GEODEZYJNE W PRZETRZENIACH METRYCZNYCH GEODEZYJNA – krzywa w przestrzeni metrycznej zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Dla przestrzeni Euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

KILKA UWAG O PROSTEJ LINIA PROSTA w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „ prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”. Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.

KILKA UWAG O PROSTEJ W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie.

KILKA UWAG O PROSTEJ Własności prostych w przestrzeni Euklidesowej: Przez dwa różne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta. Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie. Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich. Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi. Najkrótsza droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej. Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta prostopadła do niej. Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn.

KILKA UWAG O PROSTEJ Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn.

KILKA UWAG O PROSTEJ W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób: Dla pewnych liczb rzeczywistych A, B i C, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność: Ax+By+C=0. Równanie to nazywamy RÓWNANIEM OGÓLNYM prostej. RÓWNANIE NORMALNE: xcosβ+ysinβ-p=0 -równanie prostej położonej pod kątem β do osi Oy i odległej o p od środka układu współrzędnych. RÓWNANIE KIERUNKOWE: y=ax+b. RÓWNANIE PARAMETRYCZNE RÓWNANIE KANONICZNE

Aksjomaty Euklidesa 1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. Euklides sformułował w dziele Elementy pięć aksjomatów tworzących podstawy jego geometrii . 1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. 2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, otrzymując prostą. 3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego punktów końcowych i promieniu równym jego długości. 4. Wszystkie kąty proste są przystające.

PIĄTY AKSJOMAT EUKLIDESA Szczególnie interesujący jest piąty tzw. aksjomat równoległości, który w oryginalnej wersji brzmiał: Jeśli prosta przecina dwie proste w ten sposób, że kąty wewnętrzne po tej samej stronie prostej przecinającej są mniejsze od dwóch kątów prostych to proste te (przecinane) spotkają się z tej właśnie strony. Sformułowanie to było długie i stosunkowo mało oczywiste w porównaniu z innymi pewnikami, jednak było Euklidesowi niezbędne do przeprowadzenia wielu ważnych dowodów. Współczesnym Euklidesa nie udało się wyprowadzić go z pozostałych aksjomatów i w ten sposób usunąć z grona niezbędnych postulatów geometrii. Ostatecznie późniejsi matematycy odkryli, że pozostałe cztery postulaty nie są wystarczające dla aksjomatyzacji geometrii euklidesowej, da się jednak zastąpić piąty postulat prostszą, równoważną wersją, np. 5. Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić dokładnie jedną nie przecinającą jej prostą (czyli prostą równoległą).

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA W XIX wieku okazało się, że piąty aksjomat jest niezależny od pozostałych, a zmieniając jego sens, przy zachowaniu niezmienionych pozostałych czterech, możemy uzyskać spójne i niesprzeczne systemy. Dotychczas znaną geometrię nazwano EUKLIDESOWĄ, a nowe –NIEEUKLIDESOWYMI, wśród nich pierwszymi były geometria hiperboliczna oraz eliptyczna.

Geometria eliptyczna (sferyczna) W geometrii sferycznej, której model stanowi powierzchnia kuli (także kuli ziemskiej) nie istnieją dwie proste nie przecinające się. Punktami w tej geometrii są zbiory dwóch punktów euklidesowych leżących po przeciwnej stronie sfery, a prostymi tzw. Okręgi wielkie sfery, czyli okręgi na jej powierzchni, których środek pokrywa się ze środkiem sfery.

Geometria eliptyczna (sferyczna) Przykładowe geodezyjne to okręgi wielkie. Inne okręgi nie są prostymi tej geometrii, gdyż nie wyznaczają najkrótszych dróg. Pomiędzy dwoma dowolnymi punktami sfery można bowiem przejść po łukach nieskończonej liczby różnych okręgów, ale tylko jeden z tych okręgów będzie okręgiem wielkim, i ta właśnie trasa będzie najkrótsza – jest to tak zwana ortodroma. Z definicji zatem łuki okręgów wielkich to odcinki w geometrii sferycznej, łuki pozostałych okręgów odcinkami nie są.

Geometria eliptyczna (sferyczna)

Geometria eliptyczna (sferyczna) Wprowadzając dla dwuwymiarowej geometrii eliptycznej układ współrzędnych z długością geograficzną i szerokością geograficzną możemy zdefiniować jej prostą (okrąg wielki) równaniem: Gdzie A, B i C są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są jednocześnie wszystkie trzy równe zeru. Sfera jest przykładem przestrzeni ograniczonej, w której proste również są ograniczone. Jednak nawet tutaj okręgi wielkie pozostają liniami geodezyjnymi i nie posiadają zakończeń.

Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego) W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej. Na rysunku widoczny trójkąt oraz dwie proste na powierzchni o geometrii hiperbolicznej.

GEODEZYJNE KRZYWE GEODEZYJNE są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej z wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).