Sylogistyka

Sylogistyka – ogólna definicja Sylogistyka to najstarszy system logiczny, nazywany też rachunkiem nazw. Twórcą sylogistyki był Arystoteles w IV w. p.n.e. Sylogistyka była następnie rozwijana w średniowieczu, kiedy powstała obecna terminologia sylogistyczna. Podstawowymi kategoriami sylogistycznymi są zdania kategoryczne, tzn. zdania z dwoma nazwami i kwantyfikatorem (małym lub dużym, jeśli jest kwantyfikator, to nazwy muszą odpowiadać zmiennym indywiduowym rachunku predykatów, o wyjątkach, tzn. stałych indywiduowych, powiemy). Wyróżnia się cztery rodzaje zdań kategorycznych: (1) ogólno-twierdzące (duży kwantyfikator), (2) ogólno-przeczące (duży kwantyfikator i negacja), (3) szczegółowo-twierdzące (mały kwantyfikator), (4) szczegółowo-przeczące (mały kwantyfikator i negacja).

Sylogistyka – zapisy formalne Zdania kategoryczne mają dwie podstawowe postacie zapisu formalnego: (1) tradycyjny, ustalony w średniowieczu: SaP, SeP, SiP, SoP (2) zapis w języku rachunku predykatów: /\x[P(x) → Q(x)], /\x[P(x) → ~ Q(x)], \/x[P(x)  Q(x)], \/x[P(x)  ~ Q(x)] (1) objaśnienie pierwszej formy zapisu. Duże litery to: S – subiectum (podmiot), albo termin mniejszy, P – predicatum (orzeczenie) albo termin większy. Małe litery „a”, „e”, „i” i „o” pochodzą od pierwszej i drugiej samogłoski łacińskich czasowników affirmo (potwierdzam) i nego (zaprzeczam). (2) Zapis w języku rachunku predykatów nie wymaga komentarza.

Zdania kategoryczne: przykłady Każde zdanie oznajmujące, zawierające jedną zmienną indywiduową jest jednym z czterech rodzajów zdań kategorycznych, poza tym można podać jego formy w pozostałych trzech zdaniach kategorycznych: Studenci są pilni. SaP – Wszyscy studenci są pilni. SeP – Żaden student nie jest pilny. SiP – Niektórzy studenci są pilni. SoP – Niektórzy studenci nie są pilni. Łysi są okularnikami. SaP – Wszyscy łysi są okularnikami. SeP – Żaden łysy nie jest okularnikiem. SiP – Niektórzy łysi są okularnikami. SoP – Niektórzy łysi nie są okularnikami.

Związki logiczne pomiędzy zdaniami kategorycznymi Pomiędzy zdaniami kategorycznymi zachodzą związki logiczne które opisane zostały na tzw. kwadracie logicznym a ponadto można je opisać w języku rachunku zdań i predykatów. Związki te to: przeciwieństwo, podprzeciwieństwo, podporządkowanie i sprzeczność. Przeciwieństwo (wykluczają się i nie dopełniają) to związek pomiędzy SaP i SeP: zdania te nie mogą być jednocześnie prawdziwe (wykluczają się) i mogą być jednocześnie fałszywe (nie dopełniają się). Podprzeciwieństwo (nie wykluczają się i dopełniają się) to związek pomiędzy SiP i SoP: zdania te nie mogą być jednocześnie fałszywe (nie wykluczają się) i mogą być jednocześnie prawdziwe (dopełniają się). Sprzeczność to związek pomiędzy SaP i SoP oraz SeP i SiP: jeśli jedno z zdań w parze jest prawdziwe, to wówczas drugie jest fałszywe i na odwrót. Podporządkowanie to związek pomiędzy SaP i SiP oraz SeP i SoP. Jeśli SaP (SeP) jest prawdziwe, to SiP (SoP) także jest prawdziwe, jeśli SaP (SeP) jest fałszywe, to wówczas SiP (SoP) jest prawdziwe lub fałszywe.

