III. Proste zagadnienia kwantowe

Prezentacja na temat: "III. Proste zagadnienia kwantowe"— Zapis prezentacji:

1 III. Proste zagadnienia kwantowe
Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 9 Oscylator harmoniczny

2 Plan wykładu hamiltonian oscylatora harmonicznego,
rozwiązanie przy pomocy wielomianów Hermite’a, rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji, hamiltonian w bazie energii.

3 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Rozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.

4 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Hamiltonian dla oscylatora ma postać: gdzie . Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:

5 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Dokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe) otrzymamy ostatecznie: Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.

6 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Zachowanie asymptotyczne ( ): Rozwiązanie ścisłe: gdzie funkcja f spełnia równanie:

7 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Wielomiany Hermite’a spełniają równanie: Podstawowe własności:

8 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Tak więc funkcje falowe i energie mają postać: gdzie:

9 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Przykładowe gęstości prawdopodobieństwa

10 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Można wykazać, że:

11 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji

12 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Podstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:

13 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Operatory położenia i pędu mają postać:

14 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Hamiltonian przyjmie postać: Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów: gdzie stan próżni obliczamy z warunku: otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).

15 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Elementy macierzowe:

16 Hamiltonian w bazie energii
Elementy macierzowe operatorów w bazie energii:

17 Hamiltonian w bazie energii

18 Hamiltonian w bazie energii