Wówczas równanie to jest słuszne w granicy, gdy - toru krzywoliniowego nie można dokładnie rozłożyć na skończoną liczbę odcinków prostoliniowych. Praca – iloczyn skalarny wektorów siły i przemieszczenia x yFpFp r1r1 r2r2 rr Drogę rozkładamy na N odcinków liniowych takich, że na każdym z nich

Pracę definiujemy jako: a) Stała siła W

b) Siła zmienna, np. rozciągamy sprężynę: W

Prawo zachowania energii prawa zachowania są niezależne od własności toru, a często również od własności danej siły prawa zachowania mają zastosowanie nawet wtedy, gdy siły są nieznane prawa zachowania stanowią dogodną pomoc w rozwiązywaniu zagadnienia ruchu cząstki. Cząstka o masie m nie jest poddana działaniu żadnej siły. W chwili t = 0 do cząstki przyłożono siłę

energia kinetyczna cząstki praca wykonana przez przyłożoną siłę jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki praca wykonana na cząstce przez siłę

Siły zachowawcze x y A B Praca wykonana przez siłę zachowawczą po drodze zamkniętej jest równa zeru. Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zależy od kształtu toru.

Energia potencjalna Przykładamy do ciała siłę F p równoważącą wszystkie inne siły działające na ciało. Wówczas E k = const. Praca wykonana przez siłę F p podczas przenoszenia tego ciała z punktu A do punktu B pola zachowawczego = zmianie energii potencjalnej ciała Energia potencjalna ciała w danym punkcie pola wyznaczona jest z dokładnością do stałej addytywnej

Jeśli siłę przyłożoną zastąpimy siłą rzeczywiście działającą na ciało to energia potencjalna ciała w danym punkcie pola lub względem punktu położonego w nieskończoności Jeśli punkt A  , wówczas i energia potencjalna ciała względem nieskończoności

Zasada zachowania energii mechanicznej Na cząstkę działa siła suma sił zachowawczych suma sił niezachowawczych Praca wykonana przez siłę

Praca wykonana przez dowolne siły podczas przenoszenia ciała z punktu A do B = zmianie energii kinetycznej ciała Praca wykonana przez siły zachowawcze = zmianie energii potencjalnej ciała

Zmiana całkowitej energii mechanicznej układu równa jest pracy sił niezachowawczych. Jeśli na ciało (układ ciał) działają tylko siły zachowawcze wówczas energia mechaniczna jest stała. energia całkowita w punkcie B pola energia całkowita w punkcie A pola (filmy 2)

Dynamika ruchu obrotowego: punktu materialnego bryły sztywnej Bryła sztywna – zbiór punktów, przy czym dla dowolnych dwóch punktów A i B ich wzajemna odległość r AB jest stała w czasie, niezależnie od przyłożonej siły. A B r AB

Moment siły ramię siły kierunek działania siły

dla punktu materialnego Moment pędu punktu materialnego

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wokół stałej osi obrotu Przyspieszenia kątowego jakie uzyskuje punkt materialny jest proporcjonalne do momentu działającej siły. Współczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności. Dla punktu materialnego

Jeśli na punkt materialny działa zewnętrzny moment siły, to zmienia się moment pędu tego punktu materialnego

Układy punktów materialnych Dla układu zawierającego n punktów materialnych zapiszemy: oraz Zmiana całkowitego momentu pędu układu punktów materialnych w jednostce czasu względem początku inercjalnego układu odniesienia jest równa sumie zewnętrznych momentów sił działających na układ

moment bezwładności układu punktów materialnych względem danej osi obrotu moment bezwładności bryły sztywnej względem danej osi obrotu Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego Energia kinetyczna układu punktów materialnych Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Twierdzenie Steinera

Cylinder obraca się wokół punktu P z prędkością kątową w danej chwili – jest to więc czysty ruch obrotowy. Energia kinetyczna takiego ruchu

Z twierdzenia Steinera wynika a więc energia kinetyczna cylindra wynosi Iloczyn jest prędkością liniową środka masy cylindra względem nieruchomego punktu P

Prędkość środka masy względem punktu P jest taka sama jak prędkość punktu P względem środka masy stąd prędkość kątowa środka masy wokół punktu P jest taka sama jak prędkość kątowa punktu P wokół środka masy energia kinetyczna obracającego się cylindra energia kinetyczna cylindra poruszającego się ruchem postępowym

Dowolny punkt znajdujący się na obwodzie walca obraca się z prędkością v i z taką samą prędkością porusza się prostoliniowo

Ogólna postać II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego Szybkość zmian momentu pędu jest równa momentowi siły analogicznie do

Zasada zachowania momentu pędu Moment pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły. Związek pomiędzy krętem a prędkością kątową Jeśli moment pędu jest zachowany, to