Leszek Smolarek Akademia Morska w Gdyni 2005/2006 Modelowanie procesów transportowych Wykład 5-6 Leszek Smolarek Akademia Morska w Gdyni 2005/2006

System M/M/m/FIFO/inf Opis

Kod M/M/m/FIFO)/inf oznacza zgodnie z klasyfikacją D.Kendall'a: strumień wejściowy tego systemu jest strumieniem Poissona czas obsługi ma rozkład wykładniczy system kolejkowy ma m-stanowisk obsługi system pracuje według reguły FIFO poczekalnia posiada nieograniczoną ilość miejsc

Możliwe stany systemu: Ej gdzie j = {0, 1, Możliwe stany systemu: Ej gdzie j = {0, 1, . . .} Zapis Ej oznacza, ze w systemie znajduje się aktualnie j zgłoszeń.

Warunki początkowe: Prawdopodobieństwa uzyskania poszczególnych stanów systemu

Prawdopodobieństwo, że s stanowisk obsługi jest zajętych: Prawdopodobieństwo, że długość kolejki wynosi r, tzn j = m+r: Prawdopodobieństwo, że wszystkie stanowiska obsługi są zajęte (r=0):

Średnia liczba klientów oczekujących w kolejce na obsługę: Średnia ilość zgłoszeń w trakcie obsługi: Średnia ilość zgłoszeń w systemie (w kolejce oraz w trakcie obsługi):

Średni czas oczekiwania zgłoszenia w kolejce: Średni czas przebywania zgłoszenia w systemie:

Przykład Założenia systemu Brama wejściowa posiada cztery stanowiska do kontroli antynarkotykowej. Każde ze stanowisk obsługuje typowy ładunek średnio przez jedną minutę. Ładunki przybywają i ustawiają się w kolejce oczekującej na obsługę z intensywnością trzech na minutę. Zakładamy, ze kolejka może mieć teoretycznie nieograniczoną długość, oraz że ładunki nie rezygnują z czekania. Oblicz średnią liczbę ładunków oczekujących w kolejce, średnią liczbę obsługiwanych ładunków, średni czas oczekiwania na obsługę oraz prawdopodobieństwo tego, że dwa stanowiska kontrolne są w danej chwili zajęte (pracują).

Parametry modelu system kolejkowy posiadający 4 stanowiska obsługi (m = 4) strumień wejściowy tego systemu jest opisany rozkładem Poissona czas obsługi podlega rozkładowi wykładniczemu system pracuje według reguły FIFO poczekalnia posiada nieograniczoną ilość miejsc

Wzór wyjściowy: Po przekształceniach mamy Aby wyliczyć musimy wyznaczyć parametr r

Obliczenia

Średnia liczba obsługiwanych ładunków Średni czas oczekiwania ładunku na obsługę

Prawdopodobieństwo, że dwa stanowiska zajęte Wzór ogólny: W badanym przypadku s = 2, czyli

Ćwiczenie Na stanowisku rozładowania pracują 3 dźwigi (każdy osobno). Pojazdy są przyjmowane wg kolejności przybywania. Liczba miejsc postojowych na placu jest nieograniczona oraz kierowcy nie rezygnują z czekania. Średni czas rozładunku wynosi 20 minut. Natomiast co 10 minut przybywa nowy pojazd. Oblicz średnią liczbę pojazdów przebywających na tym stanowisku obsługi średni czas przebywania pojazdu na miejscu postojowym

Pożyteczne wzory Wyniki

Praca własna W supermarkecie świątecznym jest 15 Mikołajów wręczających dzieciom prezenty (stanowiska obsługi). Ludzie z dziećmi, przychodzący do marketu zgodnie z procesem Poissona o parametrze l = 1/2 , zgłoszenia na minutę, czekają w kolejce do Mikołaja do skutku. Czasy obsługi klientów podlegają rozkładowi wykładniczemu. Każdy klient może podejść tylko do jednego Mikołaja i ma dokładnie 5 minut na uzyskanie prezentu. Wyznacz średnią liczbę klientów oczekujących na prezenty oraz średnią liczbę klientów w markecie.

Dziękuję za uwagę