Uniwersytet Zielonogórski Jak wygrać 1 000 000$ w Sapera ? Tomasz Bartnicki Uniwersytet Zielonogórski

Rok 1900, Paryż 23 problemy Musimy wiedzieć! Będziemy wiedzieć! David Hilbert (1862-1943) Musimy wiedzieć! Będziemy wiedzieć! 23 problemy

Rok 2000, Paryż Problemy milenijne, $1.000.000 za każdy 1. Hipoteza Poincarego rozwiązana! (Grigorij Perelman) 2. Hipoteza Riemanna (8. problem Hilberta) 3. Równanie Naviera-Stokesa 4. Teoria Yanga-Millsa 7. Hipoteza P kontra NP 5. Hipoteza Hodge’a 6. Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera 7. Hipoteza P kontra NP

Historia problemu P kontra NP Alan Turing (1912-1954) Maszyna Turinga (1936) Stephen A. Cook 1971- pierwsze(?) precyzyjne sformułowanie hipotezy P/NP 1982- Nagroda Turinga

Klasa P (polynomial) T(n) Algorytm Rozwiązanie TAK NIE CPU Problem Rozmiar danych: n Czas pracy: T(n) Jeżeli dla problemu istnieje „szybki” algorytm rozwiązujący go, to mówimy, że problem należy do klasy P. (wielomian) Szybki:

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście Dwukolorowanie grafu

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście Dwukolorowanie grafu Cykl Eulera w grafie 7 mostów w Królewcu Leonard Euler (1707-1783)

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście Dwukolorowanie grafu Cykl Eulera w grafie Sprawdzenie czy liczba jest pierwsza

P NP Klasa NP (nonderministic-polynomial) T(n) Algorytm Problem Rozmiar danych: n Weryfikacja TAK NIE CPU Czas pracy: T(n) Potencjalne rozwiązanie Jeżeli dla problemu istnieje „szybki” algorytm weryfikujący rozwiązanie, to mówimy, że problem należy do klasy NP. P NP

Przykłady problemów NP Puzzle

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie Problem pirata komputerowego

P NP P NP Sformułowanie problemu Fakt: Domniemanie: Hipoteza: Dowód…? łatwa rozwiązywalność łatwa weryfikowalność Domniemanie: łatwa weryfikowalność łatwa rozwiązywalność P NP Hipoteza: Dowód…?

NP-zupełność NP P NP-zupełne Problem z klasy NP nazywamy NP-zupełnym, jeżeli każdy problem z NP redukuje się do niego w czasie wielomianowym. Problemy NP-zupełne, są najtrudniejsze w klasie NP. NP P NP-zupełne

NP-zupełność NP P NP-zupełne Problem z klasy NP nazywamy NP-zupełnym, jeżeli każdy problem z NP redukuje się do niego w czasie wielomianowym. Problemy NP-zupełne, są najtrudniejsze w klasie NP. NP P NP-zupełne

NP-zupełność P = NP = NP-zupełne Problem z klasy NP nazywamy NP-zupełnym, jeżeli każdy problem z NP redukuje się do niego w czasie wielomianowym. Problemy NP-zupełne, są najtrudniejsze w klasie NP. P = NP = NP-zupełne

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT)

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie Dowód NP-zupełności:

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie Dowód NP-zupełności:

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie Dowód NP-zupełności:

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie Dowód NP-zupełności:

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie Dowód NP-zupełności:

…i kilkaset innych problemów Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3SAT) Problem kliki w grafie …i kilkaset innych problemów Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie Problem pirata komputerowego

Saper jest trudny Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3.

Saper jest trudny MCP jest problemem NP-zupełnym Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 4. Minesweeper Consistency Problem (MCP) Czy zadany układ początkowy z Sapera ma rozwiązanie? MCP jest problemem NP-zupełnym Richard Kaye Minesweeper is NP-complete, Mathematical Intelligencer, (2000)

NP-zupełność Sapera 3SAT MCP formuła logiczna obwód logiczny wielomianowa redukcja formuła logiczna obwód logiczny konfiguracja Sapera przewód logiczny wejście wyjście 1

NP-zupełność Sapera 1 1 negacja - bramka NOT 1 koniunkcja – bramka AND 1 1 koniunkcja – bramka AND alternatywa – bramka OR 1 1

Przykład

Zamiast rozstrzygnięcia Ankieta na temat P/NP (2002) 22 głosy: 3 głosy: 4 głosy: 1 głos: 61 głosów: 9 głosów: P NP Nie mam zdania P NP Niezależna od aksjomatów teorii mnogości Nie jest niezależna od aksjomatów arytmetyki Zależy od przyjętego modelu William Gasarch Kiedy zostanie rozstrzygnięta? 2050 rok (wartość środkowa z 79 odpowiedzi)

Zamiast zakończenia Kurt Godel (1906-1978) .. Dziękuję