CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Prezentacja na temat: "CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW"— Zapis prezentacji:

1 CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
SEMINARIUM DYPLOMOWE Autorzy: Paweł Zajdel Jakub Kwolek Wojciech Król 2012

2 Legenda: Kolorem czerwonym oznaczone są odpowiedzi błędne, a kolorem zielonym odpowiedzi prawidłowe. Odpowiedzi zaczerpnięte z testu oznaczono *.

3 Pytanie 1 …w połączeniu z kwantyzacją daje sygnał cyfrowy. *
PRÓBKOWANIE SYGNAŁU… …w połączeniu z kwantyzacją daje sygnał cyfrowy. * Odpowiedź poprawna ponieważ z definicji za sygnał cyfrowy uważamy sygnał, którego dziedzina i zbiór wartości są dyskretne.

4 Pytanie 1 PRÓBKOWANIE SYGNAŁU… … jest operacją zawsze odwracalną.
Nie jest operacją zawsze odwracalną. Próbkowanie jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki twierdzenia Shannona. … zamienia sygnał analogowy na dyskretny. …polega na zerowaniu sygnału w odpowiednich miejscach. …nie ma nic wspólnego z aliasingiem. Ma, ponieważ aliasing wynika np. z niespełnienia warunku odpowiednio dużej częstotliwości próbkowania

5 Pytanie 2 Zawsze można. * Nigdy nie można.
CZY ZNAJĄC DYSKRETNE WARTOŚCI SYGNAŁU MOŻNA Z NICH ODTWORZYĆ SYGNAŁ ANALOGOWY? Zawsze można. * Aby odtworzyć z próbek sygnał analogowy muszą być spełnione warunki: a) Widmo sygnału jest ograniczone (istnieje takie, że dla b) Częstotliwość próbkowania sygnału . Nigdy nie można. Można przy spełnieniu pewnych warunków.

6 Twierdzenie Shannona…
Pytanie 3 Twierdzenie Shannona… …zakłada ograniczone widmo i dostatecznie drobną dyskretyzację. * …wymaga nieskończonego czasu trwania sygnału. Sygnały o ograniczonym widmie (1 założenie twierdzenia Shannona) mają nieskończony czas trwania. I na odwrót: sygnały o skończonym czasie trwania mają nieograniczone widmo.

7 Twierdzenie Shannona…
Pytanie 3 Twierdzenie Shannona… Twierdzenie to brzmi następująco: Jeżeli są spełnione następujące warunki: nośnik widma sygnału jest ograniczony, tzn. istnieje takie, że dla , próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu ∆t takich, że to wtedy sygnał może być odtworzony z ciągu próbek za pomocą szeregu:

8 Twierdzenie Shannona…
Pytanie 3 Twierdzenie Shannona… …formułuje podstawy teoretyczne przetworników cyfrowo-analogowych. Teza twierdzenia Shannona „ukazuje”, że sygnał analogowy może zostać odtworzony z próbek, jeśli spełnione są pewne warunki.

9 Pytanie 4 ALIASING… … jest wynikiem niespełnienia jednego z założeń
twierdzenie Shannona. * Założenia te to: nośnik widma sygnału jest ograniczony tzn. istnieje takie , że dla próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu ∆t takich że Niespełnienie jednego z tych warunków prowadzi do powstania aliasingu.

10 Pytanie 4 ALIASING… …usuwa zniekształcenia powstające w wyniku próbkowania. … powstaje gdy próbkowany sygnał posiada częstotliwości wyższe od połowy częstotliwości

11 FILTR ANTYALIASINGOWY JEST FILTREM…
Pytanie 5 FILTR ANTYALIASINGOWY JEST FILTREM… … stosowanym przed próbkowaniem. * Filtr antyaliasingowy eliminuje składowe o częstotliwości powyżej pewnej określonej wartości, aby spełnione były założenia twierdzenia Shannona o próbkowaniu (pytanie 2) … pasmowoprzepustowym. …górnoprzepustowym.

