Wykład: Podstawy Teorii Sygnałów 2015/2016

Prezentacja na temat: "Wykład: Podstawy Teorii Sygnałów 2015/2016"— Zapis prezentacji:

1 Wykład: Podstawy Teorii Sygnałów 2015/2016
Wykładowca: dr inż. Marek Ossowski Godziny konsultacji: czwartek 10:00-12:00 Tel (praca) !!!! Tylko w razie super pilnych spraw! PTS 2015/16 PŁ

2 Program Wykładów Podstawowe pojęcia i definicje dotyczące sygnałów. Klasyfikacja systemów i sygnałów. Splot analogowy i dyskretny. Odpowiedź systemów LTI. Szereg Fouriera. Dyskretny szereg Fouriera. Dyskretna Transformata Fouriera. Algorytm FFT. Transformata DTFT. Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. Próbkowanie sygnałów Modulacja Energia sygnału i moc. Transformata Z PTS 2015/16 PŁ

3 Literatura ·[1] Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Richard G. Lyons, WKŁ, W-wa. ·[2] Telekomunikacja, Richard Read WKŁ, W-wa, 2000. ·[3] Podstawy telekomunikacji, Jajszczyk, WPP, Poznań, 1984. ·[4] Podstawy telekomunikacji analogowej i cyfrowej, David Gregg, 1983. ·[5] Signals and systems, Michał Tadeusiewicz,WPŁ, Łódź, 2001. [6] Sygnały i systemy. Zadania, Michał Tadeusiewicz, Marek Ossowski, WPŁ, Łódź, 2001. [7] Haykin S. Systemy telekomunikacyjne, WKŁ, Warszawa 1998, [8] Frenzel L.E., Communication Electronics, Mc Graw Hill Book Co, New York 1994 PTS 2015/16 PŁ

4 Wykład pierwszy Podstawowe pojęcia i definicje dotyczące sygnałów.
Klasyfikacja sygnałów Dyskretyzacja i kwantyzacja Klasyfikacja systemów Splot analogowy i dyskretny. PTS 2015/16 PŁ

5 POJĘCIE SYGNAŁU W języku technicznym słowo „sygnał” oznacza to samo co w języku potocznym – sygnały są nadawane i odbierane, służą do komunikowania się. Sygnałem nazywamy wielkość fizyczną zmieniającą się w takt treści wiadomości i niosącą energię w postaci przydatnej do przesyłania na odleglość, przetwarzania, zapisu i przechowywania Ponieważ sygnał „niesie” zazwyczaj pewną informację o naturze badanych systemów lub zjawisk bywa nazywany „nośnikiem informacji”. PTS 2015/16 PŁ

6 Z matematycznego punktu widzenia
Abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości fizycznej zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska lub systemy fizyczne. Najczęściej opisywane przez podanie pewnych funkcji matematycznych zależnych od czasu. PTS 2015/16 PŁ

7 Klasyfikacja sygnałów (1)
Sygnały powstają na styku bodziec-czujnik i w zależności od wielkości fizycznej i rodzaju energii można przykładowo wyróżnić sygnały Mechaniczne z energią sił, naprężeń i drgań Chemiczne z energią reakcji Dźwiękowe z energią drgań akustycznych Optyczne z energią fal świetlnych Elektryczne z energią elektro-magnetyczną PTS 2015/16 PŁ

8 Rzeczywiste – opisane funkcjami przyjmującymi wartości rzeczywiste
Inne klasyfikacje sygnałów (cd) Ze względu na rodzaj modelu matematycznego sygnały mogą być Rzeczywiste – opisane funkcjami przyjmującymi wartości rzeczywiste Zespolone Dystrybucyjne – opisane wielkościami niefunkcyjnymi =dystrybucjami PTS 2015/16 PŁ

9 Inne klasyfikacje sygnałów:
Ze względu na determinizm Determinstyczne – jeśli w każdej chwili potrafimy przewidzieć wartość sygnału i opisać go w sposób jednoznaczny (formułą, wykresem, tablicą wartości) Niedeterministyczne (losowe, stochastyczne) Czas trwania: Skończone Nieskończone Okresowe i nieokresowe Ze względu na moc i energię PTS 2015/16 PŁ

