Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko

PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn tej siły przez długość przesunięcia (1) Jednostka Rys. 1 Wektor siły jest nachylony do kierunku przesunięcia pod kątem a

PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ (2) WNIOSEK: Pracę wykonuje tylko składowa siły stycznej do toru Ft . Praca składowej normalnej do toru Fn jest równa zeru. Z równania (2) wynika, że dla: WNIOSEK: Praca jest skalarem, może przyjmować wartości dodatnie, ujemne i równe zeru.

PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ Definicja pracy elementarnej: Pracą elementarną siły zmiennej na przesunięciu nazywamy iloczyn skalarny siły przez to przesunięcie elementarne. (3) Ponieważ (4) to (5) Podstawiając do wzoru (3): oraz otrzymamy po wymnożeniu i podstawieniu do (5) : (6)

PRACA MECHANICZNA SIŁY ZMIENNEJ Pracę całkowitą od położenia 1 do położenia 2 na torze otrzymamy, całkując wyrażenie przedstawiające pracę elementarną. (7) Praca siły na pewnym przesunięciu jest równa sumie prac sił składowych na odpowiednich przemieszczeniach składowych.

PRACA MECHANICZNA PO OKRĘGU Gdy siła działa na punkt poruszający się po torze kołowym (np. siła naciągu pasa przekładni pasowej), otrzymamy (8) Wyrażenie Ftr określa moment siły względem środka O (np. środka tarczy). Nazywamy go momentem obrotowym Rys. 2 (9)

PRACA MECHANICZNA PO OKRĘGU Wzór na pracę elementarną przybiera postać: (10) Pracę całkowitą na drodze kątowej od do określa całka (11)

PRACA MECHANICZNA siły sprężystości Siła sprężystości jest wielkością zmienną proporcjonalną do wydłużenia sprężyny. Przyjmując oś sprężyny za oś x napiszemy (12) gdzie c – stała sprężyny. Praca elementarna siły sprężystości jest równa (13) Składowe siły sprężystości

PRACA MECHANICZNA siły sprężystości Po podstawieniu (14a) Praca całkowita siły sprężystości na drodze całkowitego wydłużenia sprężyny będzie równa (14b) Uwzględniając, że otrzymamy ostatecznie (15)

PRACA MECHANICZNA siły ciężkości G=mg z2 y x

PRACA MECHANICZNA siły ciężkości Praca elementarna Składowe siły ciężkości Zatem praca elementarna Praca całkowita Gdy z1>z2 to A > 0, gdy z1< z2 to A < 0.

MOC CHWILOWA Pracę odniesioną do jednostki czasu nazywamy mocą. (17) wyrażenie na moc chwilową przedstawimy w następującej postaci: lub (18)

MOC W RUCHU OBROTOWYM W ruchu obrotowym Ponieważ W związku z tym (20)

MOC I SPRAWNOŚĆ Gdy prędkość w ruchu obrotowym zadana jest za pomocą prędkości obrotowej n, obr/min – wówczas prędkość kątową w obliczamy z ze wzoru: Po podstawieniu do (20) wyrazimy moc w postaci: (21) Jednostką podstawową mocy mocy jest W = J/s = Nm/s Jednostki techniczne to: kW i MW

SPRAWNOŚĆ Sprawnością mechaniczną maszyny lub silnika nazywamy stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub mocy) włożonej. (22)

ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ Po wyrażeniu siły Ft w postaci: Wzór na pracę elementarną przybiera postać ds/dt = v Prawa strona tego równania jest różniczką zupełną funkcji zwanej energią kinetyczną poruszającego się punktu materialnego.

ZASADA PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ Zatem (23) Po całkowaniu otrzymujemy (24) Energia kinetyczna poruszającego się punktu materialnego rośnie lub maleje o wielkość pracy wykonanej przez siły działające na ten punkt materialny.

POLE SIŁ Określić pole sił, to znaczy podać wektor-funkcję położenia (25) Albo jego składowe

Równanie różniczkowe tych linii ma postać LINIE POLA SIŁ Linię charakteryzującą się tym, że w każdym jej punkcie wektor pola jest styczny do niej, nazywamy linią pola sił. Równanie różniczkowe tych linii ma postać (26) Jeżeli linie pola sił są prostymi równoległymi, pole nazywamy jednorodnym.