Kwadrat logiczny Jak te związki logiczne zachodzą pomiędzy poszczególnymi rodzajami zdań kategorycznych, ilustruje tzw. kwadrat logiczny.

Relacje pomiędzy zdaniami kategorycznymi zapis formalny w języku rachunku zdań Relacje między zdaniami kategorycznymi opisane na matrycach dwuargumentowych spójników zdaniowych: Przeciwieństwo, podprzeciwieństwo (lewa strona), sprzeczność i podporządkowanie (prawa strona) Objaśnienia: „ / ” symbol dwuargumentowego spójnika międzyzdaniowego, tzw. dysjunkcji; bardzo rzadko używany w klasycznym rachunku zdań, wyróżniany w rozważaniach teoretycznych i używany przez niektórych autorów podręczników logiki. Jego matryca: tak jak powyższa matryca dla zdań przeciwnych. W języku polskim logicznemu spójnikowi dysjunkcji odpowiadać może zwrot „lub” użyty w znaczeniu: „co najwyżej jedno z dwojga, ewentualnie żadne z nich” (w codziennej praktyce językowej stosunkowo rzadko spotykany). Powyższe matryce możemy odczytywać w następujący sposób: jeśli dla jakiejś sytuacji jest podane „0”, tzn. że jest ona nie możliwa. Np., niemożliwe jest, aby jednocześnie SaP i SeP były prawdziwe (zob. pierwsza tabelka, pierwszy rząd). Niemożliwe jest, aby SeP było prawdziwe i jednocześnie SoP fałszywe (zob. czwarta tabelka, drugi rząd), itd. Jeśli jest jeden, tzn. że dana sytuacja jest możliwa. Np. możliwe jest, że zarówno SaP i SeP są fałszywe (zob. pierwsza tabelka, czwarty rząd), albo możliwe jest, aby SaP był fałszywy a SiP prawdziwy (zob. czwarta tabelka, trzeci rząd), itd. SaP SeP SaP/SeP SoP SiP SaP ≡ ~ SoP SeP ≡ ~ SiP 1 SiP  SoP SaP → SiP SeP → SoP

Relacje pomiędzy zdaniami kategorycznymi przykłady konkretne Studenci są pilni: Przeciwieństwo: Wszyscy studenci są pilni – Żaden student nie jest pilny (SaP i SeP obydwa fałszywe, zgadza się, bo SaP i SeP mogą być jednocześnie fałszywe, tzn. nie dopełniają się). Sprzeczność: Wszyscy studenci są pilni – Niektórzy studenci nie są pilni (SaP fałszywe, SoP prawdziwe, zgadza się, bo SaP i SoP są sprzeczne, jak jedno jest fałszywe, to drugie musi być prawdziwe i na odwrót). Sprzeczność: Żaden student nie jest pilny – Niektórzy studenci są pilni (SeP fałszywe, SiP prawdziwe, zgadza się, bo SeP i SiP są sprzeczne, jak jedno jest fałszywe, to drugie musi być prawdziwe i na odwrót). Podprzeciwieństwo: Niektórzy studenci są pilni – Niektórzy studenci nie są pilni (SiP i SoP obydwa prawdziwe, zgadza się, bo SiP i SoP są podprzeciwne, tzn. nie wykluczają się, więc mogą być jednocześnie prawdziwe). Podporządkowanie: Wszyscy studenci są pilni – Niektórzy studenci są pilni (SaP fałszywe a SiP prawdziwe, zgadza się, bo SiP jest podporządkowane SaP, jak SaP jest fałszywe, to SiP może być prawdziwe albo fałszywe). Podporządkowanie: Żaden student nie jest pilny – Niektórzy studenci nie są pilni (SeP fałszywe a SoP prawdziwe, zgadza się, bo SoP jest podporządkowane SeP, jak SeP jest fałszywe, to SoP może być prawdziwe albo fałszywe).