10 Sygnał ciągły z czasem ciągłym
Sygnał analogowy Sygnał ciągły z czasem ciągłym PTS 2015/16 PŁ

11 Sygnał o wartościach dyskretnych z czasem ciągłym (po kwantyzacji)
Sygnał analogowy Sygnał o wartościach dyskretnych z czasem ciągłym (po kwantyzacji) PTS 2015/16 PŁ

12 Przykłady sygnałów cd Sygnał o wartościach ciągłych (ciągły) z czasem dyskretnym (po dyskretyzacji) PTS 2015/16 PŁ

13 Przykłady sygnałów cd Sygnał o wartościach dyskretnych) z czasem dyskretnym (po kwantyzacji i dyskretyzacji) => cyfrowy PTS 2015/16 PŁ

14 Dyskretyzacja sygnału
Polega na pobraniu z sygnału ciągłego x(t) jego „próbek” w wybranych, najczęściej równoodległych, chwilach (próbkowanie) PTS 2015/16 PŁ

15 Kwantyzacja sygnału Sprowadza zbiór wartości sygnału x(t) [najczęściej nieskończony zbiór liczb rzeczywistych] do jego skończonego podzbioru. Wynika z konieczności stosowania przetwornika A/C przed komputerem oraz z ograniczonej liczby bitów do przechowywania liczb. PTS 2015/16 PŁ

16 Charakterystyki przykładowych kwantyzatorów sygnału analogowego
Idealny Nieidealny (nieliniowość i histereza) PTS 2015/16 PŁ

17 „Cyfryzacja” sygnału Sprowadza zbiór wartości sygnału x(t) [najczęściej nieskończony zbiór liczb rzeczywistych] do jego skończonego podzbioru, ale jedynie w wybranych chwilach. Sygnał cyfrowy = sygnał dyskretny w czasie i skwantowany „w wartości” PTS 2015/16 PŁ

18 Przetworniki analogowo-cyfrowe
Zmieniają wejściowe napięcie analogowe na odpowiadającą mu liczbę całkowitą ze znakiem, zapisaną na określonej liczbie bitów w wybranym formacie (najczęściej w kodzie uzupełnieniowym do dwóch). Liczba ta to inaczej numer przedziału kwantowania, do którego należy aktualna wartość napięcia wejściowego . PTS 2015/16 PŁ

19 sygnału przyjmuje dla czasu –t wartości
Odbicie zwierciadlane sygnału Sygnał odbity , otrzymany jako odbicie zwierciadlane sygnału przyjmuje dla czasu –t wartości sygnału oryginalnego w chwilach t. Sygnał x(t) oraz jego odbicie x(-t) PTS 2015/16 PŁ

20 Odbicie zwierciadlane sygnału dyskretnego
Sygnał dyskretny i jego odbicie PTS 2015/16 PŁ

21 Przesunięcie sygnału sygnał x(t) oraz sygnał przesunięty x(t-to)
PTS 2015/16 PŁ

22 Okresowość sygnałów Sygnał ciągły x(t) nazywany jest sygnałem okresowym jeżeli istnieje taki przedział czasu T, że: dla każdego t Sygnał dyskretny x(n) nazywany jest sygnałem okresowym jeżeli istnieje taka liczba N, że: PTS 2015/16 PŁ

23 · A - amplituda , -pulsacja, częstotliwość kątowa
Sygnał sinusoidalny · A - amplituda , -pulsacja, częstotliwość kątowa ·       T – okres związany z kątem Postać ogólna sygnału sinusoidalnego: PTS 2015/16 PŁ  nosi nazwę fazy.

