Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży W - wartość portfela   W = a P 1 + b P 2   P 1 - cena akcji typu A, P 2 – cena akcji typu B   a- liczba akcji A, b - liczba akcji B   a P 1 - wartość akcji A w portfelu   b P 2 - wartość akcji B w portfelu   a P 1 / W – udział akcji A w portfelu, ozn. α   b P 2 / W – udział akcji B w portfelu, ozn. β   α + β = 1, α, β – nieujemne

Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży   W dalszej części rozważań portfel dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży będziemy identyfikować z parą nieujemnych liczb (α, β) sumujących się do jedynki, oznaczających udziały poszczególnych akcji   Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb (α, β) sumujących się do jedynki

Stopa zwrotu z portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży r A – stopa zwrotu z akcji A r B – stopa zwrotu z akcji B Stwierdzenie. Jeżeli α, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to stopa zwrotu z portfela - R P jest równa r P = α r A + β r B Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu) P 1 (1+ r A ), P 2 (1+ r B ) - ceny końcowe akcji A, B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [a P 1 (1+ r A )+ b P 2 (1+ r B )] – (a P 1 + b P 2 )= a P 1 r A +b P 2 r B stopa zwrotu portfela R P = (a P 1 r A +b P 2 r B ) / W = (a P 1 / W) r A + (b P 2 / W) r B = α r A + β r B

Stopa zwrotu z portfela trzech akcji (Brak krótkiej sprzedaży ) r A – stopa zwrotu z akcji A r B – stopa zwrotu z akcji B r C – stopa zwrotu z akcji C Stwierdzenie. Jeżeli α, β, γ oznaczają udziały akcji odpowiednio A, B i C w portfelu (α+ β+ γ = 1, oraz α, β, γ są nieujemne), to stopa zwrotu z portfela - r P jest równa r P = α r A + β r B + γ r C Dowód przebiega analogicznie do przypadku portfela dwóch akcji

Krótka sprzedaż akcji Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać pożyczkodawcy. Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji. Inwestor zyskuje na spadku cen akcji Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

Krótka sprzedaż akcji Przykład. Cena początkowa akcji – 100 zł. Wartość pożyczonych akcji – zł

Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład. Inwestor dysponuje kwotą zł, cena akcji firmy A wynosi 100 zł, firmy B - 50 zł. Inwestor kupuje za cała kwotę 200 akcji firmy A, dokonuje krótkiej sprzedaży 80 akcji firmy B, za uzyskane pieniądze (4000 zł) dokupuje 40 akcji firmy A. Wartość jego portfela wynosi W = zł = 240  100 zł + (- 80)  50 zł lub inaczej W = [(240  100 zł) / W]  W +{[(- 80)  50 zł] / W}  W = =1,2  W + (-0,2)  W

Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji W = a P 1 + b P 2 lub W = α W + β W Gdzie α + β = 1, oraz α, β > 0 Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A) Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A Wartość nowego portfela nie zmieniła się, jest równa W, można ją teraz zapisać jako W = α’ W + β’ W gdzie β’ 1, (α’ + β’ = 1)

Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży W – wartość portfela a - liczba akcji A w portfelu, b - liczba akcji B w krótkiej sprzedaży W = a P 1 + ( - b) P 2 = a P 1 - b P 2 P 1 ( 1+ r A ), P 2 ( 1+ r B ), - ceny końcowe akcji A, B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [ a P 1 ( 1+ r A ) - b P 2 ( 1+ r B ) ] – ( a P 1 - b P 2 ) = = a P 1 + aP 1 r A - b P 2 - b P 2 r B – a P 1 + b P 2 = = a P 1 r A – b P 2 r B stopa zwrotu dla portfela R P = ( aP 1 r A – b P 2 r B ) / W = ( a P 1 / W) r A + (- bP 2 / W) r B = α r A + β r B β < 0, α + β = 1, gdzie α, β – udziały w portfelu

Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży   Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb rzeczywistych (α, β) sumujących się do jedynki

Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży r A = 30%, r B = 10% Portfel może mieć ujemną stopę zwrotu (!!! ), może mieć stopę większą od większej ze stóp: r A, r B

Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 2. Niech r A = 30%, r B = -10%

Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 3. Niech r A = - 30%, r B = -10% Stopa portfela może być dodatnia

Stopa zwrotu jako zmienna losowa Oczekiwana wartość stopy zwrotu   R A – stopa zwrotu z akcji A   R B – stopa zwrotu z akcji B   R P – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe   R P = α R A + β R B R P jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych R A,, R B   E(R A ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A   E(R B ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B   E(R P ) – oczekiwana stopa zwrotu z portfela   E(R P ) = α E(R A ) + β E(R B )

Wariancja, odchylenie std. stopy zwrotu portfela dwóch akcji Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β Cov( R A, R B ) Var R P – wariancja stopy zwrotu portfela Cov( R A, R B ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σ P = √ Var R P σ P - odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

Zbiór możliwości inwestycyjnych (opportunity set) DEF. Zbiorem możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży, nazywamy zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych : oś OX – ryzyko (odchyl. std. stopy zwrotu), oś OY– oczekiwana stopa zwrotu, które można uzyskać dla wszystkich nieujemnych par {( α, β): α + β = 1, 0  α, β }, będących udziałami akcji w portfelu bez krótkiej sprzedaży.

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji o zadanych parametrach bez krótkiej sprzedaży akcja A akcja B Średnia stopa zwrotu 14,25 % 62,72 % Odchylenie standard. 25,25 % 37,99 %

Pełna korelacja dodatnia stóp zwrotu  = 1 Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α βCov( R A, R B ) = = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β σ A σ B Cor ( R A, R B ) Jeżeli Cor ( R A, R B ) = 1, to Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β σ A σ B Var R P = α 2 ( σ A ) 2 + β 2 (σ B ) α β σ A σ B = (α σ A + β σ B ) 2 czyli (σ P ) 2 = (α σ A + β σ B ) 2, stąd σ P = α σ A + β σ B, o ile α, β – nieujemne Ponieważ R P = α R A + β R B, zatem portfele stanowią punkty odcinka o końcach (σ A, R A ), (σ B, R B )

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji dodatniej

Pełna korelacja ujemna  = - 1 Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β σ A σ B Cor ( R A, R B ) Jeżeli Cor ( R A, R B ) = - 1, to Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B - 2 α β σ A σ B = α 2 ( σ A ) 2 + β 2 (σ B ) α β σ A σ B = (α σ A - β σ B ) 2. (σ P ) 2 = (α σ A - β σ B ) 2, stąd σ P = α σ A - β σ B, o ile α σ A ≥ β σ B σ P = β σ B - α σ A, o ile α σ A < β σ B Jeżeli α σ A = β σ B to σ P = 0. Można pokazać, ze portfele stanowią punkty łamanej [σ A, R A ],[0, R A σ B /(σ A + σ B ) + R B σ A /(σ A + σ B )], [σ B, R B ]

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji ujemnej

Przypadki  = - 1,  = 1 z możliwością krótkiej sprzedaży

Pełna korelacja ujemna Portfel zerowego ryzyka Jeżeli  ( R A, R B ) = - 1, to Var R P = (σ P ) 2 = (α σ A - β σ B ) 2, stąd σ P = 0, gdy α σ A = β σ B, czyli α σ A = (1- α) σ B α = σ B /(σ A + σ B ) zaś β = σ A /(σ A + σ B ) Portfel o powyższych udziałach jest portfelem zerowego ryzyka. Ma on stopę zwrotu równą E(R P ) = E(R A ) σ B /(σ A + σ B )+ E(R B ) σ A /(σ A + σ B )

 ( R A, R B ) = 0. Portfel minimalnego ryzyka Var R P = (σ P ) 2 = α 2 Var R A + β 2 Var R B = α 2 (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) 2 = (1- β) 2 (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) 2 Pochodna otrzymanego wyrażenia względem β wynosi -2 (1-β ) (σ A ) β (σ B ) 2 zeruje się, gdy -(1-β ) (σ A ) 2 + β (σ B ) 2 = 0 (β - 1 ) (σ A ) 2 + β (σ B ) 2 = 0 Czyli dla β 0 = (σ A ) 2 /[(σ A ) 2 + (σ B ) 2 ] Jako rosnąca funkcja liniowa zmiennej β zmienia znak z „–” na „+”, zatem dla β 0 wariancja ma wartość minimalną.

