Metody analizy obwodów elektrycznych Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

Na tym wykładzie Cel: poznanie podstawowych metod analizy obwodów elektrycznych. Zakres: Metoda równań Kirchhoffa Metoda prądów oczkowych Metoda potencjałów węzłowych

Liczba oczek, gałęzi i węzłów 1 Przypomnienie Liczba oczek, gałęzi i węzłów Pomiędzy liczbą oczek, gałęzi i węzłów zachodzi zależność g − liczba gałęzi, o – liczba oczek, w − liczba węzłów. W przykładowym obwodzie pokazanym obok g = 6, o = 3, w = 4. elementy gałąź węzeł oczko

Przypomnienie Prawo Ohma Natężenie prądu płynącego przez przewodnik w stałej temperaturze jest wprost proporcjonalne do napięcia występującego na przewodniku i odwrotnie proporcjonalne do rezystancji tego przewodnika. I R U

I prawo Kirchhoffa (prądowe) Przypomnienie I prawo Kirchhoffa (prądowe) Suma algebraiczna prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zeru Alternatywnie Suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających I1 I2 I3 I4 I5

II prawo Kirchhoffa (napięciowe) Przypomnienie II prawo Kirchhoffa (napięciowe) Suma algebraiczna wszystkich napięć w oczku jest równa zeru Przy sumowaniu napięć przyjmujemy pewien kierunek obiegu oczka i napięcia zastrzałkowane zgodnie z tym kierunkiem bierzemy ze znakiem plus, a napięcia zastrzałkowane przeciwnie bierzemy ze znakiem minus. E1 U1 U2 U3 U4 E2

Metoda równań Kirchhoffa 2 Metoda równań Kirchhoffa Metoda równań Kirchhoffa Metoda równań Kirchhoffa wywodzi się bezpośrednio z praw Kirchhoffa i w związku z tym jest fundamentalną metodą rozwiązywania obwodów elektrycznych. Ponieważ poszukujemy prądów gałęziowych, których jest g, należy ułożyć właśnie tyle niezależnych równań. Z zależności g = (w − 1) + o wynika, że możemy do tego celu wykorzystać w – 1 równań ułożonych dla w – 1 węzłów wg pierwszego prawa Kirchhoffa oraz o równań ułożonych dla wszystkich oczek wg drugiego prawa Kirchhoffa.

Tok postępowania Strzałkujemy dowolnie prądy gałęziowe. Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania Strzałkujemy dowolnie prądy gałęziowe. Strzałkujemy napięcia na rezystorach przeciwnie do prądu. Strzałkujemy napięcia na źródłach prądowych (najlepiej zgodnie z prądem). E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 I1 I2 I3 I6 I5 I4 UJ5

Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. Pomijając jeden dowolnie obrany węzeł, układamy dla pozostałych równania wg pierwszego prawa Kirchhoffa. Uwaga: jeżeli w obwodzie występują źródła prądu, to prąd gałęziowy jest znany i można od razu zamiast niego używać prądu źródłowego. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 I1 I2 I3 I6 I5 I4 UJ5

Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. Dla wszystkich oczek układamy równania wg drugiego prawa Kirchhoffa. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 I1 I2 I3 I6 I5 I4 UJ5

Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na niewiadome (prądy gałęziowe i napięcia na źródłach prądowych).

Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą równań Kirchhoffa. Metoda równań Kirchhoffa Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą równań Kirchhoffa. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V

Przykład – c.d. (układanie równań) Metoda równań Kirchhoffa Przykład – c.d. (układanie równań) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ

Przykład – c.d. (rozwiązywanie) Metoda równań Kirchhoffa Przykład – c.d. (rozwiązywanie) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ

Prądy oczkowe i gałęziowe 3 Metoda prądów oczkowych Prądy oczkowe i gałęziowe Prądem oczkowym nazywamy umyślony prąd zamykający się w obrębie oczka. Prąd gałęziowy jest wypadkową prądów oczkowych płynących w danej gałęzi. Prądy oczkowe numerujemy indeksami rzymskimi I, II, III, IV, …, a prądy gałęziowe – arabskimi 1, 2, 3, .... W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla oczek, a niewiadomymi są prądy oczkowe. II III IIII I1=II I2=III I3=II−III I4=II−IIII I5=III−IIII I6=IIII

Strzałkowanie prądów oczkowych Metoda prądów oczkowych Strzałkowanie prądów oczkowych Prądy oczkowe można strzałkować dowolnie, ale wtedy układanie równań niepotrzebnie się komplikuje. Ponieważ prądy oczkowe są tworami fikcyjnymi, mającymi jedynie znaczenie pomocnicze, najlepiej jest zastrzałkować je jednakowo w całym obwodzie (wszystkie albo w prawo, albo w lewo). Jednakowe zastrzałkowanie ułatwia układanie równań. E1 E2 IIII II IIV IV III R2 R3 R4 R1

