Ruch masy w układach ożywionych. Mechanika płynów Wykład 3 Ruch masy w układach ożywionych. Mechanika płynów Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Z ogólnego bilansu masy otrzymaliśmy równanie ciągłości: Dla płynów nieściśliwych : Z ogólnego bilansu sił otrzymaliśmy równanie bilansu naprężeń: Dla konkretnego płynu potrzebna jest znajomość relacji naprężenie - odkształcenie Płyny Newtonowskie Równanie konstytutywne Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Rozpatrzmy objętość kontrolną wyodrębnioną z płynu, która ulega deformacji po przyłożeniu naprężeni W chwili t1 kąt jaki tworzy ścianka pionowa elementu płynu względem położenia początkowego wynosi θ1. W chwili t2 kąt wzrasta do wartości θ2. Dla przedziału czasowego Δt = t2 – t1 kąt zmienił się o Δθ = θ2 – θ1. Dla płynów newtonowskich, przy stałej wartości interwału czasowego, zwiększenie wartości naprężenia zwiększa kąt θ, będący miara deformacji elementu płynu. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Naprężenia są proporcjonalne do szybkość deformacji elementu płynu wyrażonej jako dθ/dt, a nie do wartości samej deformacji θ. Z prostych zależności geometrycznych wynika: gdzie: Δx i Δy są przesunięciami w kierunku x i y punktu należącego do deformującego się elementu płynu w czasie Δt. Dla małych odkształceń można przyjąć następujące uproszczenie: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Położenie punktu elementu płynu na kierunku x może być wyznaczone jako iloczyn prędkości vx i Δt. Pozwala to, korzystając z poprzednich równań, wyrazić deformację elementu płynu w kierunku x, zgodnie z rys. jako: Szybkość deformacji wyrażona jest zależnością: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Równanie konstytutywne wiąże szybkość deformacji z naprężeniami je wywołującymi. Dla płynów newtonowskich spełniona jest liniowa zależność w postaci: Płyny, które nie spełniają tej zależności zwane są płynami nienewtonowskimi. Istnieje grupa płynów niespełniających powyższego równania , dla których zależność szybkości ścinania od naprężenia przybiera bardziej skomplikowaną postać. Działem mechaniki płynów zajmującym się strukturą deformacji płynów podczas ich przepływów jest reologia. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Do grupy tej należą wszelkiego rodzaju zawiesiny, pasty i układy dyspersyjne, dla których szybkość ścinania jest funkcją wielu parametrów m.in. wartości naprężenia, czasu działania naprężenia, wielkości odkształcenia i innych. Ogólna zależność funkcyjna przyjmuje postać: Bazując na tej zależności można wydzielić kilka najważniejszych grupy płynów Skupimy się na Płynach czysto lepkich, dla których równanie przybiera postać: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Krzywe płynięcia dla płynów czysto lepkich: b – płyn newtonowski; a, c –płyny pseudoplastyczne; d,e - płyny plastyczno–lepkie (Binghama)   krzywa płynięcia: Znając przebieg krzywej płynięcia można wyznaczyć dla danej wartości szybkości ścinania parametr zwany lepkością pozorną z następującej zależności: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Na rys. można wyodrębnić dwie grupy płynów: płyny z wyraźną granicą płynięcia tzw. płyny plastyczno–lepkie Binghama (krzywe e, d) oraz płyny bez granicy płynięcia tzw. płyny pseudoplastyczne. Pierwsza grupa płynów charakteryzuje się tym, że dopóki naprężenia nie przekroczą pewnej wartości (tzw. granicy płynięcia τ0), płyny te zachowują się jak ciało stałe a dopiero po przekroczeniu tej granicy następuje przepływ. Zależność konstytutywna dla takich płynów opisana jest równaniem modelowym: gdzie: µp = tg(δ) i τ0 są parametrami reologicznymi wyznaczanymi doświadczalnie. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Druga grupa płynów spełnia tzw. model potęgowy Ostwalda–de Waele’a w postaci: gdzie: stała k (współczynnik konsystencji) i wykładnik n (indeksem płynięcia) są parametrami reologicznymi wyznaczanymi doświadczalnie Dla płynów pseudoplastycznych wykładnik n przybiera wartości mniejsze od jedności (krzywa c). Przyjmując n = 1 i k = 1 otrzymujemy relację jak dla płynu newtonowskiego (krzywa b). Istnieją również płyny nienewtonowskie, dla których wykładnik n przyjmuje wartości wyższe od jedności (krzywa a). Płyny te noszą nazwę płynów dylatacyjnych.   Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Pomiary lepkości płynów Jedna z fundamentalnych metod pomiaru lepkości cieczy bazuje na wykorzystaniu cylindrycznego wiskozymetru. Płyn, którego lepkość chcemy oszacować umieszczany jest pomiędzy dwoma współosiowymi cylindrami. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Zewnętrzny cylinder pod wpływem działania siły obraca się, natomiast wewnętrzny pozostaje nieruchomy. Moment siły działający na wewnętrzny cylinder mierzony jest za pomocą specjalnego urządzenia. Jednocześnie mierzona jest siła działająca na zewnętrzny cylinder oraz prędkość jego ruchu. Naprężenia ścinające w płynie można oszacować jako: gdzie: F to siła działająca na zewnętrzny cylinder, A to powierzchnia wewnętrznego cylindra. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Szybkość odkształcenia płynu w szczelinie pomiędzy cylindrami wyznaczyć można z relacji: gdzie: V to prędkość zewnętrznego cylindra a h to szerokość szczeliny pomiędzy cylindrami. Prędkość płynu przy powierzchni wewnętrznego cylindra można obliczyć znając prędkość obrotową zewnętrznego cylindra: gdzie: D to średnica wewnętrznego cylindra a ω to prędkość obrotowa cylindra zewnętrznego wyrażona w rad/s. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Moment siły mierzony na cylindrze wewnętrznym wynosi: Łącząc równania dostajemy zależność na lepkość badanego płynu będącą funkcją liniową mierzonego momentu siły na cylindrze: Wiskozymetr wykorzystujący przepływ płynu pomiędzy dwoma rotującymi cylindrami nazywany jest wiskozymetrem Couette’a. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Jeżeli znamy równanie konstytutywne to możemy je podstawić do równanie bilansu naprężeń: Dla płynów newtonowskich otrzymujemy rów. Naviera - Stokesa Pozwala to na określanie pola prędkości w zadanej geometrii i przy znanych warunkach brzegowych i początkowych. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Przykład. Przepływ płynu nieściśliwego Newtonowskiego przewodem o przekroju kołowym Rozpatrzmy przepływ płynu nieściśliwego spełniającego równanie Naviera–Stokesa cylindrycznym przewodem o promieniu R i długości L . Gradient ciśnienia w układzie wynosi: Δp/L. Zakładamy, że przepływ jest ustalony, w pełni rozwinięty jednowymiarowy. Ze względu na geometrię układu w rozważaniach wykorzystamy równania Naviera–Stokesa i ciągłości rozpisane dla współrzędnych cylindrycznych . Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Ponieważ przepływ jest ustalony, więc pochodne czasowe równe są zero (∂/∂t = 0). Płyn jest nieściśliwy, zatem gęstość (ρ) jest stała. Zakładając, że długość przewodu jest znacznie większa od jego średnicy możemy przyjąć, że przepływ jest w pełni rozwinięty, jednowymiarowy w odległości jednej średnicy od wlotu do przewodu. Oznacza to, że składowe prędkości νr i νθ równe są zero. Równanie ciągłości zapisane w układzie cylindrycznym: redukuje się do Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Oznacza to, że składowa prędkości vz nie jest funkcją z a jedynie funkcją składowej r. Równanie Naviera–Stokesa we współrzędnych cylindrycznych dla składowej r: dla naszego przypadku redukuje się do postaci: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych dla składowej θ: redukuje się do postaci: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych dla składowej z: redukuje się do postaci: Ciśnienie jest funkcją tylko składowej z. