Analiza numeryczna i symulacja systemów Wykład I Plan, pojęcia podstawowe, klasyfikacja Systemy ciągłe o stałych skupionych

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 2 Plan Podstawowe pojęcia Klasyfikacja modeli / symulacji Plan wykładów Systemy ciągłe o stałych skupionych - klasyfikacja problemów opisywanych równaniami różniczkowymi - opis obiektu w MATLABie i SIMULINKu, - dwa przykłady, - metody rozwiązywania równań różniczkowych w MATLABie, - koszt obliczeniowy i dokładność. Przygotowanie do ćwiczenia nr 1. - problem trzech ciał - porównanie metod pod względem dokładności i kosztu obliczeniowego, - obiekt cieplny - budowa modelu obiektu dynamicznego w SIMULINKu2

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 3 Podstawowe pojęcia: Analiza numeryczna Analiza matematyczna – XVII w. (Leibniz, Newton) – rachunek różniczkowy i całkowy – jeden z działów matematyki. Ogólnie obliczenia możemy wykonywać na liczbach lub na symbolach. Wykonując obliczenia na liczbach mamy do czynienia z obliczeniami numerycznymi. Obliczenia symboliczne – operacje matematyczne wykonywane na wyrażeniach matematycznych. Co jest lepsze? Dlaczego będziemy zajmować się dziedziną “ułomną”? Analiza numeryczna –jakie równania różniczkowe zwyczajne daje się policzyć symbolicznie? –jakie równania różniczkowe cząstkowe daje się policzyć symbolicznie? –czy w rzeczywistości istnieją zjawiska “liniowe”? Analiza numeryczna to część Metod numerycznych. Dwa przedmioty: - “Metody numeryczne” – o podstawach i teorii tych metod (raczej o ich początkach niż o współczesności). - “Analiza i symulacja” – o zastosowaniu, współczesnych metodach, narzędziach, przykładach bliżej praktyki.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 4 Podstawowe pojęcia: Proces, obiekt, model Obiekt - fragment “rzeczywistości” wyodrębniony z otoczenia. Wejście i wyjście - strumienie informacji, masy lub energii, które łączą obiekt z otoczeniem. Rozważamy proces (fizyczny, chemiczny, biologiczny, socjologiczny, termodynamiczny, ekonomiczny lub inny) – jakaś “rzeczywistość” (najczęściej) podlega zmianom w czasie. Proces / obiekt opisujemy ilościowo za pomocą zmiennych. Zależność między tymi zmiennymi, wejściem i wyjściem oraz czasem opisujemy w modelu matematycznym. Tworzenie modelu - dwa podejścia: -teoretyczne - na podstawie znajomości praw rządzących zjawiskami towarzyszącymi procesowi, -fenomenologiczne 1) - na podstawie obserwacji (pomiarów) przyczyn i skutków, _________ 1) W nastawieniu naturalnym mamy na temat świata pewne założenia, domysły, teorie, spekulacje. Fenomenologia je odrzuca - po to, by przyjrzeć się światu tak, jak się on jawi.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 5 Podstawowe pojęcia: Symulacja Symulacja procesu jest “programistyczną” reprezentacją modelu. Dokładniej: Dwa pojęcia: Symulacja i model: Model komputerowy to algorytmy i równania określające zachowania modelowanego systemu. Symulacja komputerowa to „przebieg programu”, który zawiera te algorytmy i równania. Zatem mówimy: tworzymy/budujemy/ konstruujemy model, uruchamiamy symulację.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 6 Klasyfikacja modeli Statyczne i dynamiczne Liniowe i nieliniowe Deterministyczne (w tym chaotyczne) i stochastyczne O stałych skupionych i rozłożonych Ciągłe i dyskretne (w tym DE - discrete event) Z regularną albo nieregularną siatką danych

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 7 Narzędzia Początki: Simula (Simula-67 – nazwa od roku powstania). Inne, np. na stronie: (m.in. Scilab) Mamy w laboratorium: MATLAB z toolboxami (np.: PDE) SIMULINK