Rezystancja własna i wspólna Metoda prądów oczkowych Rezystancja własna i wspólna Rezystancją własną Rk,k oczka k nazywamy sumę rezystancji w oczku, np. Rezystancję wspólną Rk,l oczek k i l nazywamy sumę rezystancji w gałęzi dzielącej oczka k i l, np. E1 E2 IIII II IIV IV III R2 R3 R4 R1

Napięcie źródłowe oczka Metoda prądów oczkowych Napięcie źródłowe oczka Napięcie źródłowe oczka k oznaczamy Ek i nazywamy sumę algebraiczną napięć źródłowych w oczku. W sumie tej poszczególne napięcia bierzemy ze znakiem plus, jeżeli są zastrzałkowane zgodnie ze zwrotem prądu oczkowego, a ze znakiem minus, gdy przeciwnie, np. E1 E2 IIII II IIV IV III R2 R3 R4 R1

Metoda prądów oczkowych Równanie oczkowe Przy założeniu, że wszystkie prądy oczkowe zastrzałkowano jednakowo, równanie dla k-tego oczka ma postać E1 E2 IIII II IIV IV III R2 R3 R4 R1

Wyprowadzenie równania oczkowego Metoda prądów oczkowych Wyprowadzenie równania oczkowego Zastrzałkujmy dowolnie prądy gałęziowe i ułóżmy dla oczka równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa: Prądy gałęziowe wyrażamy przez oczkowe: Po podstawieniu i uporządkowaniu E1 E2 IIII II IIV IV III I2 I1 I3 I4 R2 R3 R4 R1

Tok postępowania Strzałkujemy jednakowo wszystkie prądy oczkowe. Metoda prądów oczkowych Tok postępowania E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 UJ5 II III IIII Strzałkujemy jednakowo wszystkie prądy oczkowe. Dla każdego oczka układamy równanie oczkowe. Uwaga: w napięciu źródłowym oczek uwzględniamy również źródła prądowe, przy czym napięcia na nich są na razie niewiadome.

Metoda prądów oczkowych Tok postępowania – c.d. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 UJ5 II III IIII Dla każdego źródła prądowego (jeżeli takie są w obwodzie) układamy równanie wiążące prąd źródłowy z prądami oczkowymi.

Metoda prądów oczkowych Tok postępowania – c.d. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 UJ5 II III IIII Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na prądy oczkowe i napięcia na źródłach prądowych.

Tok postępowania – c.d. Wyznaczamy prądy gałęziowe. Metoda prądów oczkowych Tok postępowania – c.d. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 I1 I2 I3 I6 I5 I4 UJ5 II III IIII Wyznaczamy prądy gałęziowe.

Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą oczkową. Metoda prądów oczkowych Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą oczkową. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V

Przykład – c.d. (układanie równań) Metoda prądów oczkowych Przykład – c.d. (układanie równań) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ II III

Przykład – c.d. (rozwiązywanie) Metoda prądów oczkowych Przykład – c.d. (rozwiązywanie) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ II III

Przykład – c.d. (prądy gałęziowe) Metoda prądów oczkowych Przykład – c.d. (prądy gałęziowe) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ II III

Potencjały węzłowe 4 Metoda potencjałów węzłowych Przypomnienie: napięcie UAB między dwoma punktami A i B jest różnicą ich potencjałów Każdy punkt w obwodzie ma pewien potencjał, a w szczególności – każdy węzeł ma pewien potencjał. Węzły numerujemy wielkimi literami łacińskimi A, B, C, … . W metodzie potencjałów węzłowych równania układa się tylko dla węzłów, a niewiadomymi są potencjały węzłowe. A B C D

Potencjały a rozpływ prądów Metoda potencjałów węzłowych Potencjały a rozpływ prądów Rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie elektrycznym nie zależy od bezwzględnej wartości potencjałów, lecz jedynie od ich różnic. A B C D 1000 V 1030 V 1010 V 1020 V A B C D 0 V 30 V 10 V 20 V

Metoda potencjałów węzłowych Węzeł odniesienia WNIOSEK: Jednemu dowolnie obranemu punktowi obwodu można przypisać zupełnie dowolny potencjał (potencjały pozostałych węzłów i punktów będą określone przez napięcia na elementach). Węzeł taki nazywamy węzłem odniesienia. Potencjał węzła odniesienia najwygodniej jest przyjąć równy zeru, gdyż uproszcza to równania. Na schemacie węzeł odniesienia oznacza się symbolem uziemienia. A B C D

Metoda potencjałów węzłowych Konduktancja gałęzi B A C D E R1 R2 R3 R4 E4 J5 Przypomnienie: rezystancja wewnętrzna idealnego źródła napięciowego wynosi zero, a idealnego źródła prądowego – nieskończoność. Konduktancją GK,L gałęzi łączącej węzły K i L nazywamy konduktancję tej gałęzi po odłączeniu jej od innych gałęzi oraz po zastąpieniu źródeł ich rezystancjami wewnętrznymi, np.

