Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Rzeszowskiego

Prezentacja na temat: "Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Rzeszowskiego"— Zapis prezentacji:

1 Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Rzeszowskiego
* Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Rzeszowskiego Krzysztof Gąsior Komputerowe badanie własności relacji *

2 Cel Prezentacja wykorzystania komputera jako narzędzia do rozwiązywania problemów matematycznych – informatyczne metody: tworzenia macierzy relacji, grafu oraz diagramu Hessa wyznaczanie liczby relacji przy pomocy komputera oraz porównanie efektywności algorytmów warunki poprawnej optymalizacji programów matematycznych

3 Tematyka wprowadzenie
przekształcanie zadanych relacji na macierze relacji w Javie 5.0 „Tiger” oraz ich wizualizacja za pomocą grafu i diagramu Hessa w Matematice 6.0 komputer jako narzędzie do badania własności relacji wyznaczanie liczby relacji za pomocą metody „brutalnej siły” zastosowanie metody „dziel i zwyciężaj” do wyznaczenia liczby relacji przechodniej

4 Tematyka wprowadzenie
przekształcanie zadanych relacji na macierze relacji w Javie 5.0 „Tiger” oraz ich wizualizacja za pomocą grafu i diagramu Hessa w Matematice 6.0 komputer jako narzędzie do badania własności relacji wyznaczanie liczby relacji za pomocą metody „brutalnej siły” zastosowanie metody „dziel i zwyciężaj” do wyznaczenia liczby relacji przechodniej

5 Krata Definicja. Zbiór częściowo uporządkowany nazywamy kratą, gdy wszystkie jego podzbiory dwuelementowe mają kresy zwane działaniami kratowymi: Definicja. Kratę nazywamy ograniczoną, gdy i stosujemy oznaczenia

6 Krata Twierdzenie 1. Jeżeli jest kratą, to dla dowolnych elementów
mamy:

7 Relacje Iloczyn Kartezjański definiujemy następująco:
Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbioru. Relacją odwrotną na do relacji nazywamy relacje Złożeniem relacji (Iloczynem względnym) nazywamy taką relację , że

8 Relacje Relacje można reprezentować przy pomocy: listy
macierzy relacji grafu skierowanego diagramu

9 Macierz relacji R nazywamy macierzą relacji, a elementy tej macierzy traktujemy jako wartości boolowskie.

10 Interpretacja macierzowa
Macierze relacji Przez relację: Interpretacja macierzowa pełną rozumiemy ; pustą rozumiemy ; identyczności rozumiemy I;

11 Rachunek relacji Twierdzenie 2. Jeżeli , to

12 Rachunek relacji Twierdzenie 3. Jeżeli , to

13 Rodzaje relacji zwrotna, gdy ; symetryczna, gdy ;
antysymetryczna, gdy ;

14 Rodzaje relacji przeciwsymetryczna, gdy ; przechodnia, gdy ;
idempotentna, gdy ;

15 Interpretacja działań na relacjach w postaci macierzy relacji

16 Tabele logiczne 1 1 1

17 Rodzaje relacji Definicja. Relację zwrotną, symetryczną i przechodnią nazywamy relacją równoważności.

18 Relacje porządku Definicja. Relacją częściowo porządkującą zbiór X nazywamy relację spełniającą warunki: zwrotności antysymetryczności przechodniości Definicja. Relacją quasi-porządkującą zbiór X nazywamy relację spełniającą warunki: zwrotności przechodniości

19 Przykłady relacji Relacja
 (pusta) jest symetryczna, asymetryczna, przeciwsymetryczna, przechodnia, idempotentna; I (identyczności) jest zwrotna, symetryczna, asymetryczna, przechodnia, idempotentna; (pełna) jest zwrotna, symetryczna, przechodnia, idempotentna;

20 Własności relacji Twierdzenie 4. Jeżeli relacja jest relacją równoważności (idempotentna) , to relacja jest relacją równoważności(idempotentną) . Twierdzenie 5. Jeżeli są relacjami równoważności(idempotentne) oraz , to jest relacją równoważności(idempotentną). Twierdzenie 6. Każdy podzbiór relacji I w X jest relacją idempotentną. Wniosek. Wszystkich macierzy relacji tego rodzaju jest , gdzie n jest wymiarem macierzy.