24 Dyskretny sygnał sinusoidalny:
uzyskany poprzez próbkowanie sygnału ciągłego: z przedziałem próbkowania TS. PTS 2015/16 PŁ

25 Dyskretny sygnał sinusoidalny (cd)
gdzie fS jest częstotliwością próbkowania, k jest liczbą całkowitą PTS 2015/16 PŁ

26 Efekt ALIASINGU (niejednoznaczności)
Efekt aliasingu dla k=1 PTS 2015/16 PŁ

27 Skok jednostkowy PTS 2015/16 PŁ

28 Skok jednostkowy function y=unit(x) % przykladowa implementacja
Implementacja w MATLABIE Funkcja wbudowana function y=unit(x) % przykladowa implementacja y=((x==0)*0.5)+(x>0) return heaviside Step function=skok jednostkowy HEAVISIDE(X) i 0 dlar X < 0, 1 oraz X > 0, and .5 for X == 0. PTS 2015/16 PŁ

29 Skok jednostkowy – wykres w MATLABIE
Definicja przedziału czasu i rozdzielczość Definicja u(t) Własna wbudowana Drukuj wykres Uściślij osie t=-5:0.1:10; u=unit(t); u=heaviside(t); plot(t,u); ylim([ ]) PTS 2015/16 PŁ

30 PTS 2015/16 PŁ

31 Impuls Diraca dla dowolnego rzeczywistego a>0 2017-04-24
PTS 2015/16 PŁ

32 Impuls Diraca w MATLABIE
Tekst z linii poleceń >> dirac=unit(t+0.1)-unit(t-0.1); >> plot(t,dirac);ylim([ ]);grid on PTS 2015/16 PŁ

33 Impuls prostokątny o polu:
PTS 2015/16 PŁ

34 Dla 0, impuls prostokątny dąży impulsu Diraca:
Związek między skokiem jednostkowym a impulsem Dirca: PTS 2015/16 PŁ

35 Dyskretny skok jednostkowy:
PTS 2015/16 PŁ

36 Próbka jednostkowa, impuls jednostkowy, delta Kroneckera
PTS 2015/16 PŁ

37 Związki między podstawowymi sygnałami dyskretnymi:
PTS 2015/16 PŁ

38 Opis sygnału ciągłego Aproksymacja w przedziale: funkcją schodkową składającą się z prostokątów o wysokościach x(tk) i szerokości : PTS 2015/16 PŁ

39 k-ty prostokąt opisany jest zależnością:
Rysunek przesuniętego prostokąta PTS 2015/16 PŁ

40 Aproksymacja: Dla aproksymacja schodkowa dąży do oryginalnej funkcji ciągłej a suma staje się całką: PTS 2015/16 PŁ

41 Dla A dla t>0 Uwzględniając, że dla PTS 2015/16 PŁ

42 Opis sygnałów dyskretnych
PTS 2015/16 PŁ

43 Uogólnienie . PTS 2015/16 PŁ

44 Klasyfikacja systemów
System jest matematycznym odwzorowaniem przekształcającym sygnał wejściowy w wyjściowy. Fizycznie: zbiór połączonych wzajemnie elementów realizujących transformację sygnału wejściowego w wyjściowy. SYSTEM ANALOGOWY f(*) SYSTEM DYSKRETNY f(*) PTS 2015/16 PŁ

45 DEFINICJA LINIOWOŚCI ADDYTYWNOŚĆ system jest addytywny, jeśli odpowiedź na sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie odpowiedzi na każdy z sygnałów wejściowych działających osobno. DLA SYSTEMÓW CIĄGŁYCH: DLA SYSTEMÓW DYSKRETNYCH: PTS 2015/16 PŁ

46 JEDNORODNOŚĆ jeżeli pomnożenie sygnału wejściowego przez stałą dowolną implikuje pomnożenie sygnału wyjściowego przez tę samą stałą. System addytywny i jednorodny (homogeniczny) jest liniowy. PTS 2015/16 PŁ

47 Liniowość (w wersji praktycznej):
system jest liniowy, jeśli odpowiedź na kombinację liniową sygnałów wejściowych równa jest kombinacji liniowej odpowiedzi na każdy z sygnałów wejściowych działających osobno. DLA SYSTEMÓW CIĄGŁYCH: DLA SYSTEMÓW DYSKRETNYCH: PTS 2015/16 PŁ