 ( R A, R B ) = 0. Portfel minimalnego ryzyka Minimalna wariancja wynosi (1- β 0 ) 2 (σ A ) 2 + (β 0 ) 2 (σ B ) 2 czyli [σ B 2 /(σ A 2 + σ B 2 )] 2 σ A 2 + [σ A 2 /(σ A 2 + σ B 2 )] 2 σ B 2 = σ B 4 σ A 2 /(σ A 2 + σ B 2 ) 2 + σ A 4 σ B 2 /(σ A 2 + σ B 2 ) 2 = (σ B 4 σ A 2 +σ A 4 σ B 2 )/(σ A 2 + σ B 2 ) 2 = σ A 2 σ B 2 (σ B 2 +σ A 2 )/(σ A 2 + σ B 2 ) 2 Odchyl. Std. σ A σ B /[(σ A ) 2 + (σ B ) 2 ] 0,5 zaś stopa zwrotu odpow. temu odchyleniu to E(R P )=E(R A )σ B 2 /(σ A 2 + σ B 2 )+E(R B )σ A 2 /(σ A 2 +σ B 2 )

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji (zerowa korelacja)

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy możliwości krótkiej sprzedaży akcji Stopa zwrotu akcji A –16%, B - 12%

Przypadek -1<  <1.   TW. Niech -1<  < 1. Portfel minimalnego ryzyka (przy możliwości krótkiej sprzedaży) jest osiągany dla udziału spółki B wynoszącym β 0 = ( σ A 2 -  σ A σ B ) /(σ A 2 + σ B  σ A σ B )   Uwaga. Jeśli krótka sprzedaż nie jest możliwa to udział spółki B w portfelu minimalnego ryzyka wynosi 0, gdy β 0 < 0 β 0, gdy 0  β 0  1 1, gdy 1 < β 0

Dowód twierdzenia Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β Cov ( R A, R B ) = = α 2 (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) α β  σ A σ B = = (1- β ) 2 (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) (1- β ) β  σ A σ B = = (1-2 β+ β 2 ) (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) (1- β ) β  σ A σ B = = β 2 [(σ A ) 2 + (σ B )  σ A σ B ]- 2 β[(σ A ) 2 -  σ A σ B ]+ (σ A ) 2 Współczynnik przy β 2 jest dodatni. Dla   0 jest to oczywiste zaś dla  > 0 wynika to z nierówności: (σ A ) 2 + (σ B )  σ A σ B > (σ A ) 2 + (σ B ) σ A σ B  0 Różniczkując wariancję względem β otrzymujemy: (Var R P )’ = 2 β[(σ A ) 2 + (σ B )  σ A σ B ]- 2 [(σ A ) 2 -  σ A σ B ] Pochodna zeruje się dla β 0 = ( σ A 2 -  σ A σ B ) /(σ A 2 + σ B  σ A σ B ) Z rozważań powyżej wynika, że w β 0 jest minimum lokalne. (σ P ) 2 = (α σ A - β σ B ) 2, stąd σ P = α σ A - β σ B, o ile α σ A ≥ β σ B

Ilustracja twierdzenia. Wykresy zależności wariancji od parametru s (czyli β z poprzednich rozważań). Minimum uzyskiwane jest dla s 0 (β 0 ) Pogrubiona linia oznacza portfele bez krótkiej sprzedaży

Przypadek 0  β 0  1 (lewa strona) Przypadek β 0 < 0 (prawa strona)

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy różnych współczynnikach korelacji, bez możliwości krótkiej sprzedaży

