatnio określona lub dodatnio półokreślona

Wartości własne hessianu

Minimum silne (globalne) w

 Warunki wystarczające minimum  Warunek drugiego rzędu: Jeżeli dla pewnego x*, 2F jest ciągłe w pewnym otwartym jego otoczeniu i F(x*) = 0 i 2F(x*) jest dodatnio określona, wówczas x* jest silnym minimum lokalnym  Warunek globalnego minimum Jeżeli F jest funkcją wypukłą, wówczas każde minimum lokalne jest minimum globalnym

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu