Jan Koźmiński i Łukasz Miałkas IIIA Gimnazjum w Borui Kościelnej

 Cyfry, którymi dziś się posługujemy to 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 0. Cyfry od 1-9 są pochodzenia arabskiego. Zero natomiast zaczerpnięte zostało od Hindusów. Niestety nie można dzisiaj ustalić daty tego przełomowego faktu.

Liczby w tym zapisie składają się ze znaku dziesiątki i jedności.

 Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze żadnego pisma i ich mowa była jeszcze stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele. Aby wyrazić 3,4,5,6 używali kombinacji słów: jeden, dwa (np. 5 = 2,2,1). Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele.  Innym prastarym sposobem liczenia było rycie kresek w drewnie, czy też liczenie „na palcach”

 Jedynkowy  Dwójkowy  Siódemkowy  Ósemkowy  Dziesiętny  Dwunastkowy  Szesnastkowy  Sześćdziesiątkowy  Trójkowy zrównoważony

 Do zapisu liczb w tym systemie stosuje się wyłącznie jeden znak oznaczający liczbę "1". Kolejne liczby tworzy się przez powtarzanie tego znaku tyle razy, ile wynika to z wartości danej liczby. Tak więc np. 3 w systemie jedynkowym jest równe "111", a 10 = " ".  Jeśli chcemy odjąć od "11111" liczbę "111", wystarczy, że przyrównamy do siebie "długości" obu liczb i zostawimy ten "kawałek" dłuższej liczby, który "wystaje":

 W systemie tym liczymy za pomocą dodawania kolejnych kresek. Na przykład liczba 20 to w systemie jedynkowym IIIIIIIIIIIIIIIIIIII, a 9 w systemie dziesiętnym to IIIIIIIII w jedynkowym. Czyli tyle ile wynosi wartość cyfry tyle kresek musimy zrobić.

 Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.  Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

 Na dwójkowy Przykład liczba 67 67:2 |1 33:2 |1 16:2 |0 8:2 |0 4:2 |0 2:2 |0 1:2 |1  Na dziesiętny Przykład liczba * * * *2 3 +0* *2 5 +1*2 6, a to się równa: , czyli jest to 67

 Siódemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 7. System siódemkowy jest czasem nazywany septymalnym od słowa septimal. Do zapisu liczb używa się w nim siedmiu cyfr, od 0 do 6.  Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu.  W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę systemu, np =  Ułamki wyrażone w systemie siódemkowym będą ułamkami okresowymi, chyba, że mianownik jest potęgą siedmiu.

 Aby zamienić zwykłą liczbę na system siódemkowy wystarczy dzielić przez 7.  Pierwsze dzielenie : 234:7=33 21 =24 21 =3 Z tego dzielenia wyszła reszta 3 więc ta liczba w systemie siódemkowym na ostatniej pozycji będzie mieć cyfrę 3.

 Drugie dzielenie : 33:7=4 28 =5 Z tego dzielenia wyszła reszta 5 więc ta liczba w systemie siódemkowym na przedostatniej pozycji będzie mieć cyfrę 5 i analogicznie ostatnią uzyskaną cyfrą będzie cyfra 4 ponieważ : 4: 7 = 0 reszty 4 czyli : 234=(453) 7

 System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7.  Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:  1 × × ×8 0 = = 100.

 Liczby od 0 do 7 w systemie ósemkowym wyglądają tak samo jak w systemie dziesiętnym. Jednak nadchodzi następna liczba, zwana przez nas jako osiem. System ósemkowy nie zna takiej cyfry, więc powstaje następna pozycja. Zatem liczba osiem (8) w systemie dziesiętnym to liczba dziesięć (10) w systemie ósemkowym. Liczby takie jak: 9, 10, w systemie ósemkowym będą wyglądać odpowiednio:11, 12.

 Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny.  Zapis "5045,7" wynika z:

 Liczby w tym systemie zapisuje się jako potęgi kolejnych liczb. Przykład liczba 374 = 4* * *10 2

 Dwunastkowy system liczbowy (duodecymalny system liczbowy) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B.  Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w dwunastkowym przybiera postać 6B4, gdyż: 6×12² + 11× ×12 0 = = 1000

Zapis liczb w różnych systemach opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiętnym a różnią się ilością używanych cyfr. W systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr, w trójkowym trzech itd. W systemie dwunastkowym trzeba wprowadzić dodatkowe symbole na oznaczenia liczb 10 i 11, które w tym systemie są cyframi ( 10 – A, 11 – B ). (234) 12 = 2× × ×12 0 = =328 (5A7) 12 = 5× × ×12 0 = =847

* AB A A A B B A A A A0 B 1A A1B A0B0100

 Szesnastkowy system liczbowy (czasem nazywany heksadecymalnym, skrót hex) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Skrót hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr.  W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (dużych lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dzięsiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.

