POTENCJALNY OPŁYW WALCA 1. Płaski ruch potencjalny – potencjał zespolony Potencjałem prędkości ruchu płaskiego jest skalarna funkcja Φ(x,y), której pochodne cząstkowe są składowymi wektora prędkości: (1) Dla przepływu płaskiego linie prądu opisane są równaniem (2) lub po przekształceniu (3)

Lewa strona tego równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji spełniającej warunki (4) Funkcja Φ(x,y) charakteryzuje linię prądu (jest stała dla każdej linii prądu) i jest nazywana funkcją prądu . Z równań (1) i (4) wynika związek pomiędzy funkcjami Φ i Ψ, a mianowicie: (5) Po pomnożeniu obu równań stronami można zauważy, że spełniony jest warunek (6)

Związki (5) i (6) są zależnościami Cauchy’ego-Riemana implikującymi istnienie funkcji zespolonej, której częścią rzeczywistą jest jedna zmienna i częścią urojoną druga (7) gdzie z jest zmienną zespoloną i może być przedstawiona w postaci (8) Funkcja f (z) nazywana jest potencjałem zespolonym. Każda funkcja zmiennej zespolonej przedstawia pewien ruch płaski potencjalny. Prawdziwe jest też twierdzenie, że każdemu ruchowi płaskiemu potencjalnemu można przypisać odpowiednią funkcję zmiennej zespolonej, której część rzeczywista jest potencjałem prędkości a część urojona funkcją prądu.

2. Przykład płaskich pól potencjalnych 2.1. Ruch równoległy Opiszemy przepływ określony potencjałem zespolonym f (z) = az , w którym a jest liczbą rzeczywistą. Przekształcając funkcję f (z) otrzymamy: Linie jednakowego potencjału prędkości Φ = ax = const. oraz linie prądu Ψ = ay = const. tworzą siatkę hydrodynamiczną tego przepływu (rys.1.).

Rys. 1

2.2. Źródło płaskie Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym f (z) = Clnz, w którym C jest stałą liczbą rzeczywistą. Po podstawieniu otrzymamy po przekształceniach Liniami jednakowego potencjału prędkości są okręgi współśrodkowe opisane wzorem , a liniami prądu pęk prostych wychodzących ze źródła (rys. 2).

Rys. 2

2.3. Wir płaski Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym , w którym C jest stałą liczbą rzeczywistą. Po przekształceniach otrzymamy Linie jednakowego potencjału prędkości tworzą pęk prostych, a linie prądu rodzinę okręgów współśrodkowych (rys. 3).

Rys. 3

2.4. Dipol płaski Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym . Po przekształceniach otrzymamy Linie jednakowego potencjału prędkości są liniami stycznymi do osi y, a linie prądu okręgami stycznymi do osi x (rys. 4).

Rys. 4

2.5. Superpozycja przepływów Funkcja zespolona złożona utworzona przez sumowanie funkcji prostszych także opisuje potencjalny przepływ płaski. W ten sposób można opisać przepływy występujące w technice. Składając przepływ równoległy opisany potencjałem zespolonym oraz źródłowy opisany potencjałem opiszemy przepływ opisany potencjałem zespolonym . Potencjał prędkości tego przepływu ma postać gdzie . Przepływ złożony z ruchu równoległego i pary źródło – upust ma potencjał w postaci Potencjał przepływu złożonego z przepływu równoległego i dipolu ma postać i opisuje opływ płaski profilu kołowego.

Obraz omawianych przepływów złożonych pokazano na rys. 5.

3. Opływ walca bezcyrkulacyjny Rozpatrzmy opływ walca o promieniu R, nieskończenie długiego, ustawionego prostopadle do równoległej strugi poruszającej się z prędkością v∞. Do opisu tego opływu zastosujemy funkcję zespoloną złożoną z potencjału zespolonego przepływu równoległego oraz dipolu płaskiego o potencjale . Stała przepływu równoległego przyjmiemy a = v∞, a stałą dipolu C = m. Potencjał prędkości i funkcja prądu tego przepływu będą wynosić: (9) (10)

Równanie linii prądu ma postać (11) Równanie (11) jest spełnione dla a) y = 0 b) Warunek a) wyznacza oś x, natomiast warunek b) – okrąg o promieniu ze środkiem w początku układu (rys. 6).

Rys. 6

Struga przepływająca wzdłuż osi x, która w punkcje A rozdziela się na dwa rozgałęzienia opływające okrąg o promieniu R. Wszystkie linie prądu znajdujące się w pobliżu dipola są zawarte wewnątrz okręgu, natomiast przepływ na zewnątrz okręgu jest opływem walca o promieniu R. Ponieważ ten warunek jest spełniony dla okręgu o promieniu to z tego warunku można wyznaczyć (12) Podstawiając do równania (9) i (10) warunek (12) otrzymamy: (13) (14)

Składowe wektora prędkości wynoszą (15) (16) Z równań (15) i (16) wynika, że na powierzchni walca (r=R) czyli prędkość na powierzchni walca jest zawsze skierowana stycznie i wynosi (17) Dla kątów i prędkość ma wartość równą zero (punkt spiętrzenia), natomiast dla kątów i wartości maksymalne .

Rozkład ciśnienia na powierzchni walca Rozkład ciśnienia na powierzchni walca wyznaczmy z równania Bernoulliego zapisanego dla przekroju strugi niezakłóconej i na powierzchni walca (18) po przekształceniu (19) Po podstawieniu wzoru (17) na rozkład prędkości (20) Po wprowadzeniu współczynnika ciśnienia zdefiniowanego w postaci stosunku różnicy ciśnień do ciśnienia dynamicznego (21)

Dla kątów i cała energia kinetyczna strugi zamienia się w energię potencjalną ciśnienia, ciśnienie jest w tych punktach maksymalne, a współczynnik ciśnienia wynosi 0. Dla ciśnienie na powierzchni walca jest równe ciśnieniu w strudze niezakłóconej, a współczynnik ciśnienia jest równy 0. W zakresie do występuje ciśnienie maksymalne przy współczynniku ciśnienia –3. Rys. 7

4. Opływ cyrkulacyjny Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym bezcyrkulacyjnego opływu i wiru płaskiego o cyrkulacji Γ. Potencjał prędkości takiego ma postać (22) Składowe wektora prędkości (23) (24)

Na powierzchni walca r=R (25) Rys. 8

Siła wypadkowa płynu Siłę wypadkową P rozłożymy na składową działającą wzdłuż wektora prędkości (siła oporu czołowego ) i składową prostopadłą do kierunku wektora (siła nośna ) . Siła oporu czołowego jest zdefiniowana w postaci gdzie : cx – bezwymiarowy współczynnik oporu profilowego (czołowego) A – pole powierzchni rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora

Rys. 9 Elementarna siła nośna , pochodząca od ciśnienia wynosi (27) gdzie z jest długością walca. Składowa pionowa siły wynosi (28)

Siła nośna działająca na całą powierzchnię walca wynosi (29) gdzie K oznacza kontur prowadzony wokół przekroju poprzecznego walca. Po podstawieniu do wzoru (29) wartości określonej wzorem (19) otrzymamy (30) Przy obliczaniu całki zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara . Pierwszy składnik zawierający x, czyli całkę po konturze zamkniętym z różniczki zupełnej jest równy zeru, czyli (31) Wartość siły nośnej może też być obliczona na podstawie twierdzenia Żukowskiego: (32)

Rys. 10