Wnioskowania – ogólna definicja Wnioskowanie jest to proces myślowy w trakcie którego orzeka się o prawdziwości jakiegoś zdania zwanego wnioskiem, na podstawie innego zdania (lub zdań) uznanego przez osobę wnioskującą za prawdziwe, zwanego przesłanką (przesłankami). Wnioskowania mają postać implikacji, której poprzednikiem jest przesłanka (koniunkcja przesłanek) a następnik jest wnioskiem. Wnioskowania dzielimy na dedukcyjne i niededukcyjne (zagadnienie to zostanie omówione bardziej szczegółowo w dalszej części wykładu). Do wnioskowań dedukcyjnych zaliczamy m.in. sylogizmy (wnioskowania sylogistyczne)

Wnioskowania sylogistyczne Sylogizmy to ściśle określony rodzaj wnioskowania dedukcyjnego. Każde wnioskowanie sylogistyczne (sylogizm) składa się z trzech zdań kategorycznych: dwóch przesłanek i wniosku. W każdym z tych trzech zdań kategorycznych mamy do czynienia z dwoma terminami (nazwami), a w każdym sylogizmie z trzema terminami (każdy termin występuje dwa razy). Nazwy te zwykło się określać mianem terminu mniejsze-go (S), terminu średniego (M) i terminu większego (P). Terminy mniejszy i większy to terminy występujące we wniosku sylogizmu (najpierw termin mniejszy, potem większy). Termin średni występuje tylko w przesłankach.

Wnioskowania sylogistyczne: ustalanie schematów Wszystkie ulice są śliskie. Wszystko co jest śliskie jest niebezpieczne. Wszystkie ulice są niebezpieczne. M – śliskie, ulice – S, niebezpieczne – P S a M M a P S a P Na dyskotekach wszyscy biorą narkotyki. Wszyscy biorący narkotyki są mało inteligentni. Wszyscy którzy chodzą na dyskoteki są mało inteligentni. M – biorący narkotyki, S – chodzący na dyskoteki, P – mało inteligentni S a P Niektórzy studenci nie zdadzą egzaminu z logiki. Każdy egzamin z logiki jest trudny. Niektórzy studenci zdadzą trudny egzamin. M – egzamin z logiki, S – studenci, P – trudny egzamin S o M M a P S i P

Sylogizmy - przykłady Przykład wnioskowania sylogistycznego: Niektórzy bogaci mężczyźni nie są inteligentni. Każdy bogaty mężczyzna ma powodzenie u kobiet. Niektórzy mężczyźni mający powodzenie u kobiet nie są inteligentni. Uwaga ogólna: wnioskowania zapisujemy zazwyczaj w postaci jednego zdania pod drugim, na górze są przesłanki, na samym dole wniosek, oddzielony od przesłanek poziomą linią. Analiza (będąca wnioskowaniem) powyższego wnioskowania (czy jest ono sylogizmem czy nie): Są trzy zdania i każde z nich jest zdaniem kategorycznym: (1) szczegółowo-przeczące (przesłanka), (2) ogólno-twierdzące (przesłanka), (3) szczegółowo-przeczące (wniosek). W tych trzech zdaniach występują łącznie trzy terminy: (1) „bogaty mężczyzna”, (2) „ktoś inteligentny”, (3) „mężczyzna mający powodzenie u kobiet”. Każdy z tych terminów występuje dwa razy. A zatem: powyższe wnioskowanie jest sylogizmem.

Sylogizmy - przykłady Przykład wnioskowania sylogistycznego: Wszystkie piękne kobiety są inteligentne. Każda piękna kobieta ma powodzenie u mężczyzn. Wszystkie kobiety mające powodzenie u mężczyzn są inteligentne. Analiza (będąca wnioskowaniem) powyższego wnioskowania (czy jest ono sylogizmem czy nie): Są trzy zdania i każde z nich jest zdaniem kategorycznym: (1) ogólno-twierdzące (przesłanka), (2) ogólno-twierdzące (przesłanka), (3) ogólno-twierdzące (wniosek). W tych trzech zdaniach występują łącznie trzy terminy: (1) „piękna kobieta”, (2) „ktoś inteligentny”, (3) „kobieta mająca powodzenie u mężczyzn”. Każdy z tych terminów występuje dwa razy. A zatem: powyższe wnioskowanie jest sylogizmem.

