Obserwatory zredukowane

Prezentacja na temat: "Obserwatory zredukowane"— Zapis prezentacji:

1 Obserwatory zredukowane
Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenberger’a) – redundancja informacyjna Pewna liczba zmiennych stanu dostępna poprzez zakładany pomiar wyjść Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Wyprowadzenie I Zakładamy: q mierzonych wyjść są liniowo niezależne – macierz C ma rząd q Zakładamy też: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy)

2 Jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaci
różnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa wybierając macierz T ’ tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną)

3 Możliwy sposób wyboru macierzy T ’
czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana Związki wynikające z przekształcenia podobieństwa:

4 Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można napisać równanie stanu w postaci

5 lub Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów)

6 jest dostępne pomiarowo, to również
Idea rekonstrukcji Ponieważ jest dostępne pomiarowo, to również Wartość jest mierzalna Podane równania możemy tratować jako równania stanu i równania pomiarów, w których - wektor stanu - wektor wejścia - wektor wyjścia (pomiaru) Równanie stanu i pomiaru zredukowanego systemu piszemy w postaci Odpowiada to równaniom:

7 Budujemy pełny obserwator Luenbergera, ale rzędu n-q, który nazywamy obserwatorem zredukowanym
Oznaczymy macierz wzmocnień obserwatora zredukowanego o wymiarze (n-q)xq Równanie stanu obserwatora zredukowanego przyjmujemy: Wyprowadzenie szczegółowej postaci obserwatora zredukowanego Bezpośrednio mierzy się y, występowanie pochodnej jest niekorzystne – wprowadza się zmienną

8 Podstawiając do ostatniego wyniku
otrzymamy nowe równanie obserwatora zredukowanego lub

9 Odpowiada im schemat blokowy obserwatora zredukowanego
Ponieważ v ma wymiar (n-q), więc również z ma wymiar (n-q) i jest dobrze określonym obserwatorem zredukowanym tego rzędu

10 Warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego
Jak poprzednio definiujemy błąd rekonstrukcji obserwatora (błąd estymacji) Warunek dobrego estymatora Weźmy zredukowane równanie stanu systemu i początkowe równanie obserwatora zredukowanego Równanie dynamiki błędu obserwatora zredukowanego

11 Macierz stanu jednorodnego równania dynamiki błędu obserwatora
Wymagana obserwowalność pary Lemat. Jeżeli para , to para też jest obserwowalna Twierdzenie. Mając dany liniowy stacjonarny system rzędu n, który posiada q liniowo niezależnych wyjść (pomiarów wyjść) i jest obserwowalny, można skonstruować obserwator rzędu (n-q) mający dowolne wartości własne

12 Przeprowadzona konstrukcja wyznacza jeden obserwator tego typu, który posiada
jako macierz systemu Inne wyprowadzenia II. Można też założyć: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy)

13 Wówczas, jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaci
różnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa wybierając macierz T ’ tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną)

14 Możliwy sposób wyboru macierzy T ’
czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana

15 Dekompozycja Biorąc pod uwagę inną postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci

16 lub Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów) Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów)

17 Zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób Otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub

18 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać
III. Można zrezygnować z „częściowo jednostkowej” postaci macierzy C o wymiarze qxn i założyć jedynie, że macierz C ma jedną z postaci a. b.

19 Weźmy przypadek a. Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci

20 Pełny obserwator Nie ma potrzeby rekonstruować górnej składowej wektora stanu – zakładając nieosobliwość C1 można bowiem Dalej: zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób

21 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać

22 Obserwator zredukowany dla systemów z jednym wyjściem (system SISO)
Przypadek ciągły Biorąc pod uwagę postać macierzy C Ograniczymy się do przypadku wyprowadzenia I Dekompozycja

23 Macierze A oraz B mają postać
Macierze cT ma postać (lub sprowadzamy ją do postaci

24 Macierze wzmocnień obserwatora redukuje się do wektora i oznaczymy go
Postępując jak poprzednio otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub

25 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać
Projektowanie obserwatora zredukowanego dla systemów SISO gr określamy tak, aby macierz Fr miała n-1 wartości własnych, które spełniają postulowane równanie charakterystyczne

26 Możliwości I. bezpośrednio – porównanie wartości współczynników II. wykorzystanie postaci kanonicznej obserwowalności wówczas

27 Problem polega na znalezieniu
takich, aby macierz miała wielomian charakterystyczny o postulowanej postaci Przywołując twierdzenie podane dla pełnego obserwatora i pamiętając o zmniejszeniu wymiaru o 1 oraz, że macierzy A odpowiada teraz A11

28 otrzymujemy rozwiązanie
Zatem i równania obserwatora

29 III. macierz A w dowolnej postaci – wykorzystanie dualnego twierdzenia Ackermann’a
Twierdzenie dualne Ackermann’a Jeżeli system jest obserwowalny i jeżeli wymaga się, aby obserwator n – tego rzędu (Luenbergr’a) posiadał wielomian charakterystyczny to należy wybrać macierz wzmocnień obserwatora o wartościach gdzie jest ostatnią kolumną odwrotnej macierzy obserwowalności i jest określona lub

30 Dualne twierdzenie Ackermann’a stosujemy systemu zredukowanego, czyli ogólnie do systemu rzędu n-q danego równaniem stanu (wyprowadzenie I) i wyjścia Zatem w twierdzeniu Ackermann’a należy podstawić

31 Przykład 1 (z W10): System jednowymiarowy Zaprojektować pełny obserwator stanu dla systemu, mający podwójna wartość własną w Opis w przestrzeni stanu

32 Ponieważ należy zbudować obserwator zredukowany dla Niech Ponieważ zatem system ma wymaganą postać dla wyprowadzenia I Ale nie jest w postaci kanonicznej obserwowalności – zastosujemy kolejno wyliczenie bezpośrednie i równanie dualne Ackermann’a Dekompozycja

33 Wektor redukuje się do skalara Postulowany wielomian charakterystyczny Macierz systemu obserwatora Wielomian charakterystyczny macierzy systemu obserwatora zatem Porównanie zatem

34 Równanie obserwatora Schemat blokowy systemu z obserwatorem

35 Dualne równanie Ackermann’a stosujemy do systemu zredukowanego
Para oznacza tutaj Macierz obserwowalności Postulowany wielomian charakterystyczny zatem I podobnie jak poprzednio

36 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę