Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Prezentacja na temat: "Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012"— Zapis prezentacji:

1 Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012
Analiza matematyczna V. Szeregi WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

2 Plan wykładu definicja szeregu liczbowego,
kryteria zbieżności szeregów, zbieżność bezwzględna szeregów.

3 Definicja szeregu liczbowego
Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie: Szereg taki oznaczamy Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem ciągu, a liczbę Sn n-tą sumą częściową tego szeregu.

4 Definicja szeregu liczbowego
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

5 Definicja szeregu liczbowego
Mówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu (Sn). Jeżeli to mówimy, że szereg jest zbieżny odpowiednio do - albo do . W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny.

6 Definicja szeregu liczbowego
Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

7 Definicja szeregu liczbowego
Jeżeli szeregi są zbieżne i c jest liczbą rzeczywistą, to: - szereg jest zbieżny, oraz: - szereg jest zbieżny, oraz:

8 Definicja szeregu liczbowego
Szereg geometryczny jest zbieżny w.t.w., gdy Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy: Przyjmujemy, że

9 Definicja szeregu liczbowego
Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeżeli szereg jest zbieżny, to UWAGA Szereg jest rozbieżny!

10 Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium całkowe Niech funkcja będzie nierosnąca. Wówczas: jest zbieżny jest zbieżna. Reszta szeregu spełnia oszacowanie

11 Kryteria zbieżności szeregów
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

12 Kryteria zbieżności szeregów
Szereg: zbieżny dla p>1, rozbieżny dla p1.

13 Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium porównawcze Jeżeli: - - szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) to: szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) Prawdziwe są analogiczne twierdzenia dla szeregów o wyrazach niedodatnich.

14 Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium ilorazowe Niech an, bn > 0 dla każdego nn0 oraz niech: wtedy: jest zbieżny jest zbieżny. Twierdzenie jest też prawdziwe dla szeregów o wyrazach ujemnych.

15 Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium d’Alemberta - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.

16 Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Cauchy’ego - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.

17 Zbieżność bezwzględna szeregów
Twierdzenie Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego Jeżeli: - ciąg (bn) jest nierosnący od numeru - to szereg naprzemienny jest zbieżny.

18 Zbieżność bezwzględna szeregów
Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

19 Zbieżność bezwzględna szeregów
Szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg jest zbieżny. Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zapewniające zbieżność szeregu gwarantują jednocześnie jego zbieżność bezwzględną.

20 Zbieżność bezwzględna szeregów
Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

21 Sumy ważniejszych szeregów
Szeregi liczbowe Sumy ważniejszych szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.