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Całkujemy po r: Całkujemy po r: Wykorzystując warunek brzegowy zerowania się prędkości na ściance przewodu dla r = R mamy: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Ostatecznie profil prędkości w przewodzie opisuje równanie: Prędkość jest paraboliczną funkcją promienia i osiąga wartość maksymalna dla r = 0 Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Prędkość średnia w przewodzie wyznaczona może być z równania Strumień objętościowy przepływu Q wyznaczony może być za pomocą równania: równanie to, znane jest jako równanie Hagena–Poiseuille’a. Znacząca jest zależność strumienia przepływu od promienia przewodu w czwartej potędze. Oznacza to np. że przy stałej różnicy ciśnienia redukcja promienia przewodu o 10% prowadzi do redukcji strumienia o 46%. Dla płynu o innej reologii równanie te nie sa spełnione !!!. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Krew jest podstawowym płynem „przenoszącym” życie. Zawiera wiele enzymów i hormonów. Jej najważniejszą funkcją jest transportowanie tlenu i dwutlenku węgla pomiędzy płucami a komórkami organizmu. Studia nad funkcjami krwi w organizmie prowadzone są przez hematologów i biochemików. Z punktu widzenia biomechaniki najważniejszą informacją potrzebną do opisu zachowania się krwi jest : równanie konstytutywne Krew w organizmie (ssaki) przepływa w układzie krwionośnym który to składa się z sieci naczyń krwionośnych oraz serca, które wymusza przepływ w tym układzie. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Układ krążenia krwi składa się z naczyń krwionośnych (tętnic, żył, naczyń włosowatych) i serca. Tętnice są naczyniami, którymi płynie krew z serca na obwód, do wszystkich części ciała, natomiast żyłami krew powraca z obwodu ponownie do serca. Wyróżnia się dwa układy (krążenia) przepływu krwi w organizmie: duży i mały (płucny). W dużym układzie krążenia krew utlenowana (bogata w tlen) wypływa z lewej komory serca do tętnic, a następnie przechodząc przez sieć naczyń włosowatych we wszystkich narządach ciała, powraca jako krew nieutlenowana (uboga w tlen) do prawego przedsionka serca. W małym układzie krążenia krew nieutlenowana wypompowywana jest z prawej komory do tętnic płucnych, rozgałęzia się w sieć naczyń włosowatych w płucach i powraca żyłami płucnymi, jako krew utlenowana, do lewego przedsionka serca. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych SKŁAD KRWI Ludzka krew jest zawiesiną komórek w roztworze wodnym elektrolitów i nie elektrolitów. Przez odwirowanie krew rozdziela się na : plazmę (osocze) i komórki (elementy morfotyczne czyli krwinki) w niej zawieszone Osocze krwi - zasadniczy, płynny składnik krwi. Stanowi ok. 55% objętości krwi. Osocze krwi jest płynem słomkowej barwy, składający się przede wszystkim z wody, transportujący cząsteczki niezbędne komórkom (elektrolity, białka, składniki odżywcze), ale również produkty ich przemiany materii. Mając zdolność krzepnięcia odgrywa podstawową rolę w hemostazie. Białka osocza pełnią różne funkcje: odpowiadają za równowagę kwasowo-zasadową, ciśnienie onkotyczne, lepkość osocza, obronę organizmu, a w przypadku głodu są źródłem aminokwasów dla komórek. 91% - woda 7% - białka 1% - substancje nieorganiczne 1% - substancje organiczne Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych ELEMENTY MORFOTYCZNE: ERYTROCYTY, czyli krwinki czerwone - w krwi człowieka występuje 4,5-5 mln/mm3, u ssaków - dyskowate, pozbawione jądra komórkowatego. Erytrocyty powstają w szpiku kostnym czerwonym z erytroblastów, a rozkładane są w śledzionie. Krwinki czerwone zawierają hemoglobinę, która transportuje tlen i częściowo dwutlenek węgla. Luźne połączenie hemoglobiny z tlenem to oksyhemoglobina. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Ilość erytrocytów w organizmie człowieka może się zmieniać - zależy to m.in. od miejsca, w którym człowiek się znajduje i ciśnienia jakie tam panuje. Krwinki czerwone nie dzielą się. Nie mogą pełnić normalnych funkcji komórkowych, nie mają też mechanizmu, który mógłby naprawiać powstające w nich z czasem uszkodzenia i po kilku miesiącach użytecznego życia (ok. 120 dni) ulegają rozkładowi w śledzionie. Organizm musi zatem nieustannie produkować nowe erytrocyty, które stopniowo zastępują te, które uległy rozpadowi. Krwinki białe (leukocyty)- komórkowy składnik krwi. Leukocyty są stosunkowo duże, niemal bezbarwne i mniej liczne od erytrocytów. Ich zadaniem jest ochrona organizmu przed patogenami takimi jak wirusy i bakterie. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Płytki krwi (trombocyty)- są to ciała bezbarwne o kształcie dysku lub nieregularnym; są one najmniejszymi cząstkami krwi ściśle związanymi z procesem jej krzepnięcia. Wytwarzane są przez specjalne komórki w szpiku kostnym, a czas ich życia wynosi zaledwie kilka dni. Jeśli krew przechowywana jest dłużej niż jeden dzień, zawarte w niej płytki stają się mniej wartościowe. W sytuacji dużego niedoboru płytek może wystąpić krwawienie. Taki stan można leczyć albo przetaczając skoncentrowaną masę płytkową, albo krew, w której obecne są żywe płytki krwi. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Reologia krwi: Testy z wykorzystaniem wiskometru przeprowadzone dla plazmy krwi wykazały iż może ona być traktowana jako płyn Newtonowski (Merrill et al. 1965) z lepkością równą 1.2 cP. czyli: szybkość ścinania Te same testy przeprowadzone dla krwi wykazały iż musi być ona traktowana jako płyn nie-Newtonowski. Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych (Chien et al. 1966) Wyniki z testu z wykorzystaniem Couette-flow visometer ze szczeliną o wymiarach dużo większych od wymiaru pojedynczych krwinek. Lepkość krwi zmienia się wraz ze zmianą parametru H – hematokrytu. Hematokryt (liczba hematokrytowa) stosunek między objętością erytrocytów a objętością całej krwi. Wyrażany zwykle w procentach lub w tzw. frakcji objętości. (Merrill et al. 1963) Lepkość krwi zależy również od temperatury Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Można zadać pytanie: Co stanie się z lepkością krwi w momencie usunięcia odkształcenia ? (Cokelet i współ. 1963 ) stwierdzili iż krew posiada wyraźną granice plastyczności. Co znaczy że przy zaniku naprężeń ścinających krew zaczyna zachowywać się jak elastyczne siało stałe. Dane Cokeleta dla małych wartości naprężeń ścinających i dla hematokrytu mniejszego niż 40% mogą być aproksymowane za pomocą równania Cassona (1959) w postaci: stała naprężenie ścinające szybkość odkształcenia stała interpretowana jako granica plastyczności Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Granica plastyczności τy jest bardzo mała co do wartości i prawie nie zależy od temperatury: Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych Można zatem stwierdzić że: dla dużych wartości naprężeń ścinających krew zachowuje się jak ciecz Newtonowska ze stałą wartością lepkości czyli : μ = const lub Natomiast dla małych wartości naprężeń ścinających spełnione jest równanie Cassona: musi więc występować obszar wartości naprężeń ścinających dla których relacja naprężenia – odkształcenie zmienia się z rów. Cassona na rów. Newtona Procesy transportowe w organizmach żywych

Wykład 3 – Ruch masy w układach ożywionych rów. Newtona rów. Cassona Odnosi się to do przepływu dużymi naczyniami, dla naczyń włosowatych nie można stosować tej metodyki opisu. Procesy transportowe w organizmach żywych