Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 3)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Wtorek: 14.00-15.00 (13.00-15.00) Piątek: 8.00-9.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) WYKŁAD W3: Skręcanie swobodne prętów - Podstawy teorii de Saint-Venanta - Teoria de Saint-Venanta - Pręty cienkościenne o przekroju otwartym lub zamkniętym   - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Skręcanie swobodne prętów (7) Podstawy teorii de Saint-Venanta. z y S β r B’ v w B dy φ'x α ds dz s n Przekrój niekołowy nie pozostaje po skręceniu pręta płaski, lecz ulega deplanacji, czyli wypaczeniu. Zakłada się, że po obrocie przekroju, którego kontur zachowuje swój pierwotny kształt, o kąt – jednostkowy stały kąt skręcania, x – odległość między końcowym nieruchomym oraz rozpatrywanym przekrojem pręta ) ( dowolny punkt przekroju B zajmie położenie B’, a ponadto dozna przemieszczenia u w kierunku osi pręta x.

Skręcanie swobodne prętów Skręcanie swobodne – swobodne wypaczenie wszystkich przekrojów pręta. Wszystkie punkty leżące na odcinku równoległym do osi pręta doznają jednakowego przemieszczenia, a więc odcinek ten nie zmienia długości, czyli się nie odkształca. Skręcanie nieswobodne – odcinek pręta odkształca się, co powoduje powstawanie naprężeń normalnych w przekroju pręta skręcanego. (7) Teoria de Saint-Venanta - skręcania swobodnego prętów o dowolnym przekroju. Przemieszczenia v i w: Jednakowe wypaczenie wszystkich przekrojów pręta określa funkcja deplanacji de Saint-Venanta

Skręcanie swobodne prętów Ze związków geometrycznych wynikają następujące składowe stanu odkształcenia: , Na podstawie związków fizycznych można wyliczyć składowe stanu naprężenia: , Równania równowagi lokalnej mają postać: , ,

Skręcanie swobodne prętów Po podstawieniu związków fizycznych i geometrycznych, dwa pierwsze równania są tożsamościami, a z trzeciego otrzymujemy równanie Laplace’a: musi być funkcją harmoniczną. Tak więc Funkcja naprężeń Prandtla , a następnie: , Porównując stronami ze związkami fizycznymi: ,

Skręcanie swobodne prętów Po uproszczeniu , obustronnym zróżniczkowaniu pierwszego z tych równań względem z, a drugiego względem y i odjęciu stronami otrzymujemy równanie Poissona: Funkcja naprężeń musi być tak dobrana, aby spełniała powyższe równanie oraz warunki brzegowe. Normalna n w dowolnym punkcie nieobciążonej bocznej powierzchni pręta tworzy z osiami x, y, z kąty Po uwzględnieniu oraz , , otrzymamy warunek brzegowy:

Skręcanie swobodne prętów Składowa naprężenia stycznego w kierunku n (równa sumie rzutów na ten kierunek) musi być równa zeru – aksjomat Boltzmanna: na powierzchni zewnętrznej prostopadłej do n nie ma naprężenia stycznego. Po przekształceniu otrzymamy: Między elementem ds krzywej konturu przekroju i dy oraz dz zachodzą zależności: , które po podstawieniu:

Skręcanie swobodne prętów Stąd na konturze przekroju F = const, a dla przekroju jednospójnego (bez otworów i wygięć) Siły wewnętrzne w dowolnym przekroju A pręta muszą się redukować do momentu skręcającego, co można zapisać następująco: Po wprowadzeniu przekształceń: oraz równanie momentu skręcającego przyjmie postać:

Skręcanie swobodne prętów Można wykazać, że przy zachowaniu warunku brzegowego pierwsza całka jest równa zeru, więc: Powyższe równania należy traktować jako całkowity warunek brzegowy. Powyższe równanie można przedstawić w formie analogicznej do stosowanej w elementarnej teorii skręcania prętów o przekroju okrągłym: gdzie: jest wskaźnikiem sztywności przekroju pręta na skręcanie.

Skręcanie swobodne prętów Pręty cienkościenne o przekroju otwartym lub zamkniętym. (8) Prętem cienkościennym jest element maszyny lub budowli o następujących cechach geometrycznych: długość pręta jest duża w stosunku do wymiarów przekroju, a grubość ścianki przekroju jest mała w stosunku do długości jej linii środkowej. W zależności od tego, czy linia środkowa jest krzywą otwartą, czy zamkniętą, wyróżnia sie pręty cienkościenne o przekroju otwartym lub zamkniętym. Kształty powierzchni utworzonej przez błonę nad otworem modelującym ścianki przekroju pręta cienkościennego wskazują na to, że występują w nich naprężenia styczne równoległe do brzegu ścianki. Rozkład naprężeń stycznych w kierunku grubości ścianki jest: – w przekroju otwartym zmienny – w przekroju zamkniętym równomierny.