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 8 Plan na semestr Ani o całej analizie numerycznej, ani o symulacji procesów dowolnego rodzaju. Skupimy się na symulacji procesów ciągłych i metodach analizy numerycznej tam potrzebnych. Dlaczego: procesy czysto dyskretne „Modelowanie i symulacja systemów”, reszta metod numerycznych „Metody numeryczne”. Dodatkowo: optymalizacja – bo nie ma w programie osobnego przedmiotu. Kolejne tematy: Modelowanie i symulacja systemów ciągłych, SIMULINK - 30h Modelowanie i symulacja systemów dyskretnych i hybrydowych, STATEFLOW – 30h, Modelowanie i symulacja systemów o stałych rozłożonych, PDE – 30h, Optymalizacja – 60h Błędy symulacji, kalibracja, weryfikacja, walidacja – 15h, Metody rozwiązywania zagadnień brzegowych – 15h, Aproksymacja – 10h

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 9 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych System opisany równaniami różniczkowymi zwyczajnymi - ODE - Ordinary Differential Equations - DAE - Differential Algebraic Equations Zagadnienie początkowe (problem Cauchy’ego) - IVP - Initial Value Problem (o zagadnieniu brzegowym - BVP - na ostatnim wykładzie) Rozwiązaniem analitycznym zagadnienia początkowego jest funkcja. Rozwiązanie numerycznym jest skończony zbiór punktów leżących „blisko” rozwiązania dokładnego. Jak numerycznie rozwiązujemy zagadnienie początkowe (w dużym uproszczeniu): - znamy rozwiązanie w punkcie początkowym (w t=0), - wyznaczamy przybliżone rozwiązanie w punkcie t=h 1, - w kolejnych punktach wyznaczamy przybliżone rozwiązanie na podstawie równania + i przybliżenia w ostatnio obliczonym punkcie (metody jednokrokowe), + i kilku ostatnio obliczonych przybliżeń (metody wielokrokowe). Krok (odstęp czasu między kolejnymi przybliżeniami) jest stały w metodach stałokrokowych, a w metodach adaptacyjnych jest dostosowywany tak, aby zachować wymagania dotyczące dopuszczalnego błędu (tolerancji). Błąd lokalny („błąd jednego kroku”) a błąd globalny („błąd po n krokach”).

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 10 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych - narzędzia Niezależnie od wyboru sposobu zapisu (w MATLABie czy SIMULINKu) -symulacja będzie przebiegać analogicznie! Postać graficzna modelu w SIMULINKu jest przetwarzana do postaci „matlabowej”. Zapis “naturalny”: Zapis w MATLABie: Zapis w SIMULINKu: global m m = 3; t_span = [0, 20]; y0 = [2; 0]; [t,y] = function dydt = rhs(t,y) dydt = [y(2); m*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; albo

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 11 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład 1. Przykład 1. Problem trzech ciał - orbity Arnstorfa Rozważamy 3 ciała o masach m 1 > m 2 ; m 3 ~ 0 (np. Ziemia, Księżyc, satelita) Założenia: - orbity są kołowe, - m 3 porusza się w płaszczyźnie obrotu Ziemi i Księżyca wokół ich środka masy - jednostka masy – m 1 + m 2, - jednostka długości – odległość między m 1, a m 2,, - jednostka czasu – okres obrotu m 1 i m 2 wokół ich środka masy. Równania:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 12 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Przykład 1: model w MATLABie

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 13 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Przykład 1: model w SIMULINKu

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 14 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Przykład 1: wynik symulacji

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 15 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Chemioterapia neuroblastomy (nowotworu wieku dziecięcego) z użyciem leku TPT (Topotecan) Schemat guza nowotworowego

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 16 % Ustawienie parametrów symulacji: czas = [0,336]; % przedział czasu [h] (2 tygodnie) P0 = 2e8; % początkowe liczby komórek P i Q Q0 = 8e8; % Symulacja: [t,S] = Q0]); % Wyprowadzenie wyników w formie graficznej: subplot(2,1,1); plot(t,S); % wykres liczebności komórek function dS_dt = rownanie_leczonego_guza(t, S), % Funkcja obliczająca prawą stroną równania różniczkowego. % Trzeci element wektora S (jeżeli istnieje) jest % wartością wejściową - stężeniem leku. % Obliczenie dozowania leku w chwili t: if length(S) == 3, x = S(3); else x = stezenie_leku(t); end % Parametry modelu: alfa = 0.02; % stała uspokajania [1/h] beta = 0.004; % stała powrotu do dzielenia [1/h] gamma = 0.01; % stała wzrostu [1/h] delta = 0.66; % współczynnik oddziaływania leku % Równanie różniczkowe: P = S(1); Q=S(2); % pobranie z wektora dP_dt = (gamma-alfa-delta*x)*P + beta*Q; dQ_dt = alfa*P - beta*Q; dS_dt = [dP_dt; dQ_dt]; % spakowanie do wektora

