FUNKCJE RÓŻNOWARTOŚCIOWE RÓŻNE KULTURY – JEDNA TOŻSAMOŚĆ Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach programu Erasmus+ FUNKCJE RÓŻNOWARTOŚCIOWE Bożena Stanisławska nauczycielka matematyki w Liceum Ogólnokształcącym Niepublicznym Kolegium św. Stanisława Kostki KSW w Warszawie.
Funkcja f:XY jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy: dla każdego x1,x2 Df , Takich że x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2), mówiąc prościej, funkcja jest różnowartościowa, kiedy nie przyjmuje kilkakrotnie tej samej wartości. Można to zapisać również: x1-x2≠0 ⇒f(x1)-f(x2)≠0.
BADANIE CZY FUNKCJA JEST RÓŻNOWARTOŚCIOWA
TE FUNKCJE SĄ FUNKCJAMI RÓŻNOWARTOŚCIOWYMI Przykład 1 Funkcja dla różnych xX przyjmuje różne wartości zatem jest różnowartościowa.
Funkcja dla różnych xX przyjmuje różne wartości zatem jest różnowartościowa.
X=R, Y=R f(x)=-3x+8 Funkcja dla różnych xX przyjmuje różne wartości zatem jest różnowartościowa.
Przykład 4 Ta funkcja dla różnych xX również przyjmuje różne wartości Ta funkcja dla różnych xX również przyjmuje różne wartości zatem jest różnowartościowa
TE FUNKCJE NIE SĄ FUNKCJAMI RÓŻNOWARTOŚCIOWYMI X=R, Y= R+ {0} f(x)=|x|
np: dla x=- 2 i x=2 f(-2)=f(2)=8 Aby wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze R, wystarczy wykazać jedna parę różnych argumentów, dla których wartości funkcji są równe np: dla x=- 2 i x=2 f(-2)=f(2)=8
X=R, Y= <-1,1> f(x)=sinx Wskaż takie dwa argumenty dla których funkcja przyjmuje te same wartości
Funkcją różnowartościową nie jest również funkcja Dirichleta. Przedstawia ją wzór:
Odwrotne wynikanie nie jest prawdziwe. Łatwo zauważyć, że funkcje ściśle monotoniczne na pewnym zbiorze są na tym zbiorze różnowartościowe. Odwrotne wynikanie nie jest prawdziwe.
Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa na swojej dziedzinie, Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa na swojej dziedzinie, to dla dowolnych argumentów zachodzi równoważność:
Sprawdzanie czy funkcja jest różnowartościowa Zadanie: Wykaż, że funkcja dana wzorem f(x)= -2x+8 jest różnowartościowa.
Dowód: Sposób I ( z definicji funkcji) Założenie: że f(x)= -2x+8 - dana funkcja; Df=R; x1 , x2 R oraz x1 x2 Teza: f( x1 ) f( x2) . Dowód: Wyznaczmy różnicę f( x1 ) - f( x2) dla x1 , x2 R f( x1 ) - f( x2)= -2x1 +8-(-2x2 +8)=-2x1 +8+2x2 - 8=-2x1 +2x2 =-2(x1 - x2 ) Ponieważ x1 x2 (założenie) więc -2(x1 - x2 )≠0 A to oznacza, że f( x1 ) - f( x2) ≠0 Otrzymaliśmy więc tezę: f(x1) f(x2)
spełniony jest warunek f( x1 )=f( x2) Wówczas -2x1 +8 = -2x2 +8 Sposób II (dowód nie wprost) Zakładamy, że f(x)= -2x+8 - dana funkcja; Df=R; oraz że dla dowolnych x1,x2 R spełniony jest warunek f( x1 )=f( x2) Wówczas -2x1 +8 = -2x2 +8 Jeśli od obu stron odejmiemy 8 otrzymamy: -2x1 = -2x2 /:(-2) x1 = x2 Ponieważ x1,x2 to dowolne liczby należące do dziedziny funkcji więc udowodniliśmy, że funkcja jest różnowartościowa.
Zastosowania różnowartościowości do rozwiązywania równań
Rozwiąż równanie: Rozwiązanie: Stosując wzór na sześcian różnicy, sprowadzamy równanie do postaci Dzięki różnowartościowości funkcji f(x)=x3 dla x R można wywnioskować, że rozwiązaniem równania jest x=6
Zastosowanie różnowartościowości zostanie omówione dokładniej przy okazji omawiania własności poszczególnych funkcji
H.Pawłowski – Matematyka-podręcznik dla klasy I Literatura: K.Kłaczkow, M.Kurczab, E. Świda – Matematyka – podręcznik i zbiór zadań do liceów i techników, klasa I, H.Pawłowski – Matematyka-podręcznik dla klasy I Prezentacja została opracowana podczas realizacji projektu „Różne kultury – jedna tożsamość”, współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej z programu ERASMUS+. Partnerzy projektu: Fundacja „Dla Polonii”, Macierz Szkolna na Litwie i Ogólnokrajowa Szkoła Polska na Węgrzech. Informacje o projekcie i konspekty lekcji znajdziesz na portalu http://e-akademia.net/ RÓŻNE KULTURY – JEDNA TOŻSAMOŚĆ Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach programu Erasmus+