Skręcanie swobodne prętów Przykład. Wieża Eiffla Pręt cienkościenny o przekroju zamkniętym

Skręcanie swobodne prętów Analogia błonowa Prandtla ułatwia zrozumienie rozkładu naprężeń stycznych na powierzchni przekroju pręta cienkościennego linia środkowa ścianki przekrój otwarty błona g/2 τ linia środkowa ścianki przekrój zamknięty Rozkład naprężeń stycznych na grubości ścianki wynika z pochodnej krzywej zarysu błony Rozważmy skręcanie swobodne pręta o cienkościennym przekroju symetrycznym względem osi y ze zmieniającą się łagodnie grubością g(y).

Skręcanie swobodne prętów Funkcję naprężeń F(y, z) przyjmujemy tak, aby zerowała się na konturze, a więc spełniała warunek brzegowy: g = const y g(y) 0.5g(y) z h τ Po zróżniczkowaniu względem y otrzymamy:

Skręcanie swobodne prętów Przy łagodnie zmieniającej się grubości można przyjąć: a ponieważ F(y,z) spełnia warunek brzegowy. Obliczamy: Ponieważ:

Skręcanie swobodne prętów Po podstawieniu otrzymujemy: czyli wskaźnik sztywności otwartego przekroju cienkościennego pręta skręcanego. Jeśli uwzględnimy to możemy wyznaczyć składowe naprężenia stycznego w otwartym przekroju cienkościennego pręta: ,

Skręcanie swobodne prętów , Z powyższej zależności wynika, że rozkład naprężeń stycznych τ na grubości cienkościennego symetrycznego przekroju otwartego ma rozkład liniowy. Największe naprężenia styczne τmax­ występują w konturze przekroju w jego najgrubszym miejscu, czyli dla gmax: W przypadku g = const przekrój staje się wydłużonym prostokątem, a: , Na krótszych bokach prostokąta nie są spełnione warunki brzegowe.

Skręcanie swobodne prętów Zakrzywienie linii środkowej nie zmienia w znaczący sposób liniowego rozkładu naprężeń stycznych na grubości przekroju pręta. Dlatego powyższe zależności można stosować w przypadku otwartych przekrojów cienkościennych o krzywej środkowej i zmiennej lub równomiernej grubości. Należy jedynie dokonywać w nich oczywistych modyfikacji y=s, dy=ds, h odmierzać wzdłuż linii środkowej konturu, a grubość g(y)=g(s) w kierunku normalnym do tej linii. z τ S g(s) 0.5g(s) g = const -0.5g(s)

Skręcanie swobodne prętów (9) Rozważmy przypadek skręcania swobodnego pręta cienkościennego o przekroju zamkniętym, o linii środkowej, wzdłuż której odmierzać będziemy współrzędną krzywoliniową s, i zmiennej grubości g(s). τ(s) τ1 τ2 r Ms g(s) ds g2 g1 równomierny rozkład τ na grubości g ścianki błona nad otworem o kształcie zamkniętego przekroju cienkościennego dx Kąt nachylenia błony rozpiętej nad otworem o kształcie cienkościennego przekroju zamkniętego jest stały dla punktów powierzchni odpowiadających określonej grubości przekroju.

Skręcanie swobodne prętów Z analogii Prandtla wynika zatem, że rozkład naprężeń stycznych na grubości przekroju jest równomierny. Suma rzutów sił działających na segment wyodrębniony z pręta cienkościennego o przekroju zamkniętym na oś x musi być równa zeru: gdzie q(s) – wydatek naprężeń stycznych. Moment skręcający Ms równy będzie sumie momentów elementarnych sił wewnętrznych τ(s) g(s) ds względem punktu 0: rds jest podwójnym polem trójkąta o podstawie ds i wysokości r, a więc gdzie A0 jest powierzchnią figury opisanej przez linię środkową:

Skręcanie swobodne prętów Pierwszy wzór Bredta Maksymalne naprężenie styczne τmax wystąpi w miejscu najmniejszej grubości gmin: Wzór na jednostkowy kąt skręcenia wynika z następujących rozważań energetycznych:

Skręcanie swobodne prętów Właściwa energia sprężysta ścinania wynosi: Zatem: skąd drugi wzór Bredta: gdzie: wskaźnik sztywności zamkniętego przekroju cienkościennego pręta skręcanego. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-16 01:18:53

linia środkowa ścianki Skręcanie swobodne prętów Gdy g = const, wówczas (gdzie h – długość linii środkowej): Przykład Cienkościenny pręt skręcany jest wykonany z cienkiej blachy. Dane: grubość blachy g, promień linii środkowej ścianki r. r g linia środkowa ścianki spoina 2r Ms Wyznaczyć stosunek wskaźników sztywności oraz wytrzymałości na skręcanie pręta przed i po wykonaniu spoiny. l © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-16 01:18:53

Skręcanie swobodne prętów : W przypadku przekroju otwartego, długość linii środkowej : W przypadku przekroju zamkniętego, uwzględniając, że grubość ścianki jest stała: ponieważ: Stosunek wskaźników sztywności i wytrzymałości pręta cienkościennego o przekroju otwartym i zamkniętym wynosi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-16 01:18:53

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-16 01:18:53