Prąd źródłowy węzła Prądem źródłowym węzła nazywać będziemy wyrażenie Metoda potencjałów węzłowych Prąd źródłowy węzła B A C D E R1 R2 R3 R4 E4 J5 Prądem źródłowym węzła nazywać będziemy wyrażenie gdzie EK,L oznacza napięcie źródłowe źródła napięciowego w gałęzi K-L, a JK,L oznacza prąd źródłowy źródła prądowego w gałęzi K-L. Wielkości te bierzemy ze znakiem plus, gdy są strzałka EK,L lub JK,L zwrócona jest do węzła, a minus – w przeciwnym razie, np.

Równanie potencjałów węzłowych Metoda potencjałów węzłowych Równanie potencjałów węzłowych B A C D E R1 R2 R3 R4 E4 J5 Równanie węzłowe dla węzła K ma postać

Wyprowadzenie równania węzłowego Metoda potencjałów węzłowych Wyprowadzenie równania węzłowego B A C D E R1 R2 R3 R4 E4 J5 I1 I3 I4 U12=UBC U3=UCA U4 UEC Strzałkujemy prądy gałęziowe i układamy dla węzła C równanie wg I prawa Kirchhoffa Z prawa Ohma prądy wyrażamy przez napięcia, a te przez różnice potencjałów Po wstawieniu i uporządkowaniu

Tok postępowania Oznaczamy wszystkie węzły. Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 A B C D I4 Oznaczamy wszystkie węzły. Jeden z węzłów obieramy za węzeł odniesienia i przypisujemy mu potencjał 0 V. Dla każdego z pozostałych węzłów układamy równanie węzłowe. Uwaga: w prądzie źródłowym węzła uwzględniamy również źródła napięcia, przy czym prądy przez nie płynące są na razie niewiadome.

Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania – c.d. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 A B C D I4 Jeżeli istnieją gałęzie o zerowej rezystancji (zawierające tylko idealne źródła napięcia), to układamy dla nich równania wiążące potencjały ich końców.

Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania – c.d. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 A B C D I4 Układ równań rozwiązujemy ze względu na potencjały węzłowe oraz prądy w gałęziach o zerowej konduktancji.

Tok postępowania – c.d. Strzałkujemy i wyznaczamy prądy gałęziowe Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania – c.d. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 A B C D I4 I1 I2 I3 I6 I5 Strzałkujemy i wyznaczamy prądy gałęziowe

Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych. Metoda potencjałów węzłowych Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V

Przykład – c.d. (układanie równań) Metoda potencjałów węzłowych Przykład – c.d. (układanie równań) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ A B

Przykład – c.d. (rozwiązywanie) Metoda potencjałów węzłowych Przykład – c.d. (rozwiązywanie) 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ A B

Przykład – c.d. (prądy) Metoda potencjałów węzłowych 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ A B

Cechy charakterystyczne 5 Porównanie Cechy charakterystyczne Metoda równań Kirchhoffa wykorzystuje bezpośrednio prawa Kirchhoffa i jest fundamentalną metodą rozwiązywania obwodów dowolnego rodzaju. W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla oczek, gdyż równania węzłowe eliminuje się przez wprowadzenie fikcyjnych prądów oczkowych. W metodzie potencjałów równania układa się tylko dla węzłów, gdyż równania oczkowe eliminuje się przez zastosowanie potencjałów węzłowych. Metoda oczkowa jak i metoda potencjałów węzłowych zawsze generują mniejszy układ równań niż metoda równań Kirchhoffa.

Kiedy stosować daną metodę? Porównanie metod Kiedy stosować daną metodę? Stosowanie tej czy innej metody jest kwestią drugorzędną, gdyż wszystkie trzy metody są równoważne i prowadzą do takich samych wyników. Nakład obliczeń jest najmniejszy, jeżeli układ równań jest najmniejszy, czyli o wyborze metody może decydować to, czy w danym obwodzie jest mniej oczek (wtedy wybieramy metodę oczkową), czy węzłów (wtedy wybieramy metodę potencjałów węzłowych).

6 Bilans mocy Bilans mocy Poprawność obliczeń można sprawdzić, przeprowadzając bilans mocy. Przypomnienie: Suma mocy oddawanych przez źródła musi być równa sumie mocy pobieranych przez rezystancje. Moc źródła napięcia: P = EI (lub −EI). Moc źródła prądu: P = UJ (lub –UJ). Moc rezystora: P = RI2 = U2/R.

Bilans mocy Przykład – bilans mocy Wykorzystując wcześniejsze wyniki, przeprowadzić bilans mocy. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 UJ

Podsumowanie Czego się nauczyliśmy? Wiemy, jak znaleźć prądy w dowolnym obwodzie elektrycznym prądu stałego zawierającym źródła napięcia, źródła prądu i rezystory. Poznaliśmy trzy główne metody rozwiązywania obwodów elektrycznych. Dowiedzieliśmy się co to są prądy oczkowe i potencjały węzłowe i jak z nich skorzystać. Wiemy, że poprawność obliczeń możemy sprawdzić przeprowadzając bilans mocy.