Zakład Mechaniki Teoretycznej Zastosowanie teorii zbiorów rozmytych do oceny niezawodności konstrukcji budowlanych Andrzej Pownuk Politechnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mechaniki Teoretycznej

Cel pracy Celem niniejszej pracy jest teoretyczne opracowanie oraz komputerowa implementacja zagadnień obliczania niezawodności konstrukcji z niepewnymi parametrami przy wykorzystaniu teorii zbiorów rozmytych.

Plan prezentacji 1. Niezawodność konstrukcji o parametrach rozmytych. 1.1. Różne definicje bezpieczeństwa konstrukcji. 1.2. Klasyczna definicja zbioru rozmytego. 1.3. Różne interpretacje funkcji przynależności. 1.4. Górne i dolne prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji.

Plan prezentacji 2. Metody rozwiązywania przedziałowych układów równań. 2.1. Przedziałowe układy równań liniowych. 2.2. Przedziałowa metoda Newtona i metoda podziału. 2.3. Zastosowanie metod analizy wrażliwości. 2.4. Zastosowanie macierzy Jakobiego. 2.5. Zastosowanie metod optymalizacji.

3. Niezawodność konstrukcji o parametrach Plan prezentacji 3. Niezawodność konstrukcji o parametrach losowych i rozmytych. 3.1. Niezawodność konstrukcji o parametrach przedziałowych i losowych. 3.2. Niezawodność konstrukcji o parametrach losowych o wartościach należących do zbioru rozmytego.

Plan prezentacji 4. Wnioski. 5. Kierunki przyszłych badań.

Szacowanie bezpieczeństwa w metodzie stanów granicznych O bezpieczeństwie decyduje najsłabszy element konstrukcji. (tzn. ekstremalne wartości nośności (N) i obciążenia (P) ) Warunek stanu granicznego (nośności lub użytkowalności) można zapisać w następującej postaci:

Warunek stanu granicznego można również zapisać następująco. lub bardziej ogólnie Niepewności parametrów uwzględniane są przy wykorzystaniu współczynników bezpieczeństwa . Wartość charakterystyczna Wartość obliczeniowa Wartość ekstremalna

Niezawodność konstrukcji w ujęciu probabilistycznym gdzie jest wektorem losowych parametrów konstrukcji i obciążenia. R0 jest założonym poziomem bezpieczeństwa.

Bezpieczeństwo konstrukcji o parametrach przedziałowych Konstrukcja o parametrach przedziałowych jest bezpieczna, jeśli stan graniczny nie zostanie przekroczony dla dowolnej wartości parametrów z przedziału

Projektowanie konstrukcji o parametrach przedziałowych Uwzględniamy najbardziej niekorzystny przypadek. 

Klasyczna definicja zbioru rozmytego Zbiorem rozmytym F w przestrzeni X nazywamy dowolne odwzorowanie

Działania na zbiorach rozmytych Zasada rozszerzania:

Prawdopodobieństwo zdarzeń rozmytych Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Funkcja przynależności zbioru rozmytego Prawdopodobieństwo zdarzenia rozmytego A

Różne interpretacje funkcji przynależności zbioru rozmytego 1) Interpretacja oparta na logice wielowartościowej. 2) Interpretacja oparta na prawdopodobieństwie nieprecyzyjnym. 3) Interpretacja oparta na teorii zbiorów losowych.

Definicja zbioru losowego - zbiór losowy Ekspert 4 Ekspert 3 Ekspert 2 Ekspert 1 P

Interpretacja funkcji przynależności zbioru rozmytego oparta na teorii zbiorów losowych 1 0.5 P

Górne prawdopodobieństwo 1 0.5 P

Dolne prawdopodobieństwo 1 0.5 P

Związek górnego prawdopodobieństwa z funkcją przynależności zbioru rozmytego c.d. Jeśli spełniony jest następujący warunek to Wzór ten stanowi podstawę zastosowania teorii zbiorów rozmytych do obliczania bezpieczeństwa konstrukcji.

Algorytm obliczania bezpieczeństwa konstrukcji 1) Na rodzinie przedziałów określić funkcję przynależności zbioru rozmytego  2) Wykorzystując algebrę rozmytą obliczyć funkcję przynależności rozwiązań równań rozmytych  3) Obliczyć górne prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji

Przykład Funkcja graniczna

Przykład

Warunek monotoniczności  Ekspert 4 Ekspert 3 Ekspert 2 Ekspert 1 P

Przykład

Przykład c.d.

Przykład c.d.

Przykład c.d.

Z obliczeniowego punktu widzenia najbardziej kłopotliwą częścią algorytmu jest rozwiązanie układu równań rozmytych.

Równania z rozmytymi parametrami Rozwiązanie równania z rozmytymi parametrami można obliczyć przy wykorzystaniu zasady rozszerzania

Metoda -przekrojów

Metody rozwiązywania układów równań z przedziałowymi parametrami Równania liniowe -metody dokładne -metoda kombinatoryczna -metoda programowania liniowego -metoda Rohn’a -metody przybliżone -przedziałowa metoda eliminacji Gaussa -przedziałowa metoda Gaussa-Seidla -przedziałowa metoda Krawczyka -metoda Hansena -metoda Rump’a

Metody rozwiązywania układów równań z przedziałowymi parametrami Równania nieliniowe -przedziałowa metoda Newtona -metoda podziału -metoda Neumaiera -metoda Gay’a -metoda punktowych testów monotoniczności -metoda przedziałowych macierzy Jakobiego -przedziałowa metoda CSP

Definicje zbiorów rozwiązań układów równań z przedziałowymi parametrami

Podstawy arytmetyki przedziałowej Działania na przedziałach Przykładowo:

Fundamentalna własność arytmetyki przedziałowej

Przedziałowa metoda Newtona Przedziałowa metoda Newtona może być wykorzystana do rozwiązywania równań z przedziałowymi parametrami.