PRACA W POLU SIŁ Pracę całkowitą wykonaną przez siły pola określa całka (27) Aby obliczyć pracę całkowitą, należy ustalić: a)    współrzędne punktu początkowego i końcowego (1 i 2), b)    wektor siły pola , . c) równanie toru, wzdłuż którego pole wykonuje pracę.

PRZYKŁAD 1 Obliczyć pracę siły od położenia I (0, 1) do II (1, 0) Rys. 3 gdy praca jest wykonywana: a)    po linii prostej , b)    po okręgu , po osiach wsp. , . Jednostki: [F] – N, [x, y] – m

Po scałkowaniu w granicach x(0,1) otrzymamy: Dla przykładu a) X = y2, Y = -x2, równanie (27) przybiera postać: Ponieważ Lub to Po scałkowaniu w granicach x(0,1) otrzymamy:

Dla przykładu b) praca po okręgu x2 + y2 = 1, X = y2, Y= -x2 Po podstawieniu do (27) Po scałkowaniu:

WNIOSEK: w tym zadaniu praca pola sił zależy od kształtu toru Dla przykładu c) praca po osiach współrzędnych: Równanie osi x ma postać y = 0 Równanie osi y ma postać x = 0 Zatem WNIOSEK: w tym zadaniu praca pola sił zależy od kształtu toru Takie pola sił, w których praca zależy od kształtu toru, nazywamy polami niepotencjalnymi lub wirowymi.

PRZYKŁAD 2 Niech w poprzednim przykładzie siła pola będzie określona równaniem gdzie a i b – stałe, Składowe siły Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie określona wzorem - nazywamy funkcją pola sił.

PRZYKŁAD 3 Ciało o masie m, zawieszone na linie przerzuconej przez krążek, zaczyna poruszać się w górę równi pochyłej o kącie nachylenia α (rysunek poniżej). Obliczyć pracę sił i momen-tu po przebyciu przez to ciało drogi s, jeśli dane są współczynnik tarcia  ciała o równię, promień krążka r i moment M działający na krążek (pominąć tarcie cięgna o krążek). Dane: m, s, α, M, r, 

Rozwiązanie Całkowita praca jest równa sumie prac: momentu o wartości M; wypadkowej sił: ciężkości G oraz nacisku N; siły tarcia T. Praca momentu M: gdzie φ – kąt, o jaki obrócił się krążek w czasie, gdy ciało przebyło drogę s Mamy: Zatem:

α Praca sił G oraz N: bo Siła tarcia: Praca siły tarcia T:

Zatem praca wszystkich sił i momentu wynosi:

PRZYKŁAD 4 Znaleźć, jaką moc uzyskuje silnik samochodu o masie 1 Mg po 10 sekundach, jeśli samochód rusza ze stałym przys-pieszeniem a = 1 m/s2: po drodze poziomej; pod górę o nachyleniu α=30°; z góry o takim samym nachyleniu. Współczynnik tarcia kół samochodu o drogę wynosi 0.07. Rozwiązanie Ruch jest prostoliniowy, a więc po czasie :

Rozwiązanie

Rozwiązanie Zatem moc chwilowa silnika wynosi:

Rozwiązanie (2)

Rozwiązanie (3) – moc hamowania

FUNKCJA POLA SIŁ Funkcją pola sił nazywamy funkcję położenia , której różniczka zupełna jest równa pracy elementarnej sił pola. W omawianym przykładzie funkcja ta miała postać : gdyż W polu potencjalnym praca nie zależy od kształtu toru, a jedynie od położenia początkowego i końcowego siły pola - równa jest wartości funkcji pola w położeniu końcowym i początkowym. Różniczka zupełna funkcji pola jest równa

FUNKCJA POLA SIŁ Aby ta różniczka zupełna była równa pracy elementarnej muszą być spełnione zależności Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: Prawa strona jest gradientem funkcji , czyli

POTENCJAŁ POLA SIŁ Potencjałem pola sił nazywamy skalarną funkcję położenia , której pochodne cząstkowe względem odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym. Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-). Miejsce geometryczne punktów, dla których nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Praca elementarna W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym. Praca całkowita stąd W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.

PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Potencjał ma postać Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 będzie równa Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi gdzie h – wysokość położenia 1 nad poziomem Ziemi.

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Pracę nazywamy energią potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi. Z zasady pracy i energii kinetycznej oraz pracy i energii potencjalnej wynika że: czyli Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej.

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Całkując to równanie otrzymujemy W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą. W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru