Niedziesiątkowe systemy liczenia Kacper Lewandowski Uczeń klasy IIIb

System liczbowy to zbiór reguł zapisu i nazewnictwa liczb. Czym są systemy liczbowe? System liczbowy to zbiór reguł zapisu i nazewnictwa liczb.

Co jest potrzebne do zapisania liczby? Do zapisywania liczb używa się określonego zbioru znaków zwanych cyframi, które można łączyć w ciągi o dowolnej długości w nieskończonej ilości kombinacji.

Jakie są kategorie systemów liczbowych? Wyróżniamy dwie kategorie systemów liczbowych: Addytywne Pozycyjne

Systemy pozycyjne Systemy pozycyjne to takie, które posiadają symbole tylko dla kilku najmniejszych cyfr naturalnych. Są to tak zwane podstawy systemu, które mogą być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Cyfry w tym systemie mają ściśle określone ustawienie i są mnożone przez odpowiednią potęgę podstawy. Tam, gdzie cyfra jest niepotrzebna wstawia się 0.

Systemy addytywne Systemy addytywne to takie, które powstają przez dodawanie kolejnych symboli, jak to jest na przykład z liczbami rzymskimi. „V”, oznaczające 5 dopisane obok „X”, oznaczającego 10 to 15, ponieważ 10+5=15. Działa to także w drugą stronę. „I” oznaczające 1 napisane przed „X” jest odejmowane i wychodzi 9. (Jeżeli znak o mniejszej wartości następuje po większym, to ich wartości się sumuje; jeżeli znak o mniejszej wartości poprzedza znak większy – ich wartości odejmuje się.)

Wady i zalety systemów addytywnych i pozycyjnych Zaletą systemów pozycyjnych jest łatwość wykonywania obliczeń oraz ich klarowność. Do ich zapisu potrzebna jest jednak większa ilość znaków. Systemy addytywne cechują się łatwością w zapisie dużych cyfr przy pomocy zaledwie kilku znaków. Często występują jednak błędy z szybką interpretacją liczby, a dokonywanie na nich obliczeń jest bardziej skomplikowane.

Systemów liczbowych jest wiele Systemów liczbowych jest wiele. Najbardziej rozpowszechniony jest system dziesiątkowy, który zna każdy z nas.

1 Najbardziej prymitywnym systemem niedziesiątkowym jest system jedynkowy. Jest on jednak niewygodny ze względu na długość zapisu nawet przy niewielkich liczbach. Posługują się nim nieliczne społeczności, na przykład Pigmeje.

2 Najpopularniejszym systemem niedziesiątkowym jest system dwójkowy, zwany także binarnym. Początki miał już w XVI wieku, chociaż wtedy zamiast 0 i 1 używano a i b, ale spopularyzowany został przez Gottfrieda Leibniza. Jest on powszechnie używany w elektronice cyfrowej oraz informatyce. Na przykład na płycie CD są wypalane malutkie wgłębienia, czyli 1. Dzięki nim komputer może odczytać dane.

3 System trójkowy ma tylko jedno zastosowanie praktyczne, w definiowaniu zbioru Cantora. Zbiór ten tworzą liczby z przedziału od 0 do 2, których trójkowa forma nie zawiera cyfry 1.

4 System czwórkowy jest powiązany z binarnym, ponieważ 4 jest potęgą cyfry 2. Dzięki temu konwersja jednego systemu na drugie jest łatwiejsza. Liczby w tym systemie stosuje się do prezentacji płaskich krzywych Hilberta, a także do transmisji danych, na przykład w kodowaniu liniowym 2B1Q.

5 Natomiast na systemie piątkowym oparte są liczebniki w niektórych językach, chociaż tylko Gumatj spośród nich jest prawdziwie piątkowy. Liczebniki tam to 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 25, 50 itd.

