Renesans Autory : Waldemar Mejza Rafał Łażewski

Historia

Renesans był epoką wynalazków. Pojawiły się wtedy miedzy innymi kompas i zegary, a tańszy papier oraz drukarstwo sprawiły, że wiedza naukowa stała się niezbędnym elementem życia społecznego. W tym czasie tworzyli wielcy uczeni i artyści, którzy z powodzeniem łączyli zainteresowania z różnych dziedzin sztuki. Do największych z nich należeli Leonardo da Vinci oraz Albrecht Dürer. W XV i XVI wieku matematyka rozwijała się głównie we Włoszech Francji i Niemczech, a pod koniec XVI wieku również w Holandii. W matematyce zaczęto szukać ostatecznego kryterium prawdy i dlatego stanowiła ona podstawowy składnik kultury.

Włoscy algebraicy

Matematycy włoscy początku XVI wieku rozwinęli nowa teorię matematyczną – algebrę. Najwybitniejszym algebraikiem europejskim epoki renesansu był franciszkanin Luca Pacioli. Zajmował on się też „mistycznymi” wyjaśnieniami pewnych faktów matematycznych na przykład dlaczego liczby doskonałe kończą tylko cyframi 6 i 8. Pacioli nazywał algebrę reguła rzeczy lub wielką sztuką. Wprowadził bogata symbolikę algebraiczną

Istotnym odkryciem matematyków włoskich, wykraczającym poza osiągnięcia matematyków wschodnich, było znalezienie ogólnych metod rozwiązywania równań sześciennych oraz równań czwartego stopnia. Pierwszym któremu udało się rozwiązać jedną z postaci równania sześciennego x3 + mx = b (a,b > 0), był SCIPIONE DEL FERRO. Znał on metody rozwiązywania wszystkich trzech typów równań sześciennych, tzn.: x3+ax=b x3=ax+b x3+b=ax Niezależnie od niego samouk Niccolo Tartaglia rozwiązał też tą regułę.

Innym wielkim algebraikiem tego okresu był profesor z Mediolanu Girolamo Cardano. był on nie tyko matematykiem ale również filozofem i astrologiem. W 1539 gdy dowiedział się o odkryciu Tartaglii poprosił go o podanie mu rozwiązania. Cardano opublikował regułkę wraz z dowodem jej poprawności zaznaczając również że autorem jest Tartaglia. Pomimo to wzór ten nazywany jest wzorem Cardana.

Równanie x3+ax=b del Ferro i Tartaglia rozwiązywali znając liczby u i v spełniające warunki u-v=b oraz uv=(a/3)3Wtedy liczby u i v są pierwiastkami równania kwadratowego y2-by-(a/3)3,a więc co prowadzi do wzoru na pierwiastek postaci Podobną metodę zastosował Tartaglia dla równania x3+ax=b podając przy tym, że można je rozwiązać za pomocą równania x3+b=ax, ponieważ dodatnie pierwiastki jednego są równe modułom pierwiastków ujemnych drugiego.

Cardano opublikował też metodę rozwiązywania równań stopnia czwartego, którą odkrył jego uczeń Luigiego Ferrari. Dowolne równanie stopnia czwartego w postaci x4+ax2+bx+c=0, stosując podstawienie x=y+p. Takie równania za pomocą odpowiednich przekształceń, można było sprowadzić do równań kwadratowych.

Kosisci

Kosiści to niemieccy algebraicy XVI wieku, którzy kontynuowali prace włoskich algebraików. Do kosistów należeli: Johann Widmann, Adam Ries oraz Christoph Rudolff. Ich podstawowym osiągnięciem było rozwinięcie i wzbogacenie symboliki algebraicznej stworzonej przez Włochów. Używana przez nich terminologia rozpowszechniła się nie tylko w Niemczech, ale w całej Europie.