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 17 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Podsystem Guz nowotworowy w SIMULINKu:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 18 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Chemioterapia neuroblastomy cd. Schemat układu krwiotwórczego

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 19 czas = [0,336]; % przedział czasu [h] (2 tygodnie) % Początkowa liczebność komórek: Np0=2000; Nd10=2300; Nd20=2400; Nd30=2100; Ncirc0=1500; % Symulacja: N0 = [Np0; Nd10; Nd20; Nd30; Ncirc0]; % stan początkowy [t,N] = % Wyprowadzenie wyników w formie graficznej: subplot(2,1,1), plot(t,N(:,5)); % wykres liczebności komórek function dN_dt = rownanie_ukladu_krwiotworczego(t,N), % Funkcja obliczająca prawą stronę równ. różniczkowego % 6. element wektora N (jeżeli istnieje) jest wartością wejściową - stężeniem leku. % Obliczenie dozowania leku w chwili t: if length(N) == 6, x = N(6); else x = stezenie_leku(t); end % Parametry modelu: kin = 0.09; % tempo produkcji komórek macierzystych [1/h] Km = 3000; % parametr "połowy nasycenia" Ncirc [1/ul] IC50 = 1.5; % parametr "połowy nasycenia" TPT [ng/ul] kbp = 0.07; % tempo różnicowania [1/h] kout = 0.1; % tempo naturalnego obumierania neutrofili [1/h] % Równania różniczkowe: Np = N(1); Nd1 = N(2); Nd2=N(3); Nd3=N(4); Ncirc=N(5); %pobranie z wektora dNp_dt = (kin*Km/(Km+Ncirc)*IC50/(IC50+x))*Np - kbp*Np; dNd1_dt = kbp*(Np-Nd1); dNd2_dt = kbp*(Nd1-Nd2); dNd3_dt = kbp*(Nd2-Nd3); dNcirc_dt = kbp*Nd3 - kout*Ncirc; dN_dt = [dNp_dt; dNd1_dt; dNd2_dt; dNd3_dt; dNcirc_dt];

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 20 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Podsystem Układ krwiotwórczy w SIMULINKu:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 21 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Chemioterapia neuroblastomy cd. Schemat transferu leku kcpkcp k pc keke ycyc ypyp u(t) y c - stężenie leku w osoczu y p - stężenie leku w innych tkankach

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 22 czas = [0,336]; % przedział czasu [h] (2 tygodnie) x0=0; xp0=0; % początkowe stężenia TPT: % Symulacja: [t,X] = xp0]); % Wyprowadzenie wyników w formie graficznej: subplot(2,1,1), plot(t,X(:,1),'b',t,X(:,2),'r'); title('Symulacja transferu leku TPT'); rysuj_dozowanie(czas); % wykres przebiegu dozowania leku function dX_dt = rownanie_transferu_TPT(t,X), % Funkcja obliczająca prawą stronę równ.różniczkowego % Parametry modelu: ke = 0.8; % wsp. naturalnego zaniku TPT w osoczu [1/h] kcp = 0.26; % wsp. przenikania TPT z strefy centralnej do peryferyjnej[1/h] kpc = 0.27; % wsp. przenikania TPT z strefy peryferyjnej do centralnej[1/h] xz = dozowanie_leku(t);% wyznaczenie dozowania w chwili t x = X(1); xp = X(2); % pobranie z wektora dx_dt = -(ke+kcp)*x + kpc*xp + xz;% równania różniczkowe dxp_dt = kcp*x - kpc*xp; dX_dt = [dx_dt;dxp_dt]; % spakowanie do wektora function xz = dozowanie_leku(t), % Funkcja wyznaczająca wielkość podawanej dawki leku w chwili t % 3 cykle po: (5 dni TPT, 2 dni odpoczynku, 5 dni TPT, 10 dni odpoczynku) xz_max = 0.12; % Czasy przełączeń dawkowania ti=24*[5, 7, 12, 22, 27, 29, 34, 44, 49, 51, 56, 100]; ind=find(ti<t,1,'last'); if ind/2-floor(ind/2) > 0, xz = 0; else xz = xz_max; end