21 Ilość relacji binarnych
Relacja n - elementowe Wzór Wszystkich Zwrotne Symetryczne Antysymetryczne

22 Uwaga Twierdzenie 7. Niech wtedy poniższe warunki są równoważne:
1. 2. , dla pewnych 3. , dla pewnych

23 Uwaga Z faktu, że jest kratą macierzy działania możemy zamienić na:

24 Tematyka wprowadzenie
przekształcanie zadanych relacji na macierze relacji w Javie 5.0 „Tiger” oraz ich wizualizacja za pomocą grafu i diagramu Hessa w Matematice 6.0 komputer jako narzędzie do badania własności relacji wyznaczanie liczby relacji za pomocą metody „brutalnej siły” zastosowanie metody „dziel i zwyciężaj” do wyznaczenia liczby relacji przechodniej

25

26

27

28

29 Grafy i diagramy Hessa

30 Grafy i diagramy Hessa Przykład pokazuje nieprawidłowe działanie metody HesseDiagram[g], ponieważ z interpretacji grafowej wynika, że nie jest to relacja zwrotna, a zatem nie jest to relacja porządku częściowego, czyli diagram nie powinien być utworzony.

31 Tematyka wprowadzenie
przekształcanie zadanych relacji na macierze relacji w Javie 5.0 „Triger” oraz ich wizualizacja za pomocą grafu i diagram Hessa w Matematice 6.0 komputer jako narzędzie do badania własności relacji wyznaczanie liczby relacji za pomocą metody „brutalnej siły” zastosowanie metody „dziel i zwyciężaj” do wyznaczenia liczby relacji przechodniej

32 Mathematica & Java Java Mathematica
macierz – zmienna przechowująca tablice wielowymiarową typu boolean reprezentująca macierz relacji Mathematica g – zmienna przechowująca graf skierowany utworzony przy pomocy metody MakeGraph[].

33 Matematyka & Java Matematyka Java && || ! 1 true false ==

34 Działanie metod w Javie będzie polegało na przeszukiwaniu tablicy wielowymiarowej typu boolean (nasza macierz) w poszukiwaniu elementu/ów nie spełniających wybranej własności relacyjnej.

35 Relacja zwrotna Java Mathematica ReflexiveQ[g]

36 Relacja symetryczna Java Mathematica SymmetricQ[g]

37 Relacja asymetryczna Java

38 Relacja antysymetryczna
Java Mathematica AntiSymmetricQ[g]

39 * Relacja przechodnia Java Mathematica TransitiveQ[g] *

40 Relacja idempotentna Java

41 Relacja równoważności
Java Mathematica EquivalenceRelationQ [g]

42 Relacja quasi - relacja
Java

43 Relacja porządku częściowego
Java Mathematica PartialOrderQ[g]

44 Przykład w Mathematice

45 Wyznaczanie ilości relacji
Rozwiązanie problemu wyznaczenia ilości relacji, będzie polegało na generowaniu kolejnych macierzy od relacji pustej do pełnej i testowanie ich pod względem własności relacyjnych.

46 Tematyka wprowadzenie
przekształcanie zadanych relacji na macierze relacji w Javie 5.0 „Triger” oraz ich wizualizacja za pomocą grafu i diagramu Hessa w Matematice 6.0 komputer jako narzędzie do badania własności relacji wyznaczanie liczby relacji za pomocą metody „brutalnej siły” zastosowanie metody „dziel i zwyciężaj” do wyznaczenia liczby relacji przechodniej

47 Metoda „brutalnej siły”
Metoda „brutalnej siły” jest metodą, która nie wykorzystuje zwykle żadnych informacji o zbiorze poszukiwań, a komputer wykorzystuje jedynie jako szybkie narzędzie do „mało inteligentnego” jego przeglądania.