12 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych…
Pytanie 6 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych… … odpowiada z-transformacie na kole jednostkowym. * Z-transformata przedstawia się następująco: wyrażając z we współrzędnych biegunowych, tzn. Z-transformacja przybiera postać: Gdy r=1 to transformata ta upraszcza się do transformaty Fouriera.

13 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych…
Pytanie 6 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych… Zatem na płaszczyźnie z, kontur powierzchni H(z) dla tych wartości, gdzie jest transformatą Fouriera ciągu h(n). Na płaszczyźnie z jest okręgiem jednostkowym o środku w punkcie z=0. Należy zwrócić uwagę na to, że oś częstotliwości płaszczyzny z jest równoważna zawinięciu osi częstotliwości wokół koła jednostkowego na płaszczyźnie z. Częstotliwość na płaszczyźnie z nie jest odległością wzdłuż linii prostej, ale kątem wewnątrz koła i jest ograniczona do zakresu od –π do π radianów.

14 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych…
Pytanie 6 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych… …wymaga przekształcenia sygnału dyskretnego na analogowy. …opiera się na metodzie przybliżonego wyznaczania całki transformacji Fouriera. Do analizy częstotliwościowej sygnałów dyskretnych należy użyć dyskretnej transformacji Fouriera. Przybliżona metodą prostokątów całka transformacji Fouriera po racjonalizacji przyjmuje postać dyskretnej transformacji Fouriera.

15 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA…
Pytanie 7 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA… … służy do wyliczania widm sygnałów analogowych. * Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) służy do wyliczania widm sygnałów dyskretnych. Do wyliczania widm sygnałów analogowych służy transformacja Fouriera.

16 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA…
Pytanie 7 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA… …jest wykorzystywana dla analizy częstotliwościowej sygnałów cyfrowych …jest przekształceniem liniowym. Liniowość DFT tzn. bo , gdzie W jest macierzą przekształcenia. Dla przypomnienia: przekształcenie DFT można zapisać macierzowo:

17 Pytanie 8 DFT… …przekształca widmo sygnału dyskretnego w sygnał w dziedzinie czasu. * Operacja ta jest przeprowadzana przez odwrotną DFT (IDFT). …opiera się na schematach motylkowych. Na schematach motylkowych oparty jest algorytm FFT. …przekształca wektor (może być zespolony) w wektor (na ogół zespolony).

18 Pytanie 8 DFT… Wzór operacji DFT: , gdzie , zatem wartości wyjściowe są na ogół zespolone (dla N>2), natomiast wartości wejściowe to ciąg próbek (które możemy przedstawić jako liczby zespolone).

19 Ilość próbek dyskretnego widma…
Pytanie 9 Ilość próbek dyskretnego widma… …jest taka sama jak ilość próbek w dziedzinie czasu. * Wzór operacji DFT to: , gdzie , N-ilość próbek, …zależy od maksymalnej częstotliwości zawartej w sygnale.

20 Ilość próbek dyskretnego widma…
Pytanie 9 Ilość próbek dyskretnego widma… …zależy wyłącznie od gęstości dyskretyzacji w dziedzinie czasu. Przy założeniu, że będziemy próbkować sygnał za każdym razem w tym samym przedziale czasowym to im większa gęstość dyskretyzacji tym więsza ilość próbek. Ilość otrzymanych próbek z sygnału czasowego jest równa ilości próbek dyskretnego widma.

21 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA DFT jest…
Pytanie 10 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA DFT jest… …kwadratowa. * Macierz przekształcenia DFT ma postać: przy czym k jest numerem a n numerem kolumny. Numeracja rozpoczyna się od 0. …symetryczna. Każdy element o indeksie kn jest taki sam jak element o indeksie nk w macierzy W.

