Wprowadzenie do gier n-osobowych. Teoria gier, a polityka. Monika Błąkała Anna Orlik Karol Tutak

Do tej pory zajmowaliśmy się jedynie grami 2-osobowymi, ale we współczesnym świecie takie gry stanowią rzadkość – najważniejsze gry ekonomiczne, społeczne i polityczne angażują jednocześnie wielu uczestników. Dlatego teraz skierujemy naszą uwagę na gry co najmniej 3-osobowe, co – jak się wkrótce przekonamy – będzie powodować pewne problemy. Zaczniemy od najprostszego przykładu, to jest gry 3-osobowej 2x2x2: Gra ta jest grą o sumie zerowej, a możliwych wyników jest tu 8. Jak widać każdy wynik składa się z 3 liczb i są to wypłaty kolejno: Pana Wiersza, Pani Kolumny i Pani Warstwy. Powyższa gra dla przejrzystości jest przedstawiona w postaci 2-wymiarowej, osobno dla strategii A i dla strategii B Pani Warstwy.

Rysując diagram przesunięć, możemy szukać równowagi w strategiach czystych. Diagram przedstawiony jest w dwóch formach: z podziałem na warstwy i bez. Jednakże ta druga postać (3-wymiarowa) jest bardziej czytelna. Z powyższego diagramu wynika, że żaden z graczy nie ma strategii dominującej oraz, że otrzymujemy dwie równowagi w strategiach czystych: BAA=(2,-4,2) i AAB=(3,-2,-1). Wiersz i Kolumna woleliby zakończyć grę strategią AAB, natomiast Warstwa: BAA. Jeżeli Wiersz zagra A, a w tym samym czasie również Warstwa zagra A (każde chciałoby doprowadzić do preferowanej przez siebie równowagi), otrzymamy wynik AAA, co nie jest równowagą. Dlatego mimo, iż gra jest grą o sumie zerowej, pojawia się ten sam problem co przy grach 2-osobowych o sumie niezerowej. Znalezienie łatwej teorii rozwiązania gier wieloosobowych jest bardzo trudne.

Koalicje Niestety jeszcze więcej trudności pojawia się, gdy pozwolimy graczom na komunikowanie się ze sobą. Sytuacja może skłonić dwóch graczy do zawiązania koalicji przeciwko trzeciemu. Zobaczmy jakie może mieć to skutki, jeśli dopuścimy do koalicji w podanym przez nas przykładzie. Załóżmy, że Warstwa i Kolumna zawiązują koalicję przeciwko Wierszowi, wówczas naszą grę możemy przedstawić jako 2-osobową (2x4). Ponieważ jest to gra o sumie zerowej, możemy ją zapisać podając jedynie wypłatę wiersza.

Elementem rozwiązania tej gry jest strategia mieszana Wiersza ⅗ A i ⅖ B, co daje mu oczekiwaną wartość wypłaty równą -4,4. Ponieważ jest to najlepsza strategia, którą Wiersz może zagrać w najgorszej dla siebie sytuacji (on jeden przeciwko koalicji dwóch kobiet :), nazywamy ją strategią bezpieczeństwa, a wypłatę -4,4 jego poziomem bezpieczeństwa. Możemy również określić, jak powinny grać Kolumna i Warstwa w sytuacji, gdy jednoczą siły, by ‘wyrwać’ od Wiersza jak najwięcej. Mianowicie Kolumna zawsze powinna grać B, zaś Warstwa ⅘ A i ⅕ B, wartość oczekiwana ich wypłaty wynosi 4,4.

Oczywiście możliwe są też inne koalicje: Wiersz z Warstwą gra przeciwko Kolumnie lub Wiersz z Kolumną przeciwko Warstwie. Sytuacje te przedstawione są poniżej:

Jak widać w grze można zawierać różne koalicje Jak widać w grze można zawierać różne koalicje. Każdy z graczy chciałby się w jakiejś znaleźć, ponieważ jeśli pozostanie poza koalicją, traci. Ale kto się z kim dogada? Jednym ze sposobów szukania odpowiedzi na to pytanie może być badanie, jak gracze z koalicji dzielą się wygraną. Przykładowo, jeżeli Kolumna i Warstwa zawiążą koalicję i grają strategię optymalną przeciw Wierszowi, razem uzyskają 4,4, a ich oczekiwane wartości możemy obliczyć następująco: (⅗)(⅘)ABA + (⅗)(⅕)ABB + (⅖)(⅘)BBA + (⅖)(⅕)BBB = (⅗)(⅘) (-4,3,1) + (⅗)(⅕)(-6,-6,12) + (⅖)(⅘)(-5,-5,10) + (⅖)(⅕)(-2,3,-1) = (-4,4 ,-0,64 , 5,04) Z tego wynika, że Warstwie zdecydowanie opłaca się ta koalicja. Kolumna, co prawda nie wychodzi na tym najlepiej, ale zawsze to lepsza sytuacja, niż gdyby zawiązano koalicję przeciwko niej... Dla innych koalicji wygląda to tak: Wiersz z Warstwą przeciwko Kolumnie: (2 , -4 , 2) Wiersz z Kolumną przeciwko Warstwie: (2,12 , -0,69 , -1,43)

