Metody zapisu wiedzy

Metody zapisu wiedzy Klasyczna logika zdań Logika predykatów pierwszego rzędu Logika atrybutowa Logika opisowa Język Rebit

Logika Logika jest formalnym językiem reprezentacji informacji takim, w którym mogą być wyciągane wnioski Syntaktyka definiuje zdania w języku Semantyka definiuje "znaczenie" zdań; tzn. definiuje prawdziwość zdań w opisywanym świecie Np. język arytmetyki x + 2 > y jest zdaniem; x2 + y > nie jest zdaniem x + 2 > y jest prawdziwe wtw x + 2 jest nie mniejsze niż liczba y x + 2 > y jest prawdziwe w świecie, gdzie x = 7, y = l x + 2 > y jest nieprawdziwe w świecie, gdzie x = 0, y = 6

Logiczna konsekwencja Logiczna konsekwencja oznacza, że jeden fakt wynika z innego: KB |= α  jest logiczną konsekwencją bazy wiedzy KB wtedy i tylko wtedy gdy  jest prawdziwe we wszystkich światach, w których KB jest prawdziwe Np. logiczną konsekwencją bazy wiedzy KB zawierającej „Pies jest studentem" i „Kot jest studentem" jest zdanie „Kot jest studentem i Pies jest studentem„ natomiast nie jest konsekwencją fakt „Słoń jest studentem” Np. 4 = x + y jest logiczną konsekwencją x + y = 4 Logiczna konsekwencja jest relacją pomiędzy zdaniami (syntaktyka) która opiera się na semantyce Uwaga: umysł analizuje syntaktykę (pewnego rodzaju)

Modele Logicy myślą zazwyczaj w terminach modeli, które formalnie są ustrukturalnionymi światami względem których można wyznaczać prawdziwość Mówimy, ze m jest modelem zdania α jeśli α jest prawdziwe w m M() jest zbiorem wszystkich modeli  Wtedy KB |= α wtw M(KB) zawiera się w M(α) Np. KB = Pies jest studentem i Kot jest studentem α = Pies jest studentem

Wnioskowanie KB |= i α zdanie α może być wyprowadzone z KB procedurą i Poprawność: i jest poprawne, jeśli zawsze kiedy KB |= i α , to też KB |= α Pełność: i jest pełne jeśli zawsze kiedy KB |= α , to też KB |= i α Cel: zdefiniować logikę, w której można wyrazić możliwie jak najwięcej i dla której istnieje poprawna i pełna procedura dowodzenia. Tzn. ta procedura odpowie na każde pytanie, które wynika z tego, co wiadomo w bazie wiedzy KB.

Cechy charakteryzujące system logiczny poprawność zupełność niesprzeczność rozstrzygalność

Poprawność Pojęcie poprawności odnosi się do relacji pomiędzy składnią a semantyką systemu logicznego System jest poprawny jeśli każda konkluzja posiadająca dowód w sensie składniowym jest prawdziwa w sensie semantycznym W systemie poprawnym każda formuła, którą potrafimy dowieść manipulując na symbolach i wykorzystując aksjomaty teorii jest prawdą w sensie semantycznym, tj. nie można wskazać takiej interpretacji, że formuła jest fałszywa

System niepoprawny Załóżmy, że w pewnym systemie logicznym przyjmiemy aksjomat: Wówczas za poprawne musielibyśmy uznać sformułowanie: Ponieważ nieprawdą jest to, że Jan jest mężczyzną i jest studentem to prawdą jest, że nie jest mężczyzną lub jest studentem

Zupełność Pojęcie zupełności również odnosi się do relacji pomiędzy składnią a semantyką System logiczny jest zupełny, jeśli każda konkluzja prawdziwa w sensie semantycznym może być dowiedziona na gruncie składniowym W systemie zupełnym nie może istnieć formuła prawdziwa w sensie semantycznym i nie posiadająca dowodu w sensie składniowym