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 23 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Podsystem Transfer leku w SIMULINKu:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 24 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Chemioterapia neuroblastomy (nowotworu wieku dziecięcego) z użyciem leku TPT (Topotecan) W SIMULINKu:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 25 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2. Przykład 2. Przykładowy wynik symulacji

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 26 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania ODE Jak numerycznie rozwiązujemy zagadnienie początkowe - dokładniej Grupy metod - jednokrokowe, jednoetapowe - Euler - wielokrokowe, jednoetapowe - Gear, Adams-Bashforth - jednokrokowe, dwuetapowe - Heun (PECE), m. trapezowa - wielokrokowe, dwuetapowe (PECE) - Adams-Bashforth-Moulton - jednokrokowe, wieloetapowe - Runge-Kutta Algorytmy - stałokrokowe - adaptacyjne

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 27 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania 1. Metoda Eulera - rzędu 1. - tylko liniowe rozwiązanie jest znajdowane dokładnie - jednokrokowa, jednoetapowa - nazwa w w SIMULINKU: Euler Błąd lokalny a błąd globalny TolRel a TolAbs

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 28 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania 2. Metoda Gear’a - wstecznego różniczkowania - BDF (Backward Differentiation Formula) - rzędu r - wielokrokowa, jednoetapowa - funkcja w MATLABie i SIMULINKU: ode15s bda 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 29 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania Metoda trapezowa - rzędu 2 - jednokrokowa - funkcja w MATLABie: ode23t Metoda Heuna - rzędu 2 - jednokrokowa, dwuetapowa - nazwa w SIMULINKu: Heun

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 30 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania 4. Metody Adamsa-Bashfortha-Moultona, np.: - rzędu 4 - wielokrokowa, dwuetapowa - problem gdy zmienia się krok h - funkcja w MATLABie i SIMULINKu: ode113 itd. W metodzie Gear’a jest suma y n, a w ABM - suma f n.. Ta róznica nie ma wpływu na koszt obliczeniowy.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 31 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania 4. Jawne metody Rungego-Kutty - rzędu s lub mniejszego - jednokrokowe, wieloetapowe (s - etapowe) - samostartujące, „elastyczny” krok Tablica Butchera:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 32 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania Przykłady jawnych metod Rungego-Kutty - RK4 - ode23 Bogacki-Shampine (1989) 4. rzędu, koszt=4, 3. rzędu, koszt=3 (FSAL—first same as last) dla algorytmu adaptacyjnego - z n+1 obliczane dla. oceny błędu y n+1

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 33 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania Przykłady jawnych metod Rungego-Kutty cd. - ode45 (DOPRI45) Dormand-Prince (1980) 5. rzędu, koszt=6, przybliżenie 5. rzędu przybliżenie 4. rzędu

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 34 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania Niejawne (implicit) i półjawne (semi-explicite) metody Rungego-Kutty Przykłady niejawnych: - ode23s – Rosenbrock, 2. rzędu, - ode23tb – 2 etapowa: trapezowa + wstecznego różniczkowania rzędu 2, - ode15i - „w pełni” niejawna metoda, możliwość zadania rzędu. - Lobatto IIIA, Radau IIA, Gauss - wrócimy do nich przy okazji BVP. _____________________________________ ode14x – stałokorokowa, z ekstrapolacją Richardsona ( zmniejszanie błędu przez porównywanie wyników otrzymywanych po połowieniu kroku - analogicznie jak metoda Romberga całkowania funkcji )