Wi vs K+Wa : (-4,4 , -0,64 , 5,04) K vs Wi+Wa : (2, -4 , 2) Wa vs Wi+K : (2,12 , -0,69 , -1,43) Wyliczenia te możemy wykorzystać do przewidzenia, kto z kim wejdzie w koalicję, np. Wiersz chciałby być w ‘teamie’ z Kolumną, bo wtedy zyskuje najwięcej (2,12). Analogicznie rozumując Kolumna preferuje Warstwę, bo traci najmniej, Warstwa zaś woli Kolumnę, bo wówczas najwięcej wygrywa. Ponieważ Kolumna i Warstwa wzajemnie preferują siebie, możemy się spodziewać, że to właśnie one zawiążą koalicję i będą wspólnie w opozycji do Wiersza.

Niestety nie w każdej grze 3-osobowej znajdzie się taka para graczy, która preferowałaby się wzajemnie przy tworzeniu koalicji – w takiej sytuacji nie bardzo wiadomo, czego się spodziewać. I tu „z pomocą” przychodzą panowie Von Neumann i Morgenstern, którzy w swoich założeniach dają graczom możliwość łapówkarstwa :) czyli przekazywania sobie nawzajem tzw. wypłat ubocznych. Będąc wciąż przy naszym przykładzie: Wiersz mógłby w zamian za zawarcie z nim koalicji zaproponować Kolumnie wypłatę uboczną = 0,1, wówczas wygrałby 2,02, a Kolumna straciłaby „tylko” 0,59, co i tak bardziej jej się opłaca niż wejście w układ z Warstwą. Ale Warstwę może to zbulwersować i sama też może próbować przekupić Kolumnę, oferując oczywiście więcej niż Wiersz… Rzecz jasna Wiersz zamiast z Kolumną, może pertraktować z Warstwą, itd.

Założenie o dopuszczalności wypłat ubocznych jest założeniem bardzo mocnym. Przede wszystkim wymaga ono, by użyteczności były transferowalne pomiędzy graczami. Po drugie, zakłada, że transferowana użyteczność ma wartość porównywalną dla obu graczy. Po polsku: jeśli jacyś multimilionerzy chcą się dogadać i jeden drugiemu w zamian za jakąś usługę ‘kopsnie’ milion, to jest to dla nich porównywalne, tzn. niewiele zmienia np. w ich sytuacji materialnej. Ale gdyby któryś z nich za usługę zapłacił milion biedakowi, to zdecydowanie biedak byłby w siódmym niebie, bo z nędznika sam stałby się milionerem ;)

Istnieje teoria gier n-osobowych bez wypłat ubocznych, jednak pewnie jest zbyt skomplikowana, by poświęcać jej uwagę, więc w dalszej części będziemy kroczyć za von Neumannem i Morgensternem i założymy, że w każdej grze: 1. Gracze mogą się ze sobą komunikować i zawierać koalicje. 2. Gracze mogą przekazywać sobie wypłaty uboczne. Teoria oparta na tych założeniach nazywana jest teorią gier kooperacyjnych z wypłatami ubocznymi i skupia się przede wszystkim na kwestiach: a) która z możliwych koalicji zostanie zawarta?? b) w jaki sposób członkowie koalicji podzielą się wygraną??

Gra w postaci funkcji charakterystycznej Aby znaleźć odpowiedź na poprzednie pytania (o wyborze koalicji i podziale wygranej), trzeba jedynie wiedzieć, ile może wygrać każda z możliwych koalicji. Von Neumann i Morgenstern proponują, by zrezygnować z analizy konkretnych strategii i od gier w postaci normalnej przejść do gier w postaci funkcji charakterystycznej. Definicja: Gra w postaci funkcji charakterystycznej opisywana jest przez zbiór graczy N i funkcję ν, która każdemu podzbiorowi S N przypisuję liczbę ν(S). Liczbę ν(S), zwaną wartością S, interpretuje się jako wartość wygranej, którą łącznie osiągną gracze należący do S, jeśli zawrą koalicję. Funkcja ν nazywana jest funkcją charakterystyczną gry. Wartość pustej koalicji Ø wynosi 0.

