Metody optymalizacji Wykład 4 - 2015/2016 Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 4 - 2015/2016 Metody programowania nieliniowego Metoda nieoznaczonych mnożników Lagrange’a

Metody programowania nieliniowego – metoda nieoznaczonych mnożników Lagrange’a Rozważamy zadanie Przypadki i metody rozwiązania I. Ograniczenia tylko równościowe - rozwiązanie przez podstawienie

Przykład 1 Korzystając z ograniczenia równościowego wyrażamy x1 przez x2 lub odwrotnie Podstawimy do funkcji celu Dostajemy zadanie minimalizacji bez ograniczeń Warunek konieczny pierwszego rzędu dla poszuwania minimum

Przedstawienie graficzne Z podstawienia obliczamy x1 Przedstawienie graficzne Kontur funkcji f(x) rzutowany na płaszczyznę

- rozwiązanie przez zastosowanie metody nieoznaczonych mnożników Lagrange’a Przykład 2 Rozwiązanie graficzne

Analiza rozwiązania graficznego W punkcie optymalnym Gradient funkcji celu w punkcie optymalnym jest ortogonalny do płaszczyzny stycznej do ograniczenia w tym punkcie W punkcie optymalnym gradient funkcji celu i gradient ograniczenia są kolinearne, ale przeciwnie zwrócone nieoznaczony mnożnik Lagrange’a

Sposób postępowania Definiujemy funkcję lagrangianu Warunek konieczny optimum czyli Warunek dopuszczalności

Przykład 2 c.d. Warunki konieczne optymalności oraz

Rozwiązując układ równań otrzymamy Z pierwszych dwóch równań Podstawiając do trzeciego Otrzymamy

Przykład 3 Definiujemy funkcję lagrangianu Warunki konieczne

Podstawiając do warunku dopuszczalności otrzymamy

Podsumowanie (1) gdzie Wprowadzamy Definiujemy lagrangian Warunki konieczne optimum (2) (3)

Dodatkowe wymagania wyznaczenia mnożników (1) (2) i (3)

II. Ograniczenia tylko nierównościowe Przykład 4

Ilustracja graficzna Klasyfikacja ograniczeń – aktywne - nieaktywne

Warunek Kuhn’a – Tucker’a dla punktu optymalnego W punkcie optymalnym, wektor gradientu funkcji celu leży w stożku generowanym przez ujemne gradienty ograniczeń aktywnych w tym punkcie

Warunek Kuhn’a – Tucker’a dla punktu optymalnego w postaci analitycznej W punkcie optymalnym, wektor gradientu funkcji celu leży w stożku generowanym przez ujemne gradienty ograniczeń aktywnych w tym punkcie Przekłada się na wymaganie: Wektor gradientu funkcji celu , musi być nieujemną liniową kombinacją ujemnych gradientów ograniczeń aktywnych, to znaczy muszą istnieć mnożniki Lagrange’a takie, że gdzie: I – indeksy ograniczeń aktywnych

Wynik ten należy uogólnić dla objęcia wszystkich ograniczeń, definiując mnożniki Lagrange’a równe zero dla wszystkich ograniczeń nieaktywnych Widać, że oraz Zatem:

Ostatecznie warunki Kuhn’a – Tucker’a dla punktu optymalnego

III. Ograniczenia zarówno równościowe jaki i nierównościowe Definiujemy mnożniki Lagrange’a związane z ograniczeniami równościowymi i mnożniki związane z ograniczeniami nierównościowymi Budujemy funkcję Lagrange’a postaci

Jeżeli punkt jest lokalnym minimum zagadnienia optymalizacji z ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi, to istnieje wektor mnożników Lagrange’a oraz taki, że jest punktem stacjonarnym funkcji Lagrange’a, tzn. i spełnione są dodatkowo warunki

Przykład 5 Rozwiązanie Funkcja Lagrange’a Warunki konieczne

Punkty rozwiązania

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu