Agenda Definicja potęgi. Działania na potęgach- teoria i praktyka.

Prezentacja na temat: "Agenda Definicja potęgi. Działania na potęgach- teoria i praktyka."— Zapis prezentacji:

1

2 Agenda Definicja potęgi. Działania na potęgach- teoria i praktyka.
Notacja wykładnicza. Liliputy. Olbrzymy. Obliczenia na liczbach małych i dużych. System dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy. Działania w różnych systemach. Ciekawostki.

3 Realizatorzy projektu
COMBIDATA Poland Sp. z o.o. Uniwersytet Szczeciński

4 Patroni projektu Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty
Zachodniopomorski Kurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

5 Dane informacyjne Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im Powstańców Wielkopolskich w Wolsztynie ID grupy: 98/4_mf_g2 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych. Semestr/rok szkolny: 2 semestr roku szkolnego 2011/2012

6 Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

7 an = a*a*a* … * a Co to jest potęga ? UWAGA!!! a0= 1
Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n nazywamy iloczyn n liczb, których każda jest równa a, czyli: an = a*a*a* … * a Liczba a występuje n razy UWAGA!!! a0= 1

8 MOŻNA TAK 2*2*2*2*2*2*2*2 ALBO TAK 28 Po co potęgować ?
Symbol potęgi wprowadzono po to, aby skrócić zapis mnożenia tych samych czynników lub żeby móc przedstawić w krótkiej postaci duże liczby. Potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. MOŻNA TAK 2*2*2*2*2*2*2*2 ALBO TAK 28

9 Potęga 00 Zdefiniowanie potęgi 00 sprawia problemy. Z jednej strony można by ja przedstawić jako a0 i rozszerzyć wartość na 1. z drugiej strony natomiast 0n =0, dla wszelkich niezerowych n. Druga wersja nie została przyjęta, ponieważ funkcja f(x)= 0x ma niewielkie znaczenie. Natomiast za przyjęciem wartości 00 = 1 istnieje sporo argumentów. Często w analizie matematycznej 00 przyjmuje się, że jest symbolem nieoznaczonym. W algebrze abstrakcyjnej 00 jest zawsze równe 1.

10 Działania na potęgach

11 Mnożenie potęg o tych samych podstawach
GDY MAMY DOCZYNIENIE Z MNOŻENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH WYSTARCZY DODAĆ DO SIEBIE WYKŁĄDNIKI. WZÓR OGÓLNY: an · am = an+m PRZYKŁAD: 52 ∙ 517 = = 519

12 Dzielenie potęg o tych samych podstawach
GDY MAMY DOCZYNIENIE Z DZIELENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH WYSTARCZY ODJĄĆ OD SIEBIE WYKŁĄDNIKI. WZÓR OGÓLNY: an : am = an-m PRZYKŁAD: 5 17 : 5 2 = = 5 15

13 Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach
GDY MAMY DOCZYNIENIE Z MNOŻENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH WYKŁĄDNIKACH WYSTARCZY PODSTAWY UJĄC W NAWIAS I PRZEPISAĆ WYKŁADNIK . WZÓR OGÓLNY: an · bn = (a · b)n PRZYKŁAD: 3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 62= 36

14 Dzielenie potęg o tych samych wykładnikach
GDY MAMY DOCZYNIENIE Z DZELENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH WYKŁĄDNIKACH WYSTARCZY PODSTAWY UJĄĆ W NAWIAS I PRZEPISAĆ WYKŁADNIK . WZÓR OGÓLNY: an : bn = (a : b)n PRZYKŁAD: 4 2 : 2 2 = (4:2)2 = 2 2 = 4

15 GDY MAMY DOCZYNIENIE Z POTĘGĄ POTĘGI WYSTARCZY POMNOŻYĆ WYKŁADNIKI .
Potęga potęgi GDY MAMY DOCZYNIENIE Z POTĘGĄ POTĘGI WYSTARCZY POMNOŻYĆ WYKŁADNIKI . WZÓR OGÓLNY: ( an ) m = an · m PRZYKŁAD: (5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25

16 Potęga o wykładniku ujemnym
POTĘGA O WYKŁADNIKU UJEMNYM LICZBY RÓŻNEJ OD ZERA JEST ODWROTNOŚCIĄ POTĘGI O TEJ SAMEJ POSTAWIE I PRZECIWNYM WYKŁĄDNIKU. PRZYKŁAD:

