I. Informacje podstawowe

Prezentacja na temat: "I. Informacje podstawowe"— Zapis prezentacji:

1 I. Informacje podstawowe
Analiza matematyczna I. Informacje podstawowe WYKŁAD 1 Wartości logiczne i rachunek zbiorów Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

2 Plan wykładu oznaczenia i wartości logiczne, zbiory, rachunek zbiorów.

3 Oznaczenia i wartości logiczne
Oznaczenia logiczne Niech litery p i q oznaczają dwa zdania orzekające. Korzystając z funktorów możemy utworzyć wyrażenia rachunku zdań: Suma logiczna (alternatywa): (p lub q) Iloczyn logiczny (koniunkcja): (p i q) Implikacja (z p wynika q): (jeśli p, to q) Równoważność ( i ): (p w.t.w. gdy q) Negacja (nieprawda, że p): (nie p)

4 Oznaczenia i wartości logiczne
Tabela wartości logicznych zdań złożonych p q p pq pq pq pq 1

5 Oznaczenia i wartości logiczne
Prawa rachunku zdań (tautologie) Prawa de Morgana: prawo zaprzeczenia koniunkcji: prawo zaprzeczenia alternatywy: Prawo kontrapozycji:

6 Oznaczenia i wartości logiczne
Kwantyfikatory Mówimy, że przedmiot a spełnia funkcję zdaniową F(x), gdy zdanie powstające z F(x) przez zastąpienie argumentu x (argumentu logicznego) nazwą przedmiotu a, tzn. F(a), jest zdaniem prawdziwym.

7 Oznaczenia i wartości logiczne
Kwantyfikatory Kwantyfikator ogólny: Jeżeli dla każdego argumentu x zdanie F(x) jest prawdziwe to fakt ten zapisujemy: i czytamy: dla każdego x zachodzi F(x). Często używamy także symbolu:

8 Oznaczenia i wartości logiczne
Kwantyfikatory Kwantyfikator szczegółowy: Jeżeli dla jakiegoś argumentu x zdanie F(x) jest prawdziwe to fakt ten zapisujemy: i czytamy: istnieje takie x, że F(x) jest prawdziwe. Często używamy także symbolu:

9 Oznaczenia i wartości logiczne
Twierdzenia dotyczące operowania kwantyfikatorami

10 Zbiory Zbiory oznaczamy dużymi literami alfabetu łacińskiego,
Elementy zbiorów oznaczamy małymi literami alfabetu łacińskiego, oznacza, że a jest elementem zbioru A , oznacza, że a nie jest elementem zbioru A, Zbiór pusty oznaczamy symbolem , Zapis oznacza zbiór tych (wszystkich) elementów x, dla których F(x) jest zdaniem prawdziwym.

11 Rachunek zbiorów Rachunek zbiorów Suma zbiorów:
Iloczyn (przekrój) zbiorów: Różnica zbiorów A i B:

12 Rachunek zbiorów Rachunek zbiorów Zbiory A i B są rozłączne gdy: Zbiór A jest podzbiorem zbioru B: Zbiór A jest równy zbiorowi B (A=B) gdy: Dopełnienie zbioru B w A to różnica A\B w przypadku gdy

13 Własności operacji na zbiorach:
Rachunek zbiorów Własności operacji na zbiorach:

14 Zbiory Zbiory ograniczone Zbiór XR, jest ograniczony z dołu, jeżeli: Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru X. Zbiór XR, jest ograniczony z góry, jeżeli: Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru X.

15 Zbiory Zbiory ograniczone Zbiór XR, jest ograniczony, w.t.w., gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn.: Zbiór, który nie jest ograniczony nazywamy nieograniczonym. Uwaga – można tak dobrać stałe, aby: 0<M=-m, wtedy:

16 Zbiory Kresy zbioru Mówimy, że liczba a jest najmniejszym elementem zbioru XR, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy: Mówimy, że liczba b jest największym elementem zbioru XR, co zapisujemy:

17 Zbiory Kresy zbioru – kres dolny zbioru Niech zbiór XR będzie ograniczony z dołu. Liczba d jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy: Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z dołu, to:

18 Zbiory Kresy zbioru – kres górny zbioru Niech zbiór XR będzie ograniczony z góry. Liczba g jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy: Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z góry, to:

19 Zbiory Kresy zbioru Aksjomat ciągłości: każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z dołu ma kres dolny każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z góry ma kres górny

20 Zbiory Zbiór liczb rzeczywistych N - zbiór liczb naturalnych (Natural) Z - zbiór liczb całkowitych (Zahl) Q - zbiór liczb wymiernych (Quotient) R - zbiór liczb rzeczywistych (Real)

21 Zbiory Zbiór liczb całkowitych i wymiernych Zasada Archimedesa: Jeżeli to istnieje takie, że: W przypadku x=1 otrzymamy: Liczbę n-1 nazywamy częścią całkowitą y i oznaczamy symbolem [y].

22 Zbiory Odcinek Załóżmy, że Odcinkiem domkniętym [a,b] nazywamy zbiór: Odcinkiem otwartym (a,b) nazywamy zbiór:

23 Każdy odcinek otwarty zawiera liczbę wymierną
Zbiory Odcinek Każdy odcinek otwarty zawiera liczbę wymierną Dowód na podstawie twierdzenia Archimedesa

24 Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Niech Rozszerzona relacja porządku w zbiorze R:

25 Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Na zbiór przenoszą się pojęcia odcinka domkniętego i otwartego. Odcinki domknięte w postaci gdzie wyznaczają półproste domknięte w R. Zapisujemy to odpowiednio: Odcinki otwarte w postaci gdzie wyznaczają półproste w R.

26 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Ważne zależności w zbiorze
Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Ważne zależności w zbiorze

27 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Działania niewykonalne w zbiorze
Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Działania niewykonalne w zbiorze