Metoda podziału

Zastosowanie metody podziału

Wykorzystanie monotoniczności funkcji Jeśli funkcja jest monotoniczna, to ekstremalne wartości można obliczyć na podstawie końców przedziału.

Przedziałowy test monotoniczności gdzie

Zastosowanie regularnych przedziałowych macierzy Jacobiego do modelowania układów mechanicznych z przedziałowymi parametrami

Przykład zastosowania Przedziałowe parametry:

L=H=1 [m], P=1 [kN],

Zastosowanie analizy wrażliwości do modelowania niepewności w układach mechanicznych

Pierwszy test monotoniczności

Przykłady obliczeń

Metody całkowania równań różniczkowych z przedziałowymi parametrami

Zastosowanie metod optymalizacji do modelowania układów z niepewnymi parametrami

Globalne minimum nie może znajdować się w przedziale drugim i można go pominąć w dalszych obliczeniach.

przedziałowej optymalizacji globalnej Przy pomocy algorytmu przedziałowej optymalizacji globalnej można z bardzo dużą dokładnością oszacować globalne minimum funkcji z nieskończoną ilością minimów lokalnych.

Zalety algorytmu przedziałowej optymalizacji globalnej Algorytm gwarantuje, że wszystkie globalne minima zostaną znalezione w skończonej liczbie kroków i z zadaną dokładnością. Algorytm może uwzględniać błędy zaokrągleń oraz inne błędy obliczeń numerycznych.

Bezpieczeństwo konstrukcji o parametrach losowych i rozmytych.

Prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji o parametrach losowych i rozmytych

Przykład Funkcja graniczna

Przykład Rozmyte obciążenie Losowa granica plastyczności

Przykład c.d. 0.30.8+0.3  0.8+0.2  0.8+0.1  1+0.1  1=0.84

Prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji o parametrach losowych i zbiorowych (przedziałowych)

Funkcja graniczna zależy od wektora parametrów losowych o wartościach należących do zbioru rozmytego

Przykład

Wnioski Współczesna analiza przedziałowa została zapoczątkowana przez R. Moore’a w 1966 roku. Wykorzystując arytmetykę przedziałową można skonstruować algorytmy, które są zbieżne globalnie oraz pozwalają na znalezienie rozwiązania z gwarantowaną dokładnością (tzn. z uwzględnieniem wszystkich błędów, którymi obarczone są rozwiązania numeryczne, w tym błędów zaokrągleń).

Stosowanie prostych algorytmów przedziałowych prowadzi zwykle do dużych różnic pomiędzy rozwiązaniem dokładnym, a rozwiązaniem otrzymanym przy wykorzystaniu metod przedziałowych. Trudności te można częściowo pokonać konstruując specjalne algorytmy.

Znalezienie dokładnego rozwiązania przedziałowego układu równań liniowych jest problemem NP-zupełnym, co znacznie ogranicza techniczne zastosowania tej metody. Przy pomocy metody podziału możemy otrzymać rozwiązanie równań nieliniowych, które są zbudowane z funkcji nieróżniczkowalnych, a nawet nieciągłych. Metoda ta ma bardzo dużą złożoność obliczeniową.

W bardzo wielu typowych problemach inżynierskich zależność rozwiązań od parametrów niepewnych jest monotoniczna. W celu sprawdzenia monotoniczności można zastosować punktowe testy monotoniczności. Jeśli monotoniczność funkcji zostanie wykazana, to ekstremalne wartości funkcji mogą zostać obliczone przy pomocy końców przedziałów.

Korzystając z koncepcji -przekrojów wszystkie metody rozwiązywania równań o parametrach przedziałowych można wykorzystać do rozwiązywania równań rozmytych. Parametry zbiorowe (np. parametry przedziałowe) można traktować jak parametry rozmyte, dla których funkcja przynależności jest równa funkcji charakterystycznej zbioru.

Zadeh zakładał, że pojęcie zbioru rozmytego jest intuicyjnie zrozumiałe. Podejście takie wywołało dyskusję na temat związku teorii zbiorów rozmytych z rachunkiem prawdopodobieństwa. Pomimo dużej liczby przykładów praktycznych zastosowań występują trudności w jednoznacznej interpretacji technicznej pojęć intuicyjnej teorii zbiorów rozmytych.

Istnieje wiele różnych interpretacji funkcji przynależności zbioru rozmytego. Ponieważ w teorii zbiorów rozmytych można posługiwać się różnymi metodologiami, dlatego w zastosowaniach należy dokładnie ustalić, co właściwie oznacza funkcja przynależności zbioru rozmytego. W pracy szczególną uwagę zwrócono na probabilistyczną interpretację funkcji przynależności zbioru rozmytego oraz na interpretację opartą na teorii zbiorów losowych.

Wykorzystując probabilistyczną interpretację zbioru rozmytego teorię zbiorów rozmytych można zastosować do obliczania niezawodności układów mechanicznych. Podobne rezultaty można uzyskać wykorzystując interpretację opartą na teorii zbiorów losowych.

Kierunki dalszych badań Opracowanie komputerowych programów umożliwiających obliczenie bezpieczeństwa konstrukcji z niepewnymi parametrami dla zagadnień: nieliniowych geometrycznie, nieliniowych fizycznie oraz zagadnień dynamiki. Opracowanie bardziej uniwersalnych metod modelowania niepewności parametrów układów mechanicznych. Opracowanie nowych metod rozwiązywania układów równań z przedziałowymi parametrami.

Dziękuję za uwagę