Każdą grę w postaci normalnej można sprowadzić do gry w postaci funkcji charakterystycznej, przyjmując ν(S) jako poziom bezpieczeństwa S. Inaczej: obliczając ν(S) przyjmujemy, że została utworzona koalicja S, która gra w optymalny sposób w najbardziej niekorzystnych dla siebie warunkach (gdy pozostali gracze tworzący koalicję N-S grają tak, by zminimalizować wypłatę S). W ten sposób dostajemy 2-osobową (S kontra N-S) grę o sumie zerowej. Naszą grę również możemy przedstawić w postaci funkcji charakterystycznej. Niech W – oznacza Wiersz, K – Kolumnę, L – Warstwę: ν(Ø) = 0 * ν(W) = - 4,4 ν(KL) = 4,4 * ν(K) = - 4 ν(WL) = 4 * ν(L) = - 1,43 ν(WK) = 1,43 ν(WKL) = 0 Dla każdego rodzaju koalicji zachodzi zatem: ν(S) = -ν(N – S)

A co jeśli gra nie jest o sumie zerowej A co jeśli gra nie jest o sumie zerowej? Cóż… Nadal możemy stosować opisaną przed chwilą procedurę, jednakże w tym wypadku gra w postaci f-cji charakt. może nie najlepiej odpowiadać grze w postaci normalnej. Ponieważ gra nie jest grą o sumie zerowej, może się zdarzyć, że po utworzeniu koalicji S, stworzenie team’u N – S w ogóle nie przyniesie członkom żadnej korzyści, a mogą nawet stracić, mogą też wcale nie chcieć zminimalizować wypłaty S. Tym tematem zajmuje się już jednak n – osobowy Dylemat Więźnia. Jest pewna istotna własność dotycząca relacji między koalicjami, którą należy przytoczyć: Gra w postaci f-cji char. (N, ν) jest superaddytywna, jeśli dla każdej pary rozłącznych koalicji S i T zachodzi: ν(S ᴜ T) ≥ ν(S) + ν(T).

Teoria gier, a polityka – głosowanie strategiczne. W wyborach prezydenckich w Stanach Zjednoczonych w 1980 roku startowało trzech kandydatów: demokrata Jimmy Carter, republikanin Ronald Reagan oraz niezależny John Anderson. W lecie, przed listopadowymi wyborami, według sondaży 20% wyborców za najlepszego kandydata uważało Andersona, przy 35-procentowym poparciu dla Cartera i 45-procentowym poparciu dla Reagana. Ponieważ Reagan był postrzegany jako polityk znacznie bardziej konserwatywny niż Anderson, którego z kolei uważano za bardziej konserwatywnego od Cartera, możemy nieco upraszczając sytuacje, założyć, że zarówno przez wyborców Reagana, jak i Cartera, Anderson postrzegany był jako drugi z kolei preferowany kandydat, zaś wyborcy Andersona na drugim miejscu lokowali Cartera. Sytuację przedstawia obrazek:

Diagram przesunięć pokazuje, że mamy 3 równowagi: RCC (C wygrywa) oraz RAA i AAA (wygrywa A). Analiza tej gry będzie prostsza, gdy zauważy się, że wyborcy Reagana mają strategię dominującą R. Biorąc to pod uwagę, możemy zredukować grę do postaci:

Podobne sytuacje występują także w legislaturach, w których często stosowane są procedury oparte na sekwencyjnym głosowaniu większościowym. W tej metodzie głosowania najpierw dokonuje się wyboru pomiędzy dwiema możliwościami, następnie propozycja poparta przez większość porównywana jest w kolejnym głosowaniu z trzecią propozycją, zwycięzcę tego głosowania porównuje się z czwartą itd. Rozpatrzymy następujący przykład: w marcu 1988 roku w Izbie Reprezentantów przeprowadzono istoryczne głosowanie, w który odrzucono wypracowany przez Demokratów projekt udzielenia pomocy humanitarnej wspierany przez Stany Zjednoczone partyzantom Contras w Nikaragui. Głosowanie było nieoczekiwane, a problem politycznie złożony, spróbujmy jednak sprowadzić sytuację do uproszczonego modelu z trzema możliwościami: B: Popierania przez administację Reagana ustawa przewidująca dostarczenie rebeliantom z Contras uzbrojenia H: Zaproponowana przez Demokratów ustawa przewidująca udzielanie Contras pomocy humanitarnej, ale wykluczjąca dostarczaniee im broni. N: Nieudzielenie Contras pomocy w żadnej formie