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży, przy różnych współczynnikach korelacji

Korelacja a portfel minimalnego ryzyka Korelacja graniczna  = σ A / σ B   TW. Niech σ A < σ B. Wówczas możliwe są trzy przypadki:   A) Jeśli -1   < σ A / σ B, to istnieje portfel bez krótkiej sprzedaży taki, że σ P < σ A (linie 4 i 5 na poprz. slajdzie)   B) Jeśli  = σ A / σ B, to dla każdego portfela P mamy σ A  σ P (linia 3 )   C) Jeśli σ A / σ B <   1, to istnieje portfel z krótką sprzedażą taki, że σ P < σ A, ale dla każdego portfela bez krótkiej sprzedaży σ A  σ P (linia 1 i 2)

Dowód a)   -1   < σ A / σ B. Udział akcji B w portfelu min. ryzyka: (*) β 0 = ( σ A 2 -  σ A σ B ) /(σ A 2 + σ B  σ A σ B )   σ A 2 + σ B  σ A σ B > σ A 2 + σ B 2 - 2σ A σ B ≥ 0; dla  > 0,  <0 Mianownik w (*) jest wiec dodatni. Rozważmy licznik w (*) σ A 2 -  σ A σ B = σ A 2 -  σ A 2 σ B / σ A = σ A 2 (1-  σ B / σ A ) Ponieważ mamy równoważność 1-  σ B / σ A > 0  < σ A /σ B Zatem β 0 jest dodatnie. Nierówność ( σ A 2 -  σ A σ B ) /(σ A 2 + σ B  σ A σ B )<1 jest równoważna nierówności:  < σ B / σ A Ale z założeń  < σ A / σ B oraz σ A / σ B < σ B / σ A Zatem β 0 <1 Mamy więc 0 < β 0 <1 (

Dowód b) c)  B)  B) (*) β 0 = ( σ A 2 -  σ A σ B ) /(σ A 2 + σ B  σ A σ B )   Jeśli  = σ A / σ B to β 0 =0, zatem portfel zawiera tylko akcje A będąc zarazem portfelem minimalnego ryzyka.   Czyli σ A  σ P  C)  C) σ A / σ B <   1 Wtedy σ A / σ B <   σ A -  σ B <0   σ A σ A -  σ A σ B <0, zatem licznik w (*) jest ujemny a więc β 0 < 0. Dla każdego portfela bez krótkiej sprzedaży   σ A  σ P

Portfel 3 akcji, stopa zwrotu R A, R B, R C – stopy zwrotu z akcji A, B, C R P – stopa zwrotu z portfela   R P = α R A + β R B + γ R C gdzie α, β, γ – udziały akcji A, B, C w portfelu E(R A ), E(R B ), E(R C ), oczekiwane stopy zwrotu z akcji oczekiwana stopa zwrotu z portfela E(R P )   E(R P ) = α E(R A ) + β E(R B ) + γ E(R C )

Portfel 3 akcji, wariancja Var R P = α 2 Var R A +β 2 Var R B + γ 2 Var R C + +2αβ Cov(R A,R B )+ 2α γ Cov(R A,R C )+ + 2β γ Cov(R C,R B ) Var R P – wariancja portfela σ P = √ Var R P σ P - odchylenie standardowe portfela

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfeli dwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (losowa konstrukcja)

Statystyki 3 akcji Współczynniki korelacji akcjaABC A1,000,30 B 1,000,15 C0,30 0,151,00 tab. 2 akcjaABC średni zwrot16%12%15% odchyl. Std.25%22%25% wariancja0,060,050,06

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (konstrukcja losowa i udziałowa)

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

Udziały akcji nr 2 w portfelu – oś X Udziały akcji nr 3 w portfelu – oś Y Trójkąt - portfel bez krótkiej sprzedaży

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

Portfele i możliwości inwestycyjne Łamanej z lewego układu odpowiada krzywa w prawym układzie Trójkątowi odpowiada zacieniona część obszaru