48 Start l < BigInteger count = new BigInteger („0”);
BigInteger l = new BigInteger („0”); boolean [][] macierz; Czytaj(n); macierz = new boolean[n][n]; l < TAK Czy macierz spełnia własność? NIE TAK Zwiększ zmienną count o jeden; Generuj macierz

49 Przykład działania dla relacji przechodnich w zbiorze 2 elementowym.
? ? ? ? … Jest relacją przechodnią Nie jest relacją przechodnią

50 Start l < BigInteger count = new BigInteger („0”);
BigInteger l = new BigInteger („0”); boolean [][] macierz; Czytaj(n); macierz = new boolean[n][n]; l < NIE TAK Czy macierz spełnia własność? NIE TAK Zwiększ zmienną count o jeden; Generuj macierz Wypisz wynik poszukiwań

51 Wszystkich relacji przechodnich w zbiorze 2 elementowym jest 13.

52 Start l < BigInteger count = new BigInteger („0”);
BigInteger l = new BigInteger („0”); boolean [][] macierz; Czytaj(n); macierz = new boolean[n][n]; l < NIE TAK Czy macierz spełnia własność? NIE TAK Zwiększ zmienną count o jeden; Generuj macierz Wypisz wynik poszukiwań Stop

53

54

55

56 Wyniki Ilość elementów w zbiorze Ilość relacji Zwrotnych Symetrycznych
Przechodnich 1 2 4 8 13 3 64 1 024 171 4 096 32 768 3 994 5 …

57 Wyniki Ilość elementów w zbiorze Ilość relacji Antysymetryczna
Asymetryczna Idempotentna 1 2 12 3 11 216 27 123 4 11 664 729 2 360 5 59 049 73 023 …

58 Wyniki Ilość elementów w zbiorze Ilość relacji równoważności
quasi  porządku porządku częściowego 1 2 4 3 5 29 19 15 355 219 52 6 942 4 321 …

59 Tematyka wprowadzenie
przekształcanie zadanych relacji na macierze relacji w Javie 5.0 „Triger” oraz ich wizualizacja za pomocą grafy i diagramów Hessego w Matematice 6.0 komputer jako narzędzie do badania własności relacji wyznaczanie liczby relacji za pomocą metody „brutalnej siły” zastosowanie metody „dziel i zwyciężaj” do wyznaczenia liczby relacji przechodniej

60 Metoda „dziel i zwyciężaj”
Metoda „dziel i zwyciężaj” jest pewną ogólną metodą rozwiązywania problemów polegającą na podziale problemu na mniejsze i wyznaczeniu rozwiązania z rozwiązań problemów mniejszych.

61

62

63 Metoda generowania 5 … 5 … 29 … 29 … 29 … 29 …

64

65

66 Metoda działania programu
… … … … zakres działania metody przechodnia

67 Porównanie Przestrzeń stanów n Metoda Różnica % „Brutalna siła”
„Dziel i zwyciężaj” 1 2 50,00 16 15 6,25 3 512 418 94 18,36 4 65 536 22 135 43 401 66,22 5 33 554 432 2 063 069 93,85 6 317  99,54

68 Porównanie n = 5 Metoda Różnica % „Brutalna siła” „Dziel i zwyciężaj”
Czas 32 266 ms 2 003 ms ms 93,79 Zużycie pamięci 181 MB Zużycie procesora 100%

69 Uwagi i spostrzeżenia słuchaczy

70 Więcej informacji M. Malec, „Elementy wstępu do teorii relacji, cześć 1”, AGH, Kraków 1998 J. A. Szrejder, „Równość, podobieństwo, porządek”, WNT, Warszawa 1975 Z. Moszner, „O teorii relacji, PZWS”, Warszawa 1967 K. Gąsior, „Relacje przechodnie”, Rzeszów 2007, praca licencjacka M. Świedr, „Relacje zwrotne i przeciwzwrotne”, Rzeszów 2007, praca licencjacka

71 Więcej informacji E. M. Reingold, J. Nievergelt, D. Narsingh, „Algorytmy kombinatoryczne”, PWN, 1985 Warszawa L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter, „ Algorytmy i struktury danych”, WNT, 1996 Warszawa E. Koffman, P. Wolfgang, „ Struktury danych i techniki obiektowe na przykładzie Javy 5.0”, Helion, 2006 Gliwice

72 Internet B. Pękala, „Rachunek macierzy nad kratami”, rozprawa doktorska, AGH, Kraków 2007 Wykłady z matematyki dyskretnej – Internet Discrete Mathematical Structures: Theory and Applications - Matrices and Closures of Relations

73 Internet J. Gosling, B. Joy, G. Steele, G. Bracha, „ The Java™ Language Specification, Third Edition”, Java Tutorial Mathematica – Wolfram, Combinatorica Nowe cechy języka Java w wersji 1.5

74 Dziękuje za uwagę