Ustalanie schematów wnioskowań sylogistycznych Niektórzy bogaci mężczyźni nie są inteligentni. Każdy bogaty mężczyzna ma powodzenie u kobiet. Niektórzy mężczyźni mający powodzenie u kobiet nie są inteligentni. Zadanie: ustal schemat formalny powyższego sylogizmu. (1) Najpierw ustalamy terminy. Najlepiej rozpocząć od wniosku gdzie mamy S i P (terminy mniejszy i większy). S jest w tym przypadku „mężczyzna mający powodzenie u kobiet”, a P to „ktoś inteligentny”. Termin średni (M) występuje w obydwu przesłankach – jest to zatem „bogaty mężczyzna”. (2) Piszemy schemat z ustalonymi terminami (zgodnie z ogólnymi zasadami przedstawiania wnioskowań): M P M S S P (3) Wstawiamy stałe logiczne (symbole zdań kategorycznych, czyli a, e, i, o): M o P (zdanie szczegółowo-przeczące) M a S (zdanie ogólno-twierdzące) S o P (zdanie szczegółowo przeczące)

Ustalanie schematów wnioskowań dedukcyjnych Wszystkie piękne kobiety są inteligentne. Każda piękna kobieta ma powodzenie u mężczyzn. Wszystkie kobiety mające powodzenie u mężczyzn są inteligentne. Zadanie: ustal schemat formalny powyższego sylogizmu. (1) Najpierw ustalamy terminy. Najlepiej rozpocząć od wniosku gdzie mamy S i P (terminy mniejszy i większy). S jest w tym przypadku „kobieta mająca powodzenie u mężczyzn”, a P to „ktoś inteligentny”. Termin średni (M) występuje w obydwu przesłankach – jest to zatem „piękna kobieta”. (2) Piszemy schemat z ustalonymi terminami (zgodnie z zasadami przedstawiania wnioskowań): M P M S S P (3) Wstawiamy stałe logiczne (symbole zdań kategorycznych, czyli a, e, i lub o): M a P (zdanie ogólno-twierdzące) M a S (zdanie ogólno-twierdzące) S a P (zdanie ogólno-twierdzące)

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów: metoda 5 reguł Niektóre schematy wnioskowań sylogistycznych są poprawne (dedukcyjne), tzn. jeśli przesłanki są prawdziwe, to i wniosek jest prawdziwy, a inne nie. Jedną z metod pozwalającą ustalić które schematy są dedukcyjne, a które nie, jest metoda 5 reguł. Każdy sylogizm będący wnioskowaniem dedukcyjnym spełnia te 5 reguł. Jeśli jakaś reguła nie dotyczy danego schematu – to wówczas dany sylogizm również ją spełnia. 5 reguł które musi spełnić każdy poprawny sylogizm brzmi jak następuje: (1) Termin średni musi być rozłożony przynajmniej w jednej przesłance. (2) Przynajmniej jedna przesłanka musi być zdaniem twierdzącym. (3) Jeśli jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym, to również wniosek jest zdaniem przeczącym. (4) Jeśli obydwie przesłanki są zdaniami twierdzącymi, to również wniosek jest zdaniem twierdzącym. (5) Jeśli dany termin jest rozłożony we wniosku, to musi być rozłożony również w przesłance.