System niezupełny Załóżmy, że usuwamy z pewnego systemu prawo podwójnego przeczenia Wówczas niemoglibyśmy dowieś stwierdzenia: Jeżeli Jan jest studentem to nieprawdą jest, że nie jest studentem

Niesprzeczność Pojęcie niesprzeczności dotyczy już wyłącznie syntaktyki i zbioru aksjomatów System jest niesprzeczny jeśli nie istnieje taka formuła, że w sensie składniowym można dowieść, iż jest ona zarówno prawdziwa jak i fałszywa

Rozstrzygalność Pojęcie rozstrzygalności dotyczy również tylko syntaktyki i zbioru aksjomatów System jest rozstrzygalny, jeśli dla każdej formuły można dowieść w sensie składniowym, czy jest prawdziwa czy fałszywa

Kryteria doboru języka Efektywność, której miarą może być liczba symboli potrzebnych do reprezentacji wiedzy Siła ekspresji wyrażana w bogactwie operatorów logicznych oraz w poziomie szczegółowości Adekwatność rozumiana jako dopasowanie środków wyrazu, czyli siły ekspresji do poziomu złożoności wiedzy

Logika zdaniowa: syntaktyka Logika zdaniowa jest najprostszą logiką — ilustruje podstawowe pomysły Symbole zdaniowe P1, P2 itd. są zdaniami Jeśli S jest zdaniem, ¬S jest zdaniem (negacja) Jeśli S1 i S2 są zdaniami, S1  S2 jest zdaniem (koniunkcja) Jeśli S1 i S2 są zdaniami, S1  S2 jest zdaniem (alternatywa) Jeśli S1 i S2 są zdaniami, S1  S2 jest zdaniem (implikacja) Jeśli S1 i S2 są zdaniami, S1  S2 jest zdaniem (równoważność)

Formuły w języku zdań Każda zmienna zdaniowa p jest formułą Jeśli A jest formułą, to A też jest formułą Jeśli A i B są formułami, to A  B, A  B, A  B, A  B również są formułami Nie istnieją inne formuły niż te zbudowane przy pomocy powyższych zasad

Funkcja interpretacji Interpretacja jest odwzorowaniem, które każdej poprawnie utworzonej formule przyporządkowuje jedną z dwóch wartości logicznych prawda lub fałsz Interpretacje dowolnej formuły tworzy się w sposób rekurencyjny Zdaniom atomowym przyporządkowuje się wartości prawda lub fałsz Własności semantyczne operatorów definiuje się poprzez tzw. tablice prawdy

Rachunek zdań - zalety Rachunek zdań jest systemem rozstrzygalnym - dla każdej poprawnej zbudowanej formuły można skonstruować efektywny algorytm sprawdzający wszystkie możliwe wartościowania Rachunek zdań jest systemem poprawnym, zupełnym i niesprzecznym

Rachunek zdań - ograniczenia Rachunek zdań nie wnika głęboko w strukturę zdania Widoczne są tylko spójniki, pozostałe elementy takie jak podmiot, orzeczenie czy dopełnienie są poza zasięgiem: kandydat na pracownika ukończył zarządzanie kandydat na pracownika ukończył informatykę aby umieścić tego rodzaju stwierdzenia w bazie wiedzy, należy dla każdego z nich wprowadzać oddzielny symbol wszyscy Polacy kłamią Andrzej jest Polakiem w rachunku zdań nie można wywieść: Andrzej kłamie

Rachunek zdań - ograniczenia „Jeśli Andrzej jest Polakiem, to Andrzej kłamie”, „Andrzej jest Polakiem”. Zakładając symbolizację: p – „Andrzej jest Polakiem” q – „Andrzej kłamie” w bazie wiedzy znajdzie się reguła p  q oraz jeden fakt p. Stosując zasadę modus ponens można dowieść, że prawdziwe jest q

Zbiory aksjomatów Tautologie – zdania, które są prawdziwe niezależnie od wartości logicznej występujących w nich zmiennych zadaniowych, np.: Jeżeli prawdą jest, że jeżeli klient jest bogaty to zasługuje na rabaty to prawdą jest także to, że jeżeli nie zasługuje na rabaty to znaczy, że klient nie jest bogaty