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 35 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania 5. Stiff systems - zróżnicowane stałe czasowe, - wartości własne macierzy zlinearyzowanego równania prawej strony równania różniczkowego (funkcji f) mają wartości różniące się o kilka rzędów - przykład 6. Koszt obliczeniowy Mierzony liczbą obliczeń funkcji prawej strony równania różniczkowego - w jednym kroku. Warto zauważyć: - wzrostowi rzędu towarzyszy wzrost kosztu, - metody wielokrokowe są mniej kosztowne od jednokrokowych, - metody niejawne są bardziej kosztowne od niejawnych (dlaczego?). 7. Pomijamy tu inne ważne „wskaźniki jakości” metod, przede wszystkim stabilność

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 36 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 37 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania 8. Podsumowanie metod ode45 - dobra w większości przypadków, ode23 - dobra gdy chcemy szybko otrzymać mało dokładny wynik, ode113 - polecana gdy obliczanie wartości funkcji f wymaga długiego czasu, ode 15s, ode23s, ode23tb - dla równań „stiff”, ode15s i ode113 – nie są dobre przy niegładkiej funkcji f, ode15s – ma możliwość wyboru rzędu, ode15s, ode23t – obejmuje DAE. Dokładniejsze informacje na ogólnodostępnych stronach, np.:

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 38 Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania O czym nie wolno zapomnieć: Każda symulacja numeryczna jest obarczona błędem. Symulacja bez „oszacowania błędu” jest bezwartościowa. Jak w prosty (choć zawodny) sposób ocenić błąd? Powtórzyć symulację używając innej metody lub chociażby innego kroku. Stosując algorytmy stałokrokowe jesteśmy sami odpowiedzialni za wielkość błędu. Stosując algorytmy adaptacyjne trzeba pamiętać, że: a. zadana tolerancja błędu nie jest gwarantowana, b. zadajemy wielkość błędu lokalnego, a nie globalnego (globalny zazwyczaj jest wielokrotnie większy niż lokalny). O zaletach przeskalowania wielkości zmiennych do zakresu [-1 1]. Dobra literatura: E.Hairer, S.P.Norsett, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations Springer 2008

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 39 Ćwiczenia w laboratorium 1. Symulacja ogrzewania / chłodzenia zamkniętego pokoju (SIMULINK) Założenia podstawowe: - W zamkniętym pokoju (laboratorium 315 w C2) jest grzejnik elektryczny (bez pojemności cieplnej - np. dmuchawa), który ogrzewa powietrze - pomijamy zmiany temperatury ścian, mebli itp. - Ciepło jest „tracone” przez przewodzenie przez okna i ścianę szczytową - zakładamy idealną izolacyjność innych ścian, brak wentylacji itp. - W całym pomieszczeniu jest taka sama temperatura - zakładamy natychmiastowe mieszanie się powietrza w pokoju, pomijamy zjawiska konwekcji i promieniowania. Wersje rozszerzone: - Grzejnik ma niezerową pojemność cieplną. - Okno może być zamknięte (przewodzi ciepło) albo otwarte (następuje wymiana powietrza z prędkością proporcjonalną do różnicy temperatury w pokoju i na zewnątrz). Należy - utworzyć diagram - model pokoju - dla symulacji zmian temperatury. Wartości parametrów: rozmiary pokoju np.: 8 m x 8 m x3 m, gęstość powietrza kg/m 3 (zakładamy, że nie zależy od temperatury), ciepło właściwe powietrza 720 J/kg współczynnik przewodzenia ciepła dla okna 1.1 W/(K m 2 ) powierzchnia okien 8 m 2 współczynnik przewodzenia ciepła dla izolacji ściany 0.04 W/(K m) grubość izolacji ściany 10 cm

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 40 Ćwiczenia w laboratorium 2. Porównanie błędu i kosztu obliczeniowego kilku metod rozwiązywania IVP (MATLAB). - Wyznaczenie wybranej orbity cyklicznej w układzie Ziemia - Księżyc. - Dla 3 różnych metod: + wyznaczanie trajektorii (orbity) przy różnych zadanych tolerancjach błędu, + obliczenie kosztu obliczeniowego, + obliczenie błędu „niedomknięcia” orbity, - Zestawienie (dla zbadanych metod) zależności między błędem a kosztem obliczeniowym (w formie wykresu) - Obserwacje / wnioski

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I 41 Dziękuję za cierpliwość. Czy są pytania?