22 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA DFT jest…
Pytanie 10 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA DFT jest… …złożona z wartości zespolonych o module równym 1. Ponieważ elementy macierzy W powstają przez podniesienie do potęgi k*n wartości zespolonej: a jak wiadomo moduł czyli

23 SZYBKA TRANSFORMACJA FOURIERA…
Pytanie 11 SZYBKA TRANSFORMACJA FOURIERA… …wymaga ilości mnożeń proporcjonalnej do liczby próbek sygnału pomnożonej przez logarytm z liczby próbek. W FFT ilość próbek to , ilość poziomów (etapów) operacji wynosi M. Na każdym poziomie dokonujemy N/2 operacji motylkowych, z których każda zawiera 4 operacje mnożenia, zatem ilość mnożeń to:

24 SZYBKA TRANSFORMACJA FOURIERA…
Pytanie 11 SZYBKA TRANSFORMACJA FOURIERA… …służy do efektywnego wyliczania wartości DFT. …jest przekształceniem całkowym. Nie, operuje na danych dyskretnych.

25 Szybka transformacja Fouriera…
Pytanie 12 Szybka transformacja Fouriera… …oparta jest na schematach motylkowych. * Algorytm FFT można przedstawić graficznie za pomocą schematu motylkowego. …jest wykorzystywana do obliczania widm sygnałów analogowych. Jest to sposób liczenia DFT, szybszy od tradycyjnego. …została opracowana przez Huffmana. Została opracowana przez Jamesa Cooley’a i Johna Tukey’a

26 Pytanie 13 FFT… … teoretycznie daje takie same wyniki jak DFT. * FFT daje takie same wyniki jak DFT, lecz jest o wiele efektywniejszym sposobem wyliczania widm sygnałów dyskretnych, gdyż liczba operacji mnożenia jest proporcjonalna do iloczynu ilości próbek i logarytmu z ilości próbek, a liczba mnożeń w DFT jest proporcjonalna do drugiej ilości liczby próbek.

27 Pytanie 13 FFT… …służy do kompresji widm sygnałów. … oznacza filtry dolnoprzepustowe. …oznacza filtrację pasmową. …jest akronimem ciągłej transformacji Fouriera. Przypomnienie: FFT jest akronimem szybkiej transformacji Fouriera. Z ang. Fast Fourier Transform.

28 Pytanie 14 SCHEMAT MOTYLKOWY…
…jest filtrem dolnoprzepustowym. … służy do wyznaczania widma sygnału złożonego z dwóch próbek. Dla N=2 próbek mamy tylko jeden poziom w FFT, zatem wystarczy jedna operacja motylkowa do obliczenia widma.

29 Pytanie 15 Z-transformacja…
…zamienia splot dwóch sygnałów w iloczyn ich z-transformat. * wyprowadzenie: Skorzystaliśmy z transformaty sygnału przesuniętego:

30 Pytanie 15 Z-transformacja…
…jest przekształceniem całkowym. …zamienia sygnał dyskretny w funkcję określoną na zbiorze liczb zespolonych.

31 Z-transmitancja jest…
Pytanie 16 Z-transmitancja jest… …modelem matematycznym filtru cyfrowego. * Filtry cyfrowe uzależniają odpowiedź na wyjściu od bieżących i poprzednich próbek wejściowych (+ wyjściowych dla IIR) i współczynników filtru. Przesunięcie próbek w dziedzinie czasu odpowiada pomnożeniu z transformaty przez . Dlatego też można modelować filtry za pomocą z-transmitancji. Przykład:

32 Z-transmitancja jest…
Pytanie 16 Z-transmitancja jest… …ilorazem widma sygnału wyjściowego przez widmo sygnału wejściowego. Jest ilorazem, ale z-transformaty sygnału wyjściowego przez z-transformatę sygnału wejściowego. … na kole jednostkowym charakterystyką częstotliwościową filtru.