1

Tezy - tautologie wprowadzone do rachunku zdań metoda aksjomatyczną Aksjomatyczne konstruowanie rachunku zdań – określenie minimalnego zbioru aksjomatów spełniających warunek niesprzeczności, niezależności i zupełności

Wymaganie niesprzeczności Twierdzenia fałszywe muszą pozostawać poza obrębem nauki Zgodnie z prawem Dunsa Szkota z par zdań sprzecznych wynika jakiekolwiek zdanie Uznanie zdań fałszywych za twierdzenia logiczne dawałoby możliwość uznania każdego zdania jako twierdzenia tej teorii

Wymaganie niezależności Żaden z aksjomatów nie daje się udowodnić przy pomocy innych aksjomatów Wszystko co może być udowodnione powinno być udowodnione

Wymaganie zupełności Każde zdanie prawdziwe w danej teorii wynika z jej aksjomatów Z dwóch zdań sprzecznych w danej teorii jedno wynika z jej aksjomatów Każde zdanie w języku danej teorii bądź wynika z jej aksjomatów, bądź dołączone do nich daje sprzeczność

Układ implikacyjno-negacyjny Łukasiewicza Reguła zastępowania definicyjnego (prawo sylogizmu hipotetycznego) Jeżeli prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to trudno znajduje klienta) – jeżeli nadto (jeżeli towar trudno znajduje nabywcę to konieczna jest promocja) to prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to konieczna jest promocja)

Układ implikacyjno-negacyjny Łukasiewicza Reguła podstawienia (odwrotne prawo redukcji do absurdu)

Układ implikacyjno-negacyjny Łukasiewicza Reguła odrywania (prawo Dunsa Szkota) Jeżeli p jest prawdziwe, to jeżeli p jest jednocześnie fałszywe to wszystko jest możliwe Prawdziwa jest każda implikacja, której poprzednik jest fałszywy

Dyrektywy dedukcyjne Według dyrektyw dedukcyjnych pewne zdania są uznawane w zależności od uznania zdań innych Dyrektywy pierwszego rodzaju prowadzą do uznania zdań zbudowanych z wyrazów występujących w przesłankach Dyrektywy drugiego rodzaju dotyczą uznawania zdań, które zawierają wyraz nie znajdujący się w przesłankach Dla implikacyjno-negacyjnego układu symulacji przyjąć należy dwie dyrektywy 1. rodzaju i cztery 2.

Podstawianie Zamiana pewnej zmiennej, wszędzie gdzie ona w danym wyrażeniu występuje, na inne wyrażenie sensowne: podstawiając w miejsce p w wyrażeniu jeżeli nie p to p - r uzyskujemy jeżeli nie r to r (co nie ma większej doniosłości) podstawiając w miejsce q w wyrażeniu jeżeli p to q – p uzyskujemy jeżeli p to p podstawiając w miejsce q w wyrażeniu jeżeli p to q wyrażenie jeżeli nie p to q uzyskujemy jeżeli p, to jeżeli nie p, to q

Interpretacja Zamiana zmiennej na określone zdanie jakiejś innej nauki lub na zdanie mowy potocznej Interpretacje podobnie jak podstawienia, dokonane na zdaniach prawdziwych dają zdania prawdziwe Dictum de omni - cokolwiek można stwierdzić (a czemukolwiek zaprzeczyć) na temat wszystkich przedmiotów danego rodzaju, to samo można też orzec o każdym poszczególnym przedmiocie tegoż rodzaju (formuła Arystotelesa)

Odrywanie Przekształcanie implikacji na dwa oddzielne zdania przez odrzucenie funktora „jeżeli to” Warunkiem tego przekształcenia jest uznanie zarówno implikacji jako całości, jak i jej poprzednika Z aksjomatu: Jeżeli prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to trudno znajduje klienta) – jeżeli nadto (jeżeli towar trudno znajduje nabywcę to konieczna jest promocja) to prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to konieczna jest promocja) można wywieść: jeżeli towar jest nowy to konieczna jest promocja przez podwójne odrywanie