48 DEFINICJA STACJONARNOŚCI
system jest STACJONARNY (niezmienny w czasie), jeśli sygnał wejściowy przesunięty w czasie powoduje powstanie przesuniętego w czasie sygnału dla każdej chwili t i dowolnej wartości d Inaczej: w systemach niezmiennych w czasie przesunięcie w czasie sygnału wejściowego powoduje analogiczne przesunięcie w czasie odpowiedzi systemu. PTS 2015/16 PŁ

49 Inercyjność (bezinercyjność) systemów:
Uwaga1: System liniowy i stacjonarny jest systemem LTI (lub inaczej LSI) Uwaga2: Analogicznie jak dla systemów ciągłych definiuje się stacjonarność systemów dyskretnych Inercyjność (bezinercyjność) systemów: Ciągły w czasie system nazywamy bezinercyjnym (nieinercyjnym) jeśli sygnał wyjściowy w dowolnej chwili t zależy od wartości sygnału wejściowego w tej samej chwili t. W przeciwnym wypadku (jeśli sygnał wyjściowy w dowolnej chwili t zależy od wartości sygnału wejściowego w innych niż t chwilach), system jest INERCYJNY. Analogicznie definiuje się inercyjność systemów dyskretnych, wprowadzając zamiast chwili t próbkę n PTS 2015/16 PŁ

50 Przyczynowość systemów:
Ciągły w czasie system nazywamy przyczynowym, jeżeli odpowiedź w danej chwili to zależy jedynie od wartości sygnału wejściowego w chwilach t<=to. System dyskretny nazywamy przyczynowym, jeżeli odpowiedź w danej próbce czasowej no zależy jedynie od wartości sygnału wejściowego w próbkach n<=no. PTS 2015/16 PŁ

51 Przykład 1: Dany jest system ciągły (analogowy) opisany zależnością:
dokonać klasyfikacji systemu (liniowość, stacjonarność, inercyjność, przyczynowość) Rozwiązanie: Oznaczmy: PTS 2015/16 PŁ

52 czyli: Wyznaczmy odpowiedź systemu na kombinację liniową sygnałów
x1 oraz x2: i porównajmy z kombinacją liniową odpowiedzi: Łatwo wykazać, że System nieliniowy!!!! PTS 2015/16 PŁ

53 Oznaczmy odpowiedź układu na przesunięty o d sygnał :
‘Przesunięta’ odpowiedź układu jest natomiast postaci: WNIOSEK System nie jest stacjonarny. Jest natomiast przyczynowy (to wynika z opisu), oraz bezinercyjny bowiem wartość y(t) zależy jedynie od wartości x(t) w bieżącej chwili. PTS 2015/16 PŁ

54 Przykłady systemów: Ciągły, liniowy, stacjonarny, inercyjny, przyczynowy: Dyskretny liniowy, stacjonarny ale nie będący przyczynowym: PTS 2015/16 PŁ

55 Stabilność Cel: określenie jaki system generuje skończoną odpowiedź na dowolny ograniczony sygnał wejściowy. Rozpatrujemy system analogowy o sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t). System jest stabilny, jeżeli dla dowolnego ograniczonego sygnału wejściowego x(t) takiego że: PTS 2015/16 PŁ

56 generowany jest ograniczony sygnał wyjściowy y(t) taki, że:
BIBO Stabilność generowany jest ograniczony sygnał wyjściowy y(t) taki, że: gdzie Kx i Ky są dowolnymi stałymi dodatnimi. BIBO stabilność: stabilność ograniczonego wejścia-wyjścia PTS 2015/16 PŁ

57 BIBO Stabilność - Przykład
Równanie systemu: Sygnał wejściowy ograniczony: Wniosek: system BIBO niestabilny PTS 2015/16 PŁ

58 Splot ciągły (analogowy)
Jest to matematyczna operacja, która przeprowadzona na dwóch funkcjach generuje trzecią: PTS 2015/16 PŁ

59 Splot dyskretny Zastosowanie: W układach LTI splot pozwala wyznaczyć odpowiedź układu y(t) na dowolne wymuszenie x(t) jeśli znana jest odpowiedź h(t) tegoż układu na wymuszenie sygnałem impulsowym Wówczas: PTS 2015/16 PŁ

