Trysekcja Cevy 1/4 Giovanni Ceva (1647-1734) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie, a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie.

Prezentacja na temat: "Trysekcja Cevy 1/4 Giovanni Ceva (1647-1734) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie, a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie."— Zapis prezentacji:

1

2 Trysekcja Cevy 1/4 Giovanni Ceva (1647-1734) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie, a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie w Mantui. Choć najwięcej czasu poświęcał poezji (jego łaciński poemat Jesus Puer przetłumaczono na wiele języków), odnotował ważne wyniki w geometrii. W roku 1678 w pracy De lineis rectis podał warunek przecinania się prostych przechodzących przez wierzchołki trójkąta: Największe osiągnięcia Giovanni Cevy Pisał o przepływach wody (Opus hydrostaticum, 1728), podjął nowatorskie badania w zakresie rachunku nieskończonego (Geometria motus, 1692), Był prekursorem matematyki finansowej (Re nummeraria, 1711). Jeżeli na jego prostych AB, BA i CA lub ich przedłużeniach zaznaczymy punkty X, Y i Z tak, że AX=t 1 ·XB, BY=t 2 ·BC, i CZ=t 3 ·ZA, to proste AY, BZ i CX przetną się w jednym punkcie wyłącznie wtedy, gdy t 1 ·t 2 ·t 3 =1. Odkrył ponownie twierdzenie Menelausa: punkty X, Y i Z są współliniowe, jeśli t 1 ·t 2 ·t 3 =-1. Wynik ten stanowi podstawę prawa relatywistycznego składania prędkości Einsteina. W roku 1699 zdefiniował krzywą, która pozwala dokonać podziału kąta na 3 równe części. Nazywa się ona trysektrysą Cevy. Krzywa ta stanowi przedmiot naszego zainteresowania.

3 Trysekcja Cevy 2/4 Uwzględniając zależności r = {x 2 +y 2 } 1/2, x = r·sin(θ), y = r·cos(θ) wiążące współrzędne kartezjańskie (x,y) z biegunowymi (r,θ) natychmiast uzyskujemy równanie krzywej Cevy w układzie Orθ: r = a·{4·cos 2 (θ) – 1}, czyli r = a·{1 + 2·cos(2θ)} (i wystarczy zmieniać wartość argumentu θ na przykład od 0 do ). Krzywą (lub trysektrysą) Cevy nazywamy linię, którą w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych definiuje wzór x = a·cos(3t)+ 2a·cos(t), y = a·sin(3t). Ponieważ cos(3t) = 4·cos 3 (t) – 3·sin(t), sin(3t) = – {4·sin 3 (t) – 3·cos(t)}, więc przedstawieniem wektorowym krzywej Cevy jest także układ x = a·sin(t)·{4·cos 2 (t) – 1}, y = a·cos(t)·{4·cos 2 (t) – 1}. Korzystając nadal z relacji między współrzędnymi (x,y) a (r, θ) możemy przedostatnią zależność przepisać w postaci {x 2 +y 2 } 1/2 = a·{4·x 2 /{x 2 +y 2 }– 1}, skąd otrzymujemy równanie niejawne trysektrysy Cevy (słuszne także dla x=y=0): {x 2 +y 2 } 3 = a 2 ·{3x 2 –y 2 } 2. Równania krzywej Cevy

4 Trysekcja Cevy 3/4 Przeprowadzimy teraz konstrukcję potrojenia kata poprzez poprowadzenie 3 okręgów o takim samym promieniu. Uzyskany punkt C leżeć będzie na krzywej Cevy, za pomocą której można wyznaczyć 1/3 kąta danego. 1) Tak jak na rysunku obok, wierzchołek danego kąta α umieszczamy w początku układu Oxy współrzędnych prostokątnych i zakreślamy łuk o dowolnym promieniu a (na rysunku wynosi on 1). 2) Łuk ten przecina ramię górne kąta w punkcie M. Oczywiście: M = (a·cos(α),a·sin(α)), zaś rzut punktu M na oś Ox to U = (a·cos(α),0). 4) Przecina on oś Ox w punkcie P. Trójkaty UOM i PUM są przystające, więc P = (2a·cos(α),0) 6) Punkt, gdzie przecina on ramię OM kąta α, oznaczamy literą C. Kąt, jaki z osią Ox tworzy odcinek PC, oznaczamy literą φ. 3) Kreślimy teraz okrąg o środku M i promieniu a. 5) Raz jeszcze kreślimy okrąg o promieniu a, tym razem o środku P. 7) Ponieważ β = 180°-(180°-2α) = 2α i = 180 2 = 180 4α, więc φ = 180 (α+ )=3α. Trzy okręgi wyznaczające trysektrysę Cevy

5 Trysekcja Cevy 4/4 Wiemy już, że P = (2a·cos(α),0) oraz φ = 3α. Niech D oznacza rzut prostopadły punktu C na oś Ox. Boki trójkąta PCD mają długości: |PC|=a, |CD| = a·sin(3α), |DP| = a·cos(3α). Jeżeli C=(x,y), to y = |CD| = a·sin(3α) i x = |OP| + |DP| = 2a·cos(α) + a·cos(3α). Tym samym współrzędne prostokątne punktu C dane są zależnościami: x = 2a·cos(α) + a·cos(3α) y = a·sin(3α). Tak więc punkt C leży na krzywej Cevy. e5. odcinek łączący punkt C z wierzchołkiem kąta φ odcina kąt α = φ/3. Konstrukcja Cevy trzeciej części danego kąta φ: e1. kreślimy trysektrysę Cevy - dla α (0,30°), e2. nanosimy kąt φ, e3. Przez punkt na ukośnym ramieniu kąta odległy od wierzchołka kąta o a (na rysunkach jest a=1) prowadzimy prostą równoległą do osi Ox, e4. punkt, w którym ta równoległa przecina dalej trysektrysę, oznaczamy literą C, Uzasadnienie konstrukcji Trysekcja kąta wg Cevy