Źródła błędów w obliczeniach numerycznych 1. Błędy wejściowe 2. Błędy obcięcia 3. Błędy zaokrągleń

Źródła błędów wejściowych: • dane wejściowe obarczone są błędem pomiaru jeśli są wynikiem pomiarów wielkości fizycznych • błąd reprezentacji – nie wszystkie liczby mają swoją reprezentację (komputer może przechować tylko SKOŃCZONĄ ilość liczb) Błędy wejściowe Przybliżanie liczb, których nie można wyrazić dokładnie dokonuje się poprzez: • urywanie • zaokrąglanie

Błędy obcięcia Spowodowane jest użyciem przybliżonej formuły zamiast pełnej operacji matematycznej: • przy obliczaniu sum nieskończonych szeregów • przy obliczaniu wielkości będących granicami (całka, pochodna)

Działania arytmetyczne Aby dodać lub odjąć dwie znormalizowane liczby w zapisie zmiennoprzecinkowym, wykładniki w powinny być zrównane poprzez odpowiednie przesunięcie mantysy. Wniosek: Tracimy pewne cyfry znaczące - Przy obliczeniach przybliżonych brak prawa łączności, rozdzielności…

Wnioski praktyczne Wskazane jest: - ponowne rozwiązanie tego samego zagadnienia inną metodą lub taką samą metodą, ale z inną kolejnością operacji - ponowne rozwiązanie zagadnienia przy nieznacznej zmianie danych wejściowych

Przykład

Dane: b,c

Błąd rośnie gdy

Wskaźnik uwarunkowania określa w jakim stopniu względne zaburzenie danych wpływa na błąd względny wyniku: Problem o niskim wskaźniku uwarunkowania nazywamy dobrze uwarunkowanym zaś problemy o wysokim wskaźniku uwarunkowania – źle uwarunkowanymi. Zagadnienia o zbyt dużym wskaźniku uwarunkowania nie nadają się do numerycznego rozwiązywania ponieważ, a) już sam błąd wynikający z numerycznej reprezentacji liczb przekłada się na duży błąd obliczenia wyniku b) zaburzenia danych są nieuniknione, a źle uwarunkowane zadanie tylko je wzmocni na wyjściu. W odróżnieniu od błędu zaokrągleń czy błędu obcięcia wprowadzonego przez algorytm, wskaźnik uwarunkowania stanowi informację o błędzie przeniesionym z danych.

Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Błąd względny: Błąd względny f(x) Wskaźnik uwarunkowania może być przybliżony formułą:

Przykład: Wyznaczenie uwarunkowania obliczania pierwiastka kwadratowego Zadanie dobrze uwarunkowane

Wskaźnik uwarunkowania Niech gdzie ε największe dopuszczalne zaburzenie względne

Wykorzystanie wzoru Taylora Dla funkcji wskaźnik uwarunkowania możemy szacować wykorzystując wzór: Błąd względny

Przykłady norm wektorów norma euklidesowa

Normy macierzy Zbiór macierzy kwadratowych jest przestrzenią liniową nad R (lub C) Norma macierzy indukowana przez normę wektora: np.

Norma spektralna Chcemy znaleźć efektywny wzór na normę macierzy indukowaną przez normę euklidesową Normę tę nazywać będziemy normą spektralną. Aby to zrobić niezbędne będzie pojęcie wartości szczególnych macierzy:

Wartości własne macierzy Liczbę λ, dla której istnieje niezerowy wektor spełniający równanie nazywamy wartością własną, wówczas wartość x - wektor własny Mamy czyli gdzie I jest macierzą jednostkową Równanie jednorodne ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko gdy macierz główna jest osobliwa: wielomian charakterystyczny Powyższe równanie pozwala wyznaczyć wartości własne jako pierwiastki wielomianu charakterystycznego.

Wielomian charakterystyczny: Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy A nazywa się jej widmem lub spektrum i jest oznaczany przez (A) Wielomian charakterystyczny: A(λ) = –λ3 +12λ2 – 46λ + 56 = –(λ–λ1) (λ–λ2) (λ–λ3), gdzie λ1=4–2, λ2=4, λ3 =4+2. Wyznaczymy wektor własny odpowiadający wartości własnej λ2 = 4. Dla tej wartości równanie charakterystyczne (A- λI)x = 0 ma postać , Nieskończenie wiele wektorów własnych postaci: gdzie

Sprzężenie macierzy Dla macierzy o wyrazach rzeczywistych AH =AT A - macierz o elementach zespolonych (lub rzeczywistych) Dla macierzy o wyrazach rzeczywistych AH =AT

Macierze hermitowskie i unitarne macierz hermitowska macierz unitarna gdzie I jest macierzą jednostkową

Wartości szczególne Macierz jest hermitowska i dodatnio określona Taka macierz ma dokładnie n wartości własnych przy czym są one rzeczywiste i nieujemne Pierwiastki kwadratowe z nich nazywamy wartościami szczególnymi macierzy A

wielomian charakterystyczny Widmo Wartości szczególne

Norma spektralna: gdzie wartości szczególne A. Nie wszystkie normy macierzy są indukowane przez normę wektora np.

Wskaźnik uwarunkowania macierzy Niech będzie zaburzonym wektorem Oszacowanie zaburzenia bezwzględnego wyniku

Oszacowanie zaburzenia względnego wyniku Skąd Wskaźnik uwarunkowania