Zbiory fraktalne I Ruchy browna.

Prezentacja na temat: "Zbiory fraktalne I Ruchy browna."— Zapis prezentacji:

1 Zbiory fraktalne I Ruchy browna

2 Robert brown Był botanikiem.
Obserwował pyłek kwiatowy rozproszony w wodzie w postaci zawiesiny. Stwierdził, że wykazuje on nieustanny ruch chaotyczny. Działo się to w 1827 roku. Późniejsze badania wykazały, że takie zachowanie prezentują małe cząsteczki nieorganiczne. Zdjęcie, źródło: wikipedia,

3 Ruchy browna Albert Einstein w 1905 roku a Adrian Smoluchowski w 1906 r. sformułowali, niezależnie od siebie, teorię wyjaśniającą ruchy Browna. Obaj zauważyli, że przypadkowy ruch pyłków jest wywołany przez bombardowanie cząsteczkami wody, które są mniejsze, jest ich wiele i poruszają się szybciej. Zatem ruchy Browna to chaotyczne ruchy cząsteczek gazu lub wody, które są wywoływane przez bombardowanie innymi cząsteczkami, z tym, że liczba i kierunki zderzeń są przypadkowe

4 Ruchy Browna w przestrzeni jednowymiarowej
Cząsteczki poruszają się po prostej, tylko w dwóch kierunkach. Kolejne zderzenia powodują skokowe przemieszczenia cząsteczki, gdzie długość pojedynczego skoku wynosi l. Zatem cząsteczka po każdy zderzeniu przebywa drogę o długości –l lub +l. Niech X oznacza wartość całkowitego przemieszczenia cząstki po n skokach. X przyjmuje więcej wartości im większe jest n. Stąd całkowite przemieszczenie X będzie pewną zmienną losową.

5 Wartość oczekiwana

6 Wariancja i średnie przemieszczenie kwadratowe

7 Dowód twierdzenia

8 Ruch a prędkość Cząsteczka w czasie t przemierza drogę o długości nl a v niech oznacza średnią prędkość cząsteczki. Wówczas: vt=nl. Jeśli pomnożymy obie strony równania przez l otrzymujemy nowy wzór: 2=vlt Tw Jeana Perrina. „Średnie przemieszczenie kwadratowe jest proporcjonalne do rozpatrywanego przedziału czasu t, a współczynnik proporcjonalności określony jest przez średnią prędkość cząsteczki v oraz długość pojedynczego skoku l (Martyn 1996, s.137).” Twierdzenie jest prawdziwe również dla ruchów Browna w przestrzeniach wielowymiarowych

9 Metody symulacji Ruchy Browna w rzeczywistości są ruchami ciągłymi, a ich dyskretny model tworzy się w oparciu o pomiary położenia cząstki w równych odstępach czasu. Zwiększanie częstotliwości pomiaru wykaże, że to co byłą wcześniej linią prostą na wykresie ruchów Browna ma obecnie bardziej skomplikowany kształt.

10 Generowanie liczb losowych o rozkładzie Gaussa

11 Metoda sumowania liczb losowych
Oznaczmy przedział czasu symulacji ruchów Browna jako [0,t). Dzielimy ten przedział na dwie równe części o długości t każda. Sumujemy zderzenia rozpatrywanej cząstki w każdej części, które powodują jej przemieszczenie o długości G. Niech X(k t) oznacza funkcję określającą waratość odbytej przez cząstkę drogi w przedziale czasu [0, k t) dla k=0,1,…. Załóżmy, że przemieszczenie cząsteczki dla k=0 wynosi 0. Wartość pierwszego przemieszczenia G1 cząsteczki, a zarazem wartość całkowitego przemieszczenia X(t) w przedziale czasu [0, t) określamy losowo zgodnie z rozkładem Gaussa. Następne przemieszczenie G2, związane z kolizją cząsteczek w przedziale czasowym [t, 2 t) wyliczamy podobnie. Wówczas wartość przemieszczenia całkowitego X(2 t) w przedziale [0,2 t) jest równa sumie wszystkich przemieszczeń w tym przedziale, czyli X(2 t)=X(t)+G2=G1+G2 Stąd funkcja przemieszczenia całkowitego może być definiowana jako: X(0)=0, X(kt)=G1+G2+…+Gk, k=1,2,3,…, Gdzie wartości Gk oznaczają liczbo losowe Gaussa

12 Metoda losowego przemieszczania odcinka

13 Wykorzystanie symulacji ruchów Browna
Symulacja ruchu cząstek Wizualizacja nierówności tektonicznych Wizualizacja modeli chmur

14 Bibliografia J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996; B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry Of Nature, W. H. Freeman and Company, New York 2000; T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Nakom Poznan 1996; T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, wyd. ósme, Oficyna wydawnicza GIS, Wrocław 2001. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996; Polska wikipedia Dostęp Angielska wikipedia

15 KOniec Dziękuję za uwagę