17 Zadania na potęgach

18 Wygląda strasznie ale to tylko pozory…

19 a*10n POSTAĆ WYKŁADNICZA
Wzór: Ważne: Notacją wykładniczą liczby - nazywamy zapis tej liczby w postaci iloczynu liczby oraz potęgi liczby. a*10n 1≤a<10

20 PRZYKŁADY ZAPISU W NOTACJI WYKŁĄDNICZEJ
1.Przedstaw w postaci naukowej liczby: 25000=2,5*10000= 2,5*104 = 5,634* =5,634*108

21 Liliputy

22 GDZIE SPOTYKAMY LILPUTY?
Bardzo małe liczby często występują w takich dziedzinach jak chemia, elektronika i fizyka kwantowa. Za pomocą tych liczb opisuje się zjawiska mikroświata (cząsteczki, atomy, jadra atomowe, cząstki elementarne). Opisywane zjawiska na ogół nie podlegają bezpośredniej percepcji człowieka.

23 PRZYKŁADY Masa cząsteczki wody - 3*10-26 kg Masa protonu - 1,6726*10-27 kg Masa elektronu - 9,1095*10-30 kg

24 TWORZENIE NAZWY Sposób ten polega na dołączeniu do nazwy (lub symbolu) jednostki miary jednego z przedrostków (lub jego symbolu) wyrażającego odpowiedni mnożnik dziesiętny. Połączenie symbolu przedrostka z symbolem danej jednostki jest nowym symbolem. Jeżeli konieczne jest użycie przedrostka, to zawsze używa się przedrostka pojedynczego.

25 SKRÓT atta 10-18 as (attosekunda) femtof 10-15 fm (femtometr)
pikop pF (pikofarad) nanon nm (nanometr) mikrom mm (mikrometr) milim mg (miligram) decyd dm (decymetr) centyc cm (centymetr)

26 PRZEDROSTEK decy (łac. decimus – dziesiąty) 0,1 =10 -1
centy (łac. centum – sto) 0,01 = 10−2 mili (łac. mille – tysiąc) 0,001 = 10−3 mikro (gr. mikros – mały) 0, = 10−6 nano (gr. nanos – karzeł) 0, = 10−9

27 piko (wł. piccolo – mały) p 0,000 000 000 001 = 10−12
femto (duń. femten – piętnaście) 0, = 10−15 atto (duń. atten – osiemnaście) 0, = 10−18 zepto (fr. sept, gr. septem – siedem) 0, = 10−21 jokto (gr.οκτώ (okto) – osiem) 0, = 10−24

28 NAZWY ZWYCZAJOWE Femtometr- zwyczajową nazwa tej jednostki długości używana przez fizyków, fermi, została zaproponowana przez Roberta Hofstadtera na cześć włoskiego fizyka Enrico Fermiego. Angstrem- pochodzi od nazwiska Andersa Jönasa Ångströma ,szwedzkiego fizyka i astronoma, jednego z twórców astrofizyki, który po raz pierwszy wprowadził tę jednostkę w 1868 roku. Angstrem nie jest w Polsce legalną jednostką miar.

29 Olbrzymy

30 Gdzie spotykamy olbrzymy?
Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk.

31 Tworzenie nazwy W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny: bi- oznacza dwu- (stąd bilion) tri- oznacza trój- (stąd trylion) quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion) quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) sextus oznacza szósty (stąd sekstylion)

32 septimus oznacza siódmy (stąd septylion)
octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) centum oznacza sto, lub centesimus - setny (stąd centylion)

33 Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu  stosowanego w Polsce).

34 jeden 1 100 tysiąc milion miliard bilion biliard trylion tryliard
1 000 103 milion 106 miliard 109 bilion 1012 biliard 1015 trylion 1018 tryliard 1021 kwadrylion 1024 kwadryliard 1027 kwintylion 1030 kwintyliard ... 1033 sekstylion 1036 noniliard 1057 decylion 1060 decyliard 1063 centylion 10600

35 Nazwy zwyczajowe W U.S.A nazewnictwo dużych liczb znacznie różni się od tego używanego w innych krajach (jak Wielka Brytania, Polska, ...). W tych krajach bilion (bi- odpowiada dwa) ma dwa razy tyle zer co milion, a trylion (tri - odpowiada trzy) ma trzy razy tyle zer co milion. W pracach naukowych często możemy spotkać się z nazewnictwem Amerykańskim. Polska: 106*n USA: 103*n+3 =1000*103*n

