Estymacja parametryczna dr Marta Marszałek Zakład Statystyki Stosowanej Instytut Statystyki i Demografii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Wnioskowanie statystyczne Estymacja Szacowanie wartości parametrów rozkładu populacji (lub jego postaci funkcyjnej) na podstawie próby losowej Weryfikacja hipotez statystycznych Sprawdzanie przypuszczeń dot. parametrów rozkładu populacji (lub jego postaci funkcyjnej) na podstawie próby losowej

Estymacja Estymacja parametryczna szacowanie wartości parametrów populacji generalnej na podstawie obserwacji uzyskanych w próbie – estymacja punktowa – estymacja przedziałowa Estymacja nieparametryczna szacowanie postaci funkcyjnej rozkładu populacji generalnej

Estymacja parametryczna

Estymator vs. parametr (z próby)(liczbowa charakterystyka populacji generalnej)

Własności estymatorów I.Nieobciążoność II.Zgodność III.Efektywność IV.Dostateczność (wystarczalność)* * Proszę zapoznać się z własnościami estymatorów z książek, np: A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000 (lub nowsze wydanie). J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2012 (lub starsze wyd.).

X̄X̄ X̄ X̄ X̄ Średnia z próby X̄ X̄ X̄ X̄ X̄ X̄ m X̄ X̄X̄ X̄X̄ X̄ X̄ X̄ X̄ X̄

systematyczne obciążenie y y y y Obciążony y y y estymator Y yy m y ● y y y y y y y

Uwaga! Wariancja nieobciążona jest nieobciążonym estymatorem wariancji w populacji Wariancja obciążona jest obciążonym estymatorem wariancji w populacji

Relacje między własnościami nieobciążoności i zgodności estymatora

Dwa nieobciążone estymatory parametru m: estymator X jest efektywniejszy od estymatora Z Estymator nieobciążony i efektywny z X z Estymator nieobciążony zz ale nieefektywny x x z (o dużej wariancji) z x x x Z x m x z z z x x x z x z z zz z

Metody uzyskiwania estymatorów 1. Metoda momentów 2. Metoda największej wiarogodności (MNW) 3. Metoda najmniejszych kwadratów (MNK) Estymatory MNW są: 1. zgodne, 2. co najmniej asymptotycznie nieobciążone, 3. co najmniej asymptotycznie najefektywniejsze, 4. mają asymptotyczny rozkład normalny.

Estymacja Punktowa Jako oszacowanie parametru przyjmuje się wartość jego estymatora obliczoną na podstawie próby losowej. Jest to jedna, konkretna wartość liczbowa. Przedziałowa Konstruujemy przedział ufności, który z dużym prawdopodobieństwem obejmie nieznany parametr. Jest to przedział liczbowy.

Estymacja punktowa

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej ze znanym odchyleniem standardowym

Przedział ufności dla m Estymator Standardowy błąd szacunku Estymator ± wartość odczytana z tablic * błąd standardowy błąd maksymalny (in. statystyczny) parametr Współczynnik ufności (np. 0,9; 0,95; 0,99)

Przedział ufności

Interpretacja przedziału ufności

Przykład

Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej z nieznanym odchyleniem standardowym

*Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej z nieznanym odchyleniem standardowym

Przedział ufności dla średniej m w populacji o nieznanym rozkładzie

Przedział ufności dla m - przykład

Precyzja szacunku

Minimalna liczebność próby przy estymacji średniej m w populacji normalnej ze znanym σ

Minimalna liczebność próby przy estymacji parametru p w rozkładzie dwumianowym

Przykład – minimalna liczebność próby

Dziękuję dr Marta Marszałek