Termin rozłożony: definicja Termin rozłożony to nazwa o której całym zakresie (zbiorze desygnatów) podaje informację zdanie kategoryczne w któ-rym ta nazwa występuje. Terminy rozłożone w poszczególnych zdaniach kategorycznych zostały wytłuszczone: S a P; pierwszy termin w zdaniach ogólno-twierdzących S e P; obydwa terminy w zdaniach ogólno-przeczących S i P; żaden termin w zdaniach szczegółowo-twierdzących S o P; drugi termin w zdaniach szczegółowo-przeczących

Termin rozłożony: dlaczego niektóre terminy w zdaniach kategorycznych są rozłożone? S a P; pierwszy termin w zdaniach ogólno-twierdzących Wszystkie psy szczekają: jest mowa o wszystkich psach (że szczekają), ale nie ma mowy o wszystkich istotach szczekających (tylko można się domyślać że niektóre z nich są psami) S e P; obydwa terminy w zdaniach ogólno-przeczących Żaden pies nie szczeka: jest mowa o wszystkich psach (że nie szczekają) i jest mowa o wszystkich istotach szczekających (że żadna z nich nie jest psem) S i P; żaden termin w zdaniach szczegółowo-twierdzących Niektóre psy szczekają: jest mowa o niektórych psach, ale nie o wszystkich, jest mowa o niektórych istotach szczekających że są psami, ale nie wszystkie S o P; drugi termin w zdaniach szczegółowo-przeczących Niektóre psy nie szczekają: jest mowa o niektórych psach, ale nie o wszystkich, i jest mowa o istotach szczekających że nie są psami (ale tutaj można wątpliwości, w tym wypadku wymóg że w zdaniach szczegółowo-przeczących rozłożony jest drugi termin nie jest intuicyjny)

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów metodą 5 reguł: ilustracja Niektórzy bogaci mężczyźni nie są inteligentni. Każdy bogaty mężczyzna ma powodzenie u kobiet. Niektórzy mężczyźni mający powodzenie u kobiet nie są inteligentni. M o P M a S S o P Powyższy sylogizm jest dedukcyjny, gdyż spełnia on wszystkie 5 reguł: (1) Termin średni jest rozłożony w drugiej przesłance (M a S) (2) Jedna z przesłanek jest zdaniem twierdzącym (M a S) (3) Jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym (M o P) i wniosek również zdaniem przeczącym (S o P) (4) Nie dotyczy, a więc reguła jest spełniona (5) We wniosku jest rozłożone P (S o P) – w przesłance również (M o P)

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów metodą 5 reguł: ilustracja Żaden bogaty mężczyzna nie jest inteligentny. Żaden bogaty mężczyzna nie ma powodzenia u kobiet. Żaden mężczyzna mający powodzenie u kobiet nie jest inteligentny. M e P M e S S e P Powyższy sylogizm jest dedukcyjny, gdyż spełnia on wszystkie 5 reguł: (1) Termin średni jest rozłożony w obydwu przesłankach (M e P, M e S) (2) Nie jest spełniona, obydwie przesłanki są zdaniami przeczącymi (3) Jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym (M e P, M e S) i wniosek również jest zdaniem przeczącym (S e P) (4) Nie dotyczy, a więc reguła jest spełniona (5) We wniosku jest rozłożone S i P (S e P) – w przesłance są te terminy również rozłożone (M e P, M e S)

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów metodą 5 reguł: ilustracja Żaden bogaty mężczyzna nie jest inteligentny. Każdy bogaty mężczyzna ma powodzenie u kobiet. Niektórzy mężczyźni mający powodzenie u kobiet nie są inteligentni. M e P M a S S o P Powyższy sylogizm jest dedukcyjny, gdyż spełnia on wszystkie 5 reguł: (1) Termin średni jest rozłożony w obydwu przesłankach (M a S, M e P) (2) Jedna z przesłanek jest zdaniem twierdzącym (M a S) (3) Jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym (M e P) i wniosek również zdaniem przeczącym (S o P) (4) Nie dotyczy, a więc reguła jest spełniona (5) We wniosku jest rozłożone P (S o P) – w przesłance również (M e P)