33 JAKA JEST Z-TRANSFORMATA DYSKRETNEGO IMPULSU DIRACA?
Pytanie 17 JAKA JEST Z-TRANSFORMATA DYSKRETNEGO IMPULSU DIRACA? … * …1 Z definicji dyskretnego impulsu Diraca oraz z definicji z-transformaty: dla oraz 0 dla …

34 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów otrzymuje się…
Pytanie 18 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów otrzymuje się… …dzieląc widmo sygnału wyjściowego przez widmo sygnału wejściowego. …obserwując odpowiedzi filtrów na wymuszenia sinusoidalne. Obserwując odpowiedzi filtrów na impuls diraca (tak jest teoretycznie, w praktyce obserwuje się odp. filtrów na wymuszenia sinusoidalne) …z z-transmitancji przez podstawienie exp(2πjf).

35 Funkcją parzystą jest charakterystyka…
Pytanie 19 Funkcją parzystą jest charakterystyka… … amplitudowa filtru. * …fazowa filtru. …zespoloną filtru.

36 Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej…
Pytanie 20 Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej… … wyznacza wartości sygnału wyjściowego tylko w oparciu o próbkowanie sygnału wejściowego. * Z definicji filtru FIR widać, że jest on nierekursywny: …może mieć liniową charakterystykę amplitudową. Cechą filtrów FIR jest możliwość uzyskania liniowej charakterystyki fazowej. …niezależnie od wejścia generuje wyłącznie sygnały o skończonym czasie trwania. Gdy na wejście podamy sygnał o nieskończonym czasie trwania to również na wyjściu otrzymamy sygnał o nieskończonym czasie trwania.

37 Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej…
Pytanie 21 Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej… …oznaczany jest akronimem FIR. * FIR-Finite Impulse Response Filter …ma z-transformację w postaci wielomianu z niedodatnimi potęgami. Definicja filtru FIR: Transmitancja z filtru FIR: …wyznacza wartości sygnału wyjściowego w oparciu o sygnał wejściowy i poprzednie próbki sygnału wyjściowego.

38 Projektowanie filtru fir polega na…
Pytanie 22 Projektowanie filtru fir polega na… … wyznaczeniu elementów elektronicznych, z których będzie on zbudowany. * Filtr ten jest filtrem cyfrowym, więc projektuje się go poprzez wyznaczenie odpowiednich współczynników. … dyskretnej transformacji Fouriera. Można zaprojektować filtr FIR używając odwrotnej DFT. … algorytmie optymalizacyjnym Remeza. … odpowiednim dobraniu jego odpowiedzi impulsowej.

39 Metoda remeza służy do…
Pytanie 23 Metoda remeza służy do… … projektowania filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. * Metoda Remeza służy do projektowania filtrów FIR, należy do metod optymalizacyjnych. … projektowania filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej. … kompresji sygnałów.

40 Główna metoda projektowania filtrów fir opiera się na…
Pytanie 24 Główna metoda projektowania filtrów fir opiera się na… …algorytmie Remeza. * Algorytm ten jest jedną z metod projektowania filtrów FIR. …metodach projektowania filtrów analogowych. Filtry IIR można projektować za pomocą metody biliniowej, w której projektuje się filtr analogowy, a potem transformuję się transmitancję tego filtru do postaci cyfrowej.

41 Twierdzenie czebyszewa wykorzystuje się do udowodnienia…
Pytanie 25 Twierdzenie czebyszewa wykorzystuje się do udowodnienia… … odwracalności DFT. * … bezbłędnego odtwarzania sygnału analogowego ze sygnału cyfrowego. …jednoznaczności projektowanych filtrów. Twierdzenie Czebyszewa wykorzystujemy po to, aby udowodnić, że istnieje tylko jeden zestaw Współczynników, dla których δ osiąga najmniejszą wartość. δ jest maksymalnym błędem założonej charakterystyki filtru od ch-ki uzyskanej dla danego zestawu parametrów.

42 Pytanie 26 Filtr fir… … może mieć liniową charakterystykę fazową. *
Jest to jego podstawowa zaleta. …jest przekształceniem liniowym. Niech: …wymagają badania stabilności. Filtry FIR są zawsze stabilne, gdyż w ich transmitancji występują tylko zera (brak biegunów).