Najwybitniejszym z kosynierów był MIchael Stifel. W młodości był mnichem, później przyłączył się do reformacji i został pastorem luterańskim. Początkowo zajmował się mistyką między innymi „obliczył”, że dnia 19X1533 roku nastąpi koniec świata. Jednak przewidywany przez niego kataklizm nie nastąpił. Później zajął się matematyką i stał się jednym z najwybitniejszych matematyków swoich czasów Stifel podał słownie wzory na dwumian Newtona dla n=3,4…9, podając dla n=3 interpretację geometryczną za pomocą rozkładu sześcianu na prostopadłościany zgodna z rysunkiem:

Stifel podał również twierdzenia o dwumianie dla dowolnego wykładnika naturalnego wraz z tablicą współczynników dwumianowych, w której każdy element tworzy się jako sumę elementów wiersza poprzedniego, wypisanych nad nim i na lewo od niego. Stifel jako pierwszy w Europie rozważał jedną, ogólna postać równania kwadratowego x2=ax+b, a nie jak to czyniono dotychczas trzy postaci kanoniczne. Opisał on również sposób rozwiązywania takiego równania we wszystkich trzech przypadkach, tzn. gdy a>0,b>0;a>0,b 0, posługując się liczbami ujemnymi.

Przedstawił on również systematyczny wykład teorii liczb ujemnych, podając na przykładach reguły mnożenia i dzielenia takich liczb. Stifel wyobraził sobie liczby dodatnie i ujemne na pionowej prostej. Dzięki temu wyobrażeniu porzucono zwyczaj nazywania liczb ujemnych liczbami fikcyjnymi. Interpretacja geometryczna liczb ujemnych podana przez Stifela szeroko rozpowszechniła się w Europie po powstaniu geometrii analitycznej.

François Viète

Francuz François Viète był jednym z najwybitniejszych matematyków swojej epoki. Z wykształcenia prawnik, w wieku 19 lat rozpoczął praktykę adwokacką w swym rodzinnym mieście. Nauczając córkę jednego ze swych klientów, zainteresował się astronomią i rozpoczął prace nad trygonometrią. Dzięki małżeństwu swej uczennicy z wpływowym arystokratą, Viète został doradcą króla Henryka III, a po jego śmierci – Henryka VI. Wielką sławę przyniosło mu odszyfrowywanie korespondencji wrogów Henryka III Jednak największą jego pasją była matematyka, stworzył nową symbolikę w której pojawiły się literowe oznaczenia dowolnych. Dopiero wtedy stał się możliwy rachunek algebraiczny jako system wzorów, jako operatywny algorytm

Trygonometria

Twórcą pierwszego wybitnego dzieła o trygonometrii w Europie był Johan Müller. Zawarł w nim zadania na konstrukcję trójkątów oraz trygonometrię płaską i sferyczną. Udowodnił też na przykład sferyczne twierdzenie cosinusów oraz obliczył tablice sinusów i tangensów z dokładnością d siódmego miejsca dziesiętnego. Wkład w rozwój trygonometrii miał też Mikołaj Kopernik, który podał tablice sinusów oraz dowody trygonometrii sferycznej oparte na rozważaniu kąta trójściennego, rzutującego trójkąt sferyczny ze środka kuli.

Podsumowanie W dobie renesansu matematyka Europy po raz pierwszy przekroczyła granice wiedzy, jaką stworzyli starożytni Grecy i narody wschodu. Ugruntował się dziesiętny pozycyjny sposób zapisu liczb, w tym również ułamków. Ważnym osiągnięciem było stworzenie symboliki arytmetycznej i algebraicznej, która doprowadziła do znacznego postępu teorii równań. Wprowadzone zostały potęgi o wykładnikach ułamkowych i ujemnych oraz liczby ujemne i urojone. Pojęcie liczby zostało rozszerzone i obejmowało swym zasięgiem dzisiejsze liczby rzeczywiste. Znane były równie osiągnięcia w trygonometrii płaskiej i sferycznej, na potrzeby której udoskonalono metody obliczania tablic. Po raz pierwszy w Europie zaczęto traktować matematykę jako podstawowe narzędzie eksperymentu, za metodę badania przyrody. Stała się potężnym środkiem do rozwiązywania zadań spotykanych nie tylko w handlu i miernictwie, lecz również w nowej technice i nowym przyrodoznawstwie. Dzięki wielkim odkryciom matematycznym tego okresu stworzone zostały warunki do późniejszego powstania teorii wielkości zmiennych, algebry symbolicznej, geometrii analitycznej oraz rachunku różniczkowego i całkowego.