Zastępowanie Zastępuje się części wyrażeń złożone z wyrazów stałych i zmiennych Zastąpić część wyrażenia wolno tylko przez wyrażenie wskazane w odnośnej dyrektywie Zastępowanie dotyczy wyraźnie wskazanej części wyrażenia i choćby w nim była druga część takiej samej postaci, zastępowanie nie rozciąga się na nią

Dyrektywy zastępowania I dyrektywa zastępowania jeżeli cena jest wysoka lub bardzo wysoka, to jeżeli nie jest bardzo wysoka to jest wysoka

Dyrektywy zastępowania II dyrektywa zastępowania III dyrektywa zastępowania IV dyrektywa zastępowania

Przykłady tez prawo podwójnego przeczenia jeżeli prawda, że cena jest wysoka, to nieprawda, że cena nie jest wysoka odwrotne prawo podwójnego przeczenia jeżeli nieprawda, że cena nie jest wysoka, to cena jest wysoka

Przykłady tez prawo redukcji do absurdu

Porządkowanie wiedzy Dobór technologii odlewnia Tylko technologie odlewania ciśnieniowego i skorupowego oraz modeli wytapianych gwarantują tolerancje wymiarów niższe niż 0,02 cm/cm... Technologia odlewania ciśnieniowego jest opłacalna wyłącznie dla serii większych niż 1000 szt... Odlewanie skorupowe pozwala uzyskać minimalną chropowatość równą 2 μm... Ustalamy technologię wykonania odlewu A. Wymagana tolerancja wynosi 0,015 cm/cm, chropowatość 1,5 μm a wielkość partii 500 szt.

Porządkowanie wiedzy Oznaczamy odlewanie ciśnieniowe – p odlewanie skorupowe – q metoda modeli wytapianych – r tolerancja niższa niż 0,02 cm/cm - s wielkość serii mniejsza niż 1000 szt – t chropowatość mniejsza niż 2 μm - u

Porządkowanie wiedzy Po zastosowaniu I dyrektywy zastępowania dla zdania (1) jeżeli tolerancja niższa niż 0,02 cm/cm to, jeżeli nie odlewanie ciśnieniowe to odlewanie skorupowe lub metoda modeli wytapianych jeżeli wielkość serii mniejsza niż 1000 szt to nie odlewanie ciśnieniowe jeżeli chropowatość mniejsza niż 2 μm to nie odlewanie skorupowe

Wnioskowanie Ustalamy technologię wykonania odlewu A. Wymagana tolerancja wynosi 0,015 cm/cm, chropowatość 1,5 μm a wielkość partii 500 szt. Stosując odrywanie w zdaniu (4) uzyskujemy prawdziwe zdanie

Wnioskowanie Stosując odrywanie w zdaniu (2) uzyskujemy prawdziwe zdanie Stosując odrywanie w zdaniu (5) uzyskujemy prawdziwe zdanie Dla odlewu A należy przyjąć technologię odlewania skorupowego lub metodę modeli wytapianych

Wnioskowanie Po zastosowaniu I dyrektywy zastępowania dla zdania (7) otrzymujemy Stosując odrywanie w zdaniu (3) uzyskujemy prawdziwe zdanie Stosując odrywanie w zdaniu (8) uzyskujemy prawdziwe zdanie Dla odlewu A należy przyjąć metodę modeli wytapianych

Wnioskowanie Przedstawione wnioskowanie nie jest niezawodne. Łatwo zauważyć, że nie mamy pewności czy metoda modeli wytapianych pozwoli uzyskać chropowatość mniejszą niż 2 μm. Wiemy jedynie, że spośród dwóch technologii gwarantujących odpowiednią tolerancję metoda odlewania skorupowego nie pozwala uzyskać odpowiedniej chropowatości. Wniosek powinien brzmieć: nie wiemy nic o tym by metoda modeli wytapianych nie mogła być zastosowana dla odlewu A