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów metodą 5 reguł: ilustracja Wszystkie piękne kobiety są inteligentne. Każda piękna kobieta ma powodzenie u mężczyzn. Wszystkie kobiety mające powodzenie u mężczyzn są inteligentne. M a P M a S S a P Powyższy sylogizm nie jest dedukcyjny, gdyż nie spełnia on wszystkich 5 reguł: (1) Termin średni jest rozłożony w obydwu przesłankach (2) Obydwie przesłanki są zdaniami twierdzącymi (3) Nie dotyczy, a więc reguła jest spełniona (4) Obydwie przesłanki są twierdzące, więc wniosek też jest twierdzący (5) We wniosku jest rozłożone S (S a P) – a w przesłance S nie jest rozłożone (M a S) – reguła nie jest spełniona

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów metodą 5 reguł: ilustracja Niektóre piękne kobiety są inteligentne. Niektóre piękne kobiety mają powodzenie u mężczyzn. Niektóre kobiety mające powodzenie u mężczyzn są inteligentne. M i P M i S S i P Powyższy sylogizm nie jest dedukcyjny, gdyż nie spełnia on wszystkich 5 reguł: (1) Termin średni nie jest rozłożony w żadnej przesłance (2) Obydwie przesłanki są zdaniami twierdzącymi (3) Nie dotyczy, a więc reguła jest spełniona (4) Obydwie przesłanki są twierdzące, więc wniosek też jest twierdzący (5) Nie dotyczy

Ustalanie poprawności (dedukcyjności) sylogizmów metodą 5 reguł: ilustracja Każdy student kulturoznawstwa zda egzamin z logiki za pierwszym podejściem. Nie każdy kto zda egzamin z logiki za pierwszym podejściem lubi logikę. Nie każdy student kulturoznawstwa lubi logikę. (1) Student kulturoznawstwa - S (2) ktoś, kto zda egzamin z logiki za pierwszym podejściem - M (3) ktoś, kto lubi logikę – P S a M S a M M i P M o P S i P S o P (a) nie jest spełniona (b) nie jest spełniona (a) jest spełnione (b) jest spełnione (a) nie dotyczy (b) jest spełnione (a) jest spełnione (b) nie dotyczy

Wnioskowania sylogistyczne Uwagi końcowe I Zwrot „tylko” interpretujemy tak samo jak w przypadku ustalania sche-matów w języku predykatów, tzn. musimy zamienić wyrażenia (nazwy w przypadku sylogizmów) miejscami i użyć dużego kwantyfikatora (zdanie ogólne). Przykład: Tylko Grecy byli w starożytności filozofami. Niektórzy filozofowie starożytni byli logikami. Niektórzy Grecy byli logikami. Schemat: M a S M i P S i P S – Grek P - logik M - starożytny filozof

Wnioskowania sylogistyczne Uwagi końcowe II Jeśli w zdaniu występuje nazwa jednostkowa (stała indywiduowa), wów-czas dane zdanie można zinterpretować jako zdanie ogólne (orzeka ono bowiem o wszystkich desygnatach danej nazwy). Przykład: Sokrates był filozofem. Niektórzy filozofowie żyli w starożytnej Grecji. Sokrates żył w starożytnej Grecji. Schemat S a M M i P S a P S – Sokrates P – starożytny Grek M - filozof

Wnioskowania sylogistyczne Uwagi końcowe IIII W przypadku niektórych sylogizmów można podać więcej schematów formalnych (niektóre zdania można zinterpre-tować jako podpadające pod 2 rodzaje zdań kategorycz-nych jednocześnie). W takim przypadku można podać 2 rozwiązania – wówczas obydwa schematy powinny być albo poprawne (dedukcyjne), albo niepoprawne (niededukcyjne) jednocześnie. Dotyczy to przede wszystkim zdań z negacją dużego kwan-tyfikatora, tj. ze zwrotem „nie wszyscy”, np. „Nie wszystkie psy szczekają”. Zdania tego rodzaju można zinterpretować zarówno jako zdania szczegółowo-twierdzące („Niektóre psy szczekają”) jak i jako zdania szczegółowo-przeczące („Niektóre psy nie szczekają”).