 Na dziesiętny Podobnie jak w systemie dwójkowym ale zamiast mnożnika „2” używamy „16” Przykład: AB13 = 3* * * *16 3, czyli , czyli  Najpierw musimy sobie napisać jakie są kolejne wielokrotności liczby 16. A są to: 1, 16, 256, 4096, itd. Jak widać nasza liczba w systemie dziesiętnym, czyli jest między liczbą 4096, a Bierzemy pod uwagę liczbę mniejszą od naszej, czyli Jest ona czwartą wielokrotnością, więc nasza liczba w systemie szesnastkowym będzie miała 4 cyfry (na razie wszystko się zgadza). Teraz sprawdzam, ile razy liczba 4096 mieści się w naszej liczbie konwertowanej, czyli Okazuje się, że mieści się 10 razy. 10 w systemie szesnastkowym to A, zatem pierwsza cyfra to A. Jak widać, w dalszym ciągu wszystko się zgadza. Teraz, skoro liczba 4096 zmieściła się dziesięć razy w 43794, to jeszcze zapewne została jakaś reszta. Obliczamy sobie tą resztę. Mnożymy zatem 4096*10 co daje Teraz odejmujemy wynik od naszej liczby i obliczamy resztę. Zatem = To jest nasza reszta. Następnie z resztą postępujemy tak samo, jak na początku konwersji. Już na oko widać, że w następnym kroku sprawdzamy ile razy 256 mieści się w Mieści się 11 razy, zatem kolejna cyfra szukanego zapisu to B. Następnie znowu: obliczamy resztę, itd. Końcowy wynik powinien wynosić AB12.

 Sześćdziesiątkowy system liczbowy – to pozycyjny system liczbowy o podstawie 60. Był używany w Babilonie, i to już 1750 p.n.e., stąd dotarł do Europy.  Zaletą układu sześćdziesiątkowego jest podzielność liczby 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz 60. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych. Dla przykładu, jeśli chcemy ułożyć rozkład jazdy autobusów, gdzie pojazd kursuje 3 razy w ciągu godziny otrzymamy praktyczne i wygodne liczby np.: 7 00, 7 20, 7 40, 8 00 itd. W układzie dziesiątkowym mielibyśmy zamiast tego 7,0; 7, itd.

3(13)(33)1 (60) = 1· · · ·60 3 = = (10)

 Kalkulator dzięki któremu możemy przeliczyć każdy z wyżej wymienionych systemów znajduje się na stronie pozycyjny pozycyjny  Poszczególne kalkulatory dostępne są w zakładkach z nazwami systemów liczenia.

 System trójkowy zrównoważony to pozycyjny system liczbowy o podstawie 3 używający cyfr -1, 0, 1.  Zwykłe systemy pozycyjne używają cyfr od zera do cyfry o jeden mniejszej niż podstawa systemu. Np. system dziesiętny stosuje cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. System trójkowy zrównoważony stosuje cyfry -1, 0, 1, dzięki czemu do zapisu liczby ujemnej nie jest potrzebny znak "minus". Zamiast cyfr 1 i - 1 zwykle stosuje się znaki + i −.

 Liczba 100 zapisuje się jako , czyli − Co daje nam ciąg ++−0+ (zero symbolizuje nieistniejący współczynnik przy 3 1 ).

W systemie dziesiętnym W systemie trójkowym zrównoważonym − − -3 −0 -4 −− 25 +0−+ -25 −0+− −0+

 Abakus lub abak– deska z wyżłobionymi rowkami, które symbolizowały kolejne potęgi dziesięciu. Ułatwiało liczenie, używane w Rzymie i Grecji od 440 p.n.e. do XVIII wieku - prekursor liczydła i maszyn liczących. Był używany także w innych krajach Europy. Obliczeń dokonywano poprzez wkładanie i przekładanie kamyków w rowkach. Zasada liczenia była taka sama jak na liczydle.

 Kamyki na abaku układało się w dwóch kolumnach, w trzeciej był wynik. Liczenie polegało na dodawaniu lub odejmowaniu kamyków zaczynając od dołu- od jedności w górę.

   pozycyjny pozycyjny  „Jak liczono dawniej, a jak liczymy dziś”- W. Krysicki i E. Kącki