6 Szóstkowy system liczbowy uznawany jest za przydatny w badaniach liczb pierwszych, ponieważ wszystkie liczby (nie licząc 2 i 3), kończą się cyfrą 5 lub 1. Także z uwagi na to, iż cyfra 6 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych oraz sąsiaduje z dwoma liczbami pierwszymi, wiele ułamków w systemie szóstkowym ma prostszą formę. Na przykład 1/3 w systemie dziesiątkowym ma postać 0,(3), a w szóstkowym 0,2 albo ułamek 1/13 ma o wiele prostszą formę, bo 0,04 zamiast 0,(076923).

7 System siódemkowy, zwany także septymalnym (od łacińskiego septum czyli siedem) nie jest stosowany w praktyce, chyba, że weźmiemy pod uwagę podział tygodnia na siedem dni.

8 System ósemkowy (oktalny) używany jest niekiedy w informatyce, na przykład w systemie Linux czy językach programowania takich jak Java czy Perl.

9 13 15 System dziewiątkowy, tak jak i trzynastkowy oraz piętnastkowy nie mają żadnych zastosowań praktycznych, istnieją „tylko w teorii”.

12 System dwunastkowy używany był jednostkach monetarnych np. w Starożytnym Rzymie, gdzie As składał się z 12 uncji, w średniowiecznej Europie, gdzie pieniądze liczono w solidach po 12 denarów do 2 połowy XX wieku. Do dziś natomiast stosowany jest w krajach anglosaskich do miary długości w stopach, calach, liniach i punktach oraz w Polsce, gdzie nadal funkcjonują pojęcia takie jak tuzin czy gros.

W życiu codziennym używamy dziesięciu podstawowych znaków : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nazywamy je cyframi. Do zapisania liczb w systemach o podstawie większej niż 10 potrzebujemy więcej cyfr. W tym celu korzystamy z kolejnych liter alfabetu (bez polskich znaków). Np. „A” po przeliczeniu na system dziesiątkowy przyjęłoby wartość „10”; „B” przyjęłoby wartość „11”; a „C” – „12” etc.

Aby przeliczyć liczbę z systemu dziesiątkowego na inny należy wykonać kolejne dzielenia tej liczby przez podstawę systemu, który chcemy uzyskać. Otrzymane reszty zapisujemy. Działanie przerywamy, gdy otrzymamy wynik zero. Zapisane uprzednio reszty należy teraz przepisać w odwrotnej kolejności.

Np. przeliczanie liczby 229(10) do jej postaci w systemie dwójkowym wygląda następująco: 225(10) = 11100101(2)

Aby przeliczyć liczbę do systemu dziesiątkowego należy jej cyfry przemnożyć przez kolejne potęgi podstawy żądanego systemu. Działanie należy wykonać „od końca”. Np. Przeliczanie liczby 11100101(2) do systemu dziesiątkowego: 11100101(2) = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 0*23 + 0*24 + 1*25 + 1*26 + 1*27 = 1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 32 + 64 + 128 = 229

Przeliczając liczby z systemu niedziesiątkowego można też skorzystać z tabeli. W kolejnych komórkach zapisano potęgi liczby dwa (podstawy systemu źródłowego), a poniżej – cyfry liczby, którą chcemy przeliczyć. Metodę tą pokazujemy na przykładzie użytej w poprzednich slajdach liczby 11100101(2) 1024 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Teraz wystarczy tylko przemnożyć liczby znajdujące się w tych samych kolumnach, a następnie iloczyny zsumować. 1*1+2*0+4*1+8*0+16*0+32*1+64*1+128*1=229

Możliwe jest także bezpośrednie przeliczanie między systemami : binarnym i ósemkowym oraz binarnym i szesnastkowym. Przydatne są przy tym następujące tabele : Użycie tych metod możliwe jest, gdyż podstawy tych systemów to potęgi liczby 2. 23 = 8 24 = 16 Zapis dwójkowy: Zapis szesnastkowy: 0000 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Oktalny Binarny 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111