36 Obliczenia na liczbach małych i dużych

37 1.trylion : biliard = ? 103=1000 -tysiąc 2.milion * miliard =?
: = 1018 : 1015 = 103 103=1000 -tysiąc 2.milion * miliard =? * = 106 * 109 = biliard

38 3. pikometr * nanometr= ? 0, *0, =0, −12 * 10−9 = – zeptometr 4. joktometr : pikometr =? 0, : 0, = 10−24 :10−12 =10-24—12 = pikometr

39 ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW
W INFORMATYCE

40 Co to jest system pozycyjny?
Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć.

41 przybiera postać 1010, gdyż:
W każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: 1 * * * * 20 = 10

42 SYSTEM DWÓJKOWY Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy inna nazwa binarny. W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.

43 Przykładowe równania systemu binarnego
11101 = 1*24+1*23+1*22+0*21+1*20 = = 29 1011 = 1*23+0*22+1*21+1*20 = = 11 = 1*27 + 1*26 + 1*23 + 1* *20 = = 206

44 Jednostki komputerowe
WIELOKROTNOŚĆ BAJTÓW PRZEDROSTKI DZIESIĘTNE (SI) PRZEDROSTKI BINARNE (IEC ) NAZWA SYMBOL MNOŻNIK MNOZNIK kilobajt Kb 103=10001 kibibajt KiB 210=10241 megabajt MB 106=10002 mebibajt MiB 220=10242 gigabajt GB 109=10003 gibibajt GiB 230=10243 terabajt TB 1012=10004 tibibajt TiB 240=10244 petabajt PT 1015=10005 pebibajt PiB 250=10245 eksabajt EB 1018=10006 eksibibajt EiB 260=10246 zettabajt ZB 1021=10007 zebibajt ZiB 270=10247 jottabajt JB 1024=10008 jobibajt JiB 280=10248

45 SYSTEM DZIESIĄTKOWY Naturalny dla ludzi system dziesiątkowy został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

46 System szesnastkowy Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach www (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

47 16 Na czym polega ? System szesnastkowy to system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci. W systemie szesnastkowym inaczej zwanym heksadecymalnym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

48 Przykład konwersji Przykład : 16 = 36, reszty 0 36 : 16 = 2, reszty 4 2 : 16 = 0, reszty 2 576(10) = 240(16) Przykład : 16 = 7, reszty E 7 : 16 = 0, reszty 7 126(10) = 7E(16)

49 ZAMIANA SYSTEMÓW POZYCYJNYCH
Przykładowe (wymyślone przez koleżankę z grupy) zamiany liczb z szesnastkowego systemu na dziesiętny: 3E4= 3*162+14*161+4*160= =996 17B32E = 1* * * * * * 160 = =

50 CIEKAWOSTKI

51 Ile jest piasku we Wszechświecie?
„hai myriakismyriostas periodou myriakismyrioston arithmon myriai myriades”Archimedes

52 Oznacza to: „Ni mniej ni więcej jak tylko dziesięć tysięcy razy dziesięć tysięcy jednostek porządku dziesięć tysięcy razy dziesięciotysięcznego dziesięciu tysięcy razy dziesięć tysięcy dziesięciotysięcznego okresu”. Archimedes dowiódł, że liczba ziaren piasku w całym wszechświecie jest mniejsza niż ta liczba.

53 Googol – liczba 10100, czyli jedynka i sto zer w zapisie dziesiętnym
Googol – liczba 10100, czyli jedynka i sto zer w zapisie dziesiętnym. Googol można przedstawić w formie tradycyjnej jako: 1 googol = =

54 Googol jest w przybliżeniu równy 70
Googol jest w przybliżeniu równy 70! a jego czynnikami pierwszymi są tylko 2 i 5. Zapis binarny tej liczby zajmuje 333 bity. Liczba używana jest głównie jako pojęcie poglądowe w nauczaniu matematyki.

55 Matematyczna legenda Stara legenda głosi, że czeska królewna Libusza obiecała temu z trzech ubiegających się o nią rycerzy oddać rękę, który pierwszy rozwiąże zadanie następującej treści: Ile brzoskwiń mieści koszyk, z którego połowę całej zawartości i jedną brzoskwinię odda pierwszemu, drugiemu połowę reszty i jedną brzoskwinię, wreszcie trzeciemu połowę pozostałych i trzy ostatnie brzoskwinie.

56 ROZMIARY ZWIERZĄT I ICH MASA „CIEKAWIE”

57 Rozmiary zwierząt i ich masa
LEW Wysokość: 10* 2 3 cm Długość: 3* 10 2 cm Masa: 2* 10 2 kg SŁOŃ Wysokość: m Długość: 7* cm Masa: 6*10³ kg

58 MRÓWKA Długość: 1 1 cm Masa: mg KOT Długość: 10* 2 2 cm Masa:6*10³kg

59 Rozmiary roślin TULIPAN Wysokość: 2 2 cm

60

61 Ile erytrocytów jest w 1mm³ krwi?
Około 5,4 mln/mm³. Które zwierzę ma największą, a które najmniejszą masę ciała: niedźwiedź polarny, płetwal błękitny, słoń afrykański? Słoń afrykański waży 6,3 · kg Niedźwiedź polarny 5 · kg Płetwal błękitny 1,4 · kg. Największą masę ma płetwal błękitny, a najmniejszą niedźwiedź polarny.

62 Który zbiornik wodny ma największą powierzchnię?
Jest to Ocean Spokojny, a jego powierzchnia to 1,787 * km². Ocean ten zajmuje aż 1/3 powierzchni Ziemi. Jak bardzo oddalona od ziemi jest Wielka Mgławica w Andromedzie? Wielka Mgławica w Andromedzie leży około 2,52* lat świetlnych od Ziemi.

63 A TO CIEKAWE… Ile żyjesz lat, miesięcy, dni, minut, sekund?
Żyje: 1,5*10 lat, 12*1,5 *10 miesięcy, 360*1,5*10 dni, *1,5*10 minut, 60*518400*1,5*10 sekund Ile waży wirus grypy? Wirus grypy waży 10 −21 kg.

64 Księżyc Średnica: 3,474 * 10³ km Merkury Obwód orbity: 36 *  m

65 DOTYCZĄCY LICZB BARDZO MAŁYCH I BARDZO DUZYCH
QUIZ DOTYCZĄCY LICZB BARDZO MAŁYCH I BARDZO DUZYCH

66 Do której potęgi musimy podstawić liczbę 10, aby powstał trylion?
Pytanie nr 1 Do której potęgi musimy podstawić liczbę 10, aby powstał trylion? Odpowiedź: 10 do potęgi 8.

67 Pytanie nr 2 Ile zer ma bilion? Odp. Bilion ma 12 zer.

68 Począwszy od biliona od czego pochodzą nazwy liczb?
Pytanie nr 3 Począwszy od biliona od czego pochodzą nazwy liczb? Odp. Nazwy pochodzą od łacińskich określeń kolejnych liczb naturalnych.

69 Pytanie nr 4 Od czego pochodzi nazwa „kwintylion”?
Odp. Od łacińskiego „quintus”, piąty.

70 Pytanie nr 5 W którym roku po raz pierwszy zostały zapisane słowa „bymillion” i „trimillion”? Odp. Słowa bymillion i trimillion były po raz pierwszy zapisane w roku 1475 w manuskrypcie autora Jehan Adam

71 Pytanie nr 6 Czemu jest równy 1 Pikometr?
Odp. Jest równy jednej milionowej mikrometra (mikrona) i był nazywany mikromikronem lub bikronem (nazwa od jednej bilionowej części metra).

72 Pytanie nr 7 Do czego jest używana jednostka „nanometr”?
Odp. Jednostka ta jest wygodna do opisywania odległości w skali cząsteczek oraz długości fal światła widzialnego (ok. 400–700 nm) oraz UV (< 400 nm) i bliskiej podczerwieni (>700 nm).

73 Pytanie nr 8 Do czego powszechnie stosowany jest „milimetr”?
Odp. Stosowany powszechnie w pomiarach.

74 Pytanie nr 9 Jest to jedna milionowa metra, czy inaczej, jedna tysięczna milimetra. Jeden mikrometr równa się zatem 10−6 m. Odp. Co to jest mikrometr?

75 Większy jest undecylion czy duodecylion?
Pytanie nr 10 Większy jest undecylion czy duodecylion? Odp. Większy jest duodecylion.

76 bibliografia

77 JUŻ PO RAZ OSTATNI I DZIĘKUJEMY ZA MIŁĄ WSPÓŁPRACĘ.
DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ ;)) JUŻ PO RAZ OSTATNI I DZIĘKUJEMY ZA MIŁĄ WSPÓŁPRACĘ.