43 Akronim 2-D FIR oznacza…
Pytanie 27 Akronim 2-D FIR oznacza… …dwuwymiarową transformację Fouriera. * …filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej do przetwarzania obrazów. Definicja filtru 2-D FIR: I jego z-transmitancja: …prezentację charakterystyk filtrów na płaszczyźnie.

44 Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej…
Pytanie 28 Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej… …może mieć liniową charakterystykę fazową. * W przeciwieństwie do filtrów FIR, których główną zaletą jest możliwość uzyskania liniowej fazy, filtry IIR nie mogą być zaprojektowane tak, aby posiadały liniową fazę. Wada ta powoduje wprowadzanie różnych opóźnień dla różnych składowych sygnału.

45 Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej…
Pytanie 28 Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej… …wyznacza wartości sygnału wyjściowego w oparciu o próbki sygnału wejściowego i poprzednie próbki sygnału wyjściowego. Definicja filtru IIR: …ma z-transmitancję w postaci ilorazu wielomianów z niedodatnimi potęgami. Z-transmitancja filtru IIR:

46 Pytanie 29 Filtry iir …mają skończoną odpowiedź impulsową. * …wymagają zabezpieczenia przed niestabilnością. Z-transmitancja filtru IIR: Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zera wielomianu charakterystycznego leżą wewnątrz koła jednostkowego, tzn. .

47 Pytanie 29 Filtry iir …są iteracyjnymi procedurami obliczeniowymi. Dla obliczenia danej próbki wyjściowej dokonywane są po kolei operacje mnożenia i dodawania, więc można nazwać to procedurą iteracyjną.

48 Filtr iir jest stabilny jeżeli…
Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… …w metodzie Hurwitza wszystkie minory wiodące są większe od zera. * Należy zwrócić uwagę, że brane pod uwagę są minory wyznacznika Hurwitza… Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (mianownik transmitancji Z układu) leżą wewnątrz koła jednostkowego. Warunek ten jest równoważny następującemu: wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (mianownik transmitancji w dziedzinie s) mają ujemną część rzeczywistą

49 Filtr iir jest stabilny jeżeli…
Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… Kryterium stabilności Hurwitza: Warunek konieczny – wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są większe od zera Warunek wystarczający – wszystkie minory wiodące wyznacznika Hurwitza są większe od zera Wtedy pierwiastki wielomianu charakterystycznego mają ujemną część rzeczywistą.

50 Filtr iir jest stabilny jeżeli…
Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… Wyznacznik Hurwitza wygląda następująco: Wielomian chrakterystyczny:

51 Filtr iir jest stabilny jeżeli…
Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… …wszystkie zera wielomianu charakterystycznego leżą wewnątrz koła jednostkowego. …istnieją ograniczone stałe takie, że z ograniczonego wejścia wynika ograniczone wyjście. Jest to warunek stabilności BIBO – Bounded Input Bounded Output

52 Główna metoda projektowania filtrów iir opiera się na…
Pytanie 31 Główna metoda projektowania filtrów iir opiera się na… … metodach projektowania filtrów analogowych. * …dyskretnej transformacji Fouriera. …algorytmie optymalizacyjnym Remeza. Przypomnienie podstawowego algorytmu projektowania filtrów IIR: Przyjmujemy założenia projektowe Modyfikujemy założenia projektowe posługując się zależnością:

53 Główna metoda projektowania filtrów iir opiera się na…
Pytanie 31 Główna metoda projektowania filtrów iir opiera się na… Projektujemy filtr analogowy W oparciu o powyższy filtr wyliczamy z-transmitancję posługując się podstawieniem

54 Z czym są związane postulaty mallata i meyera?
Pytanie 32 Z czym są związane postulaty mallata i meyera? ...z falkową dekompozycją sygnałów. * …z projektowaniem filtrów. …z próbkowaniem sygnałów.