60 Zastosowanie plotu W układach LTI splot pozwala wyznaczyć odpowiedź
układu y(t) na dowolne wymuszenie x(t) jeśli znana jest odpowiedź h(t) tegoż układu na wymuszenie sygnałem impulsowym Wówczas: PTS 2015/16 PŁ

61 Graficzna interpretacja splotu
ETAPY KONSTRUKCJI: Odbijanie zwierciadlane Przesuwanie Mnożenie Sumowanie (całkowanie) Przykład : Dane są funkcje: Zakładając, że Wyznaczmy splot: PTS 2015/16 PŁ

62 0.5 0.5 PTS 2015/16 PŁ

63 Funkcja odbita względem osi PTS 2015/16 PŁ

64 Utworzenie funkcji dla ustalonej wartości t=3 1 0.5 2017-04-24
PTS 2015/16 PŁ

65 mnożenie funkcji dla ustalonej wartości t=3 Obliczanie pola 1 0.5
PTS 2015/16 PŁ

66 Jeśli powtórzymy tę operację dla dostatecznie dużej liczby punktów
osi czasu to wykreślimy krzywą przybliżoną f(t): 1 0.5 1 1 0.5 0.5 PTS 2015/16 PŁ

67 1 1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 PTS 2015/16 PŁ

68 1 1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 PTS 2015/16 PŁ

69 Wykres funkcji splotowej t 1 2 3 4 5 f(t) 0.5 1.375 1.5
1 2 3 4 5 f(t) 0.5 1.375 1.5 2 1 1 2 3 4 5 t PTS 2015/16 PŁ

70 Obliczenia przybliżone
Tablica wyników to=1 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tk 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f1(tk) f2(to-tk) f1(tk)f2(to-tk) Sumując ostatni wiersz pomnożony przez otrzymujemy  jeśli przyjmiemy PTS 2015/16 PŁ

71 Analitycznie: PTS 2015/16 PŁ

72 1 0.5 PTS 2015/16 PŁ

73 Przykład splotu dyskretnego:
PTS 2015/16 PŁ

74 Odbicie: Przesunięcie o pewną ustaloną wartość n, np.:. 2017-04-24
PTS 2015/16 PŁ

75 Mnożenie dla n=1: PTS 2015/16 PŁ

76 Wykres funkcji splotowej n 1 2 3 4 5 f(n) 6
Sumowanie dla n=1: Wykres funkcji splotowej n 1 2 3 4 5 f(n) 6 PTS 2015/16 PŁ

77 %oblicz minimalna dlugosc wektora czasu dyskretnego
x1=[ ]; x2=[1 1 1 ]; %oblicz minimalna dlugosc wektora czasu dyskretnego len=length(x1)+length(x2); %wektor dlugosci sygna?ów ograniczonych minlen=len-1; dt=0:minlen-1; % skala dyskretnego czasu % aby ?atwiej rysowa? i liczy? dope?nij wektory zerami x11=zeros(1,minlen-length(x1)); x1=[x1 x11]; x22=zeros(1,minlen-length(x2)); x2=[x2 x22]; y=zeros(1,minlen); for n=1:minlen %petla zewnetrzna for k=1:n % pętla wewn?trzna y(n)=y(n)+x1(k)*x2(n-k+1); end %stem(dt,y) subplot(4,1,1); stem(dt,x1) title('Sygna? pierwszy') subplot(4,1,2); stem(dt,x2) title('Sygna? drugi') subplot(4,1,3:4); stem(dt,y); grid on title('Splot sygna?ów') PTS 2015/16 PŁ

78 Efekt działania procedury
PTS 2015/16 PŁ

79 Przykład operacji na sygnale
Wykorzystując sygnał x(t) z Rys.1 naszkicuj następujące sygnały: a) -x(t-3), b)2x(1-t). Rys.1 PTS 2015/16 PŁ

80 Rozwiązanie a) Fig.1.3 PTS 2015/16 PŁ

81 Rozwiązanie b) PTS 2015/16 PŁ

82 PTS 2015/16 PŁ