55 Dyskretna transformacja Falkowa…
Pytanie 33 Dyskretna transformacja Falkowa… …ma charakter poufny. * Ma charakter dyskretny. …opiera się na filtracji i podpróbkowaniu. …wykorzystuje schematy motylkowe.

56 Podpróbkowanie ze stałą 2…
Pytanie 34 Podpróbkowanie ze stałą 2… …jest operacją odwrotną do nadpróbkowania ze stałą 2 *

57 Podpróbkowanie ze stałą 2…
Pytanie 34 Podpróbkowanie ze stałą 2… … polega na pomijaniu co drugiej wartości z próbek sygnału. …polega na zerowaniu co drugiej wartości z próbek.

58 Co to jest perfekcyjna rekonstrukcja?
Pytanie 35 Co to jest perfekcyjna rekonstrukcja? …bezbłędne odtworzenie sygnału analogowego z jego dyskretnych wartości. * …sygnał wyjściowy jest tylko opóźnioną i ewentualnie wzmocnioną wersją sygnału wejściowego. …bezbłędne odtworzenie sygnału z jego widma.

59 Co to jest perfekcyjna rekonstrukcja?
Pytanie 35 Co to jest perfekcyjna rekonstrukcja? Schemat perfekcyjnej rekonstrukcji. H1, G1 – filtry dolnoprzepustowe H2, G2 – filtry górnoprzepustowe

60 Pytanie 36 Kodowanie różnicowe… …jest metodą kompresji sygnałów. * …ułatwia filtrację sygnałów. …zamienia sygnał analogowy na cyfrowy.

61 Bezstratna kompresja sygnałów…
Pytanie 37 Bezstratna kompresja sygnałów… … jest procedurą odwracalną Główną zaletą kompresji bezstratnej jest możliwość dekompresji sygnału do identycznej postaci pierwotnej w przeciwieństwie do kompresji stratnej, gdzie zdekompresowany sygnał jest nieco inny niż oryginał. …opiera się na kwantyzacji sygnałów Na kwantyzacji sygnałów opiera się kompresja stratna. Bezstratna kompresja wykorzystuje metody słownikowe i statystyczne, np. kodowanie Huffmana.

62 Bezstratna kompresja sygnałów…
Pytanie 37 Bezstratna kompresja sygnałów… …jest na ogół bardziej efektywna od kompresji stratnej. *

63 Pytanie 38 …jest metodą kompresji sygnałów. * Kodowanie huffmana
Jest to jedna z metod kompresji bezstratnej. Dany jest alfabet źródłowy (zbiór symboli) oraz zbiór stowarzyszonych z nim prawdopodobieństw. Kodowanie Huffmana polega na utworzeniu słów kodowych o długości odwrotnie proporcjonalnej do prawdopodobieństwa wystąpienia danego symbolu. Jest kodem prefiksowym, tzn. kodem, w którym żadne słowo kodowe nie jest prefiksem innego słowa kodowego

64 Pytanie 38 Kodowanie huffmana

65 Pytanie 38 Kodowanie huffmana …służy do szyfrowania informacji. …zamienia sygnał analogowy na cyfrowy.

66 Stratna kompresja sygnałów…
Pytanie 39 Stratna kompresja sygnałów… …opiera się na kwantyzacji sygnałów. * Jednym z kroków kompresji może być właśnie kwantyzacja …jest procedurą odwracalną. Tak, jednak tracimy mniej znaczące dane …nie może być stosowana do kompresji obrazów. Może być stosowany do kompresji obrazów (np. JPEG)

67 Która z operacji jest nieliniowa?
Pytanie 40 Która z operacji jest nieliniowa? Filtracja IIR. Nadpróbkowanie. Kwantyzacja skalarna. * Kwantyzacja skalarna może być kwantyzacją równomierną lub nierównomierną. W tym drugim przypadku różnica pomiędzy sąsiednimi poziomam decyzyjnymi nie jest jednakowa, dlatego nie jest to operacja liniowa.

68 DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