Dane INFORMACYJNE grupa 1

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE grupa 1"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE grupa 1
Nazwa szkoły Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Drążnej ID grupy: 98_52_mf_g2 Gimnazjum nr 1 w Szczecinie ID grupy: 98/91_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA Temat projektowy: Liczby wymierne są ok Semestr/rok szkolny: V semestr /2011/2012

3 Wstęp Rachunki z ułamkami. Zaokrąglenia System rzymski. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. Szacowanie wartości. Obliczenia w praktyce. Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”.

4 Wstęp – o liczbach W naszej prezentacji chcielibyśmy przedstawić informacje dotyczące zbioru liczb wymiernych. Są to liczby niezwykle użyteczne w życiu codziennym ludzi. Jednak zaczniemy od ogólniejszego i bardziej abstrakcyjnego pojęcia liczb. „ Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie” - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker.

5 Wstęp – o liczbach Obecnie w matematyce liczby są rozważane w oderwaniu od ich ewentualnych fizycznych zastosowań. Jednak określenie „liczba” dla matematyki jest nieścisłe, gdyż nie definiuje się „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy inne typy liczb.

6 Wstęp – zbiory liczbowe
A zatem z jakimi zbiorami liczbowymi możemy się spotkać? Zbiór liczb naturalnych tworzą liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Zbiór ten oznaczamy literą N. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą C. Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Zbiór licz wymiernych oznaczamy literą W. Zbiór liczb rzeczywistych tworzą wszystkie znane nam i używane przez nas liczby. Oznaczamy go literą R.

7 Wstęp – zbiory liczbowe

8 Wstęp – liczby naturalne
Liczby naturalne (1; 2; 3; 4; 5; ...), bo o nich tu mowa, znano od niepamiętnych czasów. Pierwotnie liczby te służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów. Zwyczajnie mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również liczbę 0,która oznacza moc (liczbę elementów) zbioru pustego. Liczby naturalne mogą także wyrażać porządek – następna liczba naturalna n ustawia się za swoją poprzedniczką, czyli liczbą (n – 1) podążając drogą ku nieskończoności.

9 Wstęp - cyfry Symbole cyfrowe (cyfry), których używamy obecnie do zapisywania liczb naturalnych ( i nie tylko) zawdzięczamy Arabom. To oni „przywieźli” cyfry, zwane dziś „arabskimi”, z północnych Indii, gdzie znane były od V wieku n.e. W Europie hindusko – arabski system liczbowy propagował w XIII wieku Leonardo z Pizy.

10 Wstęp – liczby pierwsze i złożone
Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... . Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Liczby pierwsze w matematyce mają podobne znaczenie, jak w fizyce cząsteczki materii. To cegiełki, podstawowe klocki, z których można zbudować liczby złożone, czyli liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi. Każdą liczbę naturalną n > 1 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

11 Wstęp – sito Eratostenesa
Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i tak naprawdę to do dziś nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki. Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nieskreśloną liczbę (będzie to 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze.

12 Wstęp – liczby całkowite
W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie. Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby, oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych. Każdą liczbę całkowitą możemy przedstawić w postaci ułamka zwykłego o dowolnym mianowniku różnym od zera np.: 7 = 14/2, 10 = 20/2, 15 = 45/3

13 Wstęp – liczby wymierne
Z biegiem czasu pojawiła się potrzeba zapisywania liczb określających pewną część całości – pojawiły się liczby wymierne. Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Każdy iloraz możemy zapisać w postaci ułamka i odwrotnie - każdy ułamek możemy zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

14 Wstęp – liczby wymierne
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne. Liczby wymierne - liczby postaci (p, q Є C i q ≠ 0). Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną.

15 Wstęp - ułamki W życiu codziennym często znajdujemy się w sytuacji, gdy musimy jakąś całość podzielić na części. Wtedy to każdą z tych części możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego (ilorazu). Jedna z czterech części – to 1/4, dwie z trzech części – to 2/3. W każdym ułamku zwykłym wyróżniamy licznik i mianownik. Licznik ułamka zwykłego określa, o ilu równych częściach całości mówimy (dzielna). Mianownik ułamka zwykłego określa, na ile równych części podzieliliśmy całość (dzielnik). Licznik od mianownika oddzielony został kreską ułamkową, która zastępuje nam dzielenie.

16 Wstęp - ułamki Ułamki są bez wątpienia wynalazkiem człowieka, a ich początki giną w mrokach starożytności. Większość dawnych systemów miała nazwy dla kilku najprostszych rodzajów ułamków. Pojęcie stosunku dwóch liczb zostało wprowadzone przez pitagorejczyków w VI w. p.n.e. Poprzedzający ich Babilończycy i Egipcjanie używali jedynie ułamków z licznikiem 1. Słowo ułamek pochodzi od wywodzącego się z łaciny fractio, przekładu z arabskiego kasr - złamany, a zatem ułamki to liczby „złamane”, gdzie mianownik określa, licznik liczy.

17 Wstęp - ułamki Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich - zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci. Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną.

18 Wstęp - ułamki Ułamek właściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamki właściwe są mniejsze od 1. Przykłady: 4/5, 7/8, 9/10. Ułamek niewłaściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi. Ułamki niewłaściwe są większe lub równe 1. Przykłady: 12/5, 4/1, 22/8. Liczbami mieszanym nazywamy ułamki niewłaściwe przedstawione w postaci ułamka właściwego i całości. Przykład: 5/3 = 5:3 = 1 reszty 2 = 1 ⅔

19 Wstęp – ułamki dziesiętne
Ułamek dziesiętny - zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka, której mianownik jest potęgą liczby 10. Przykłady: 0,2; 1,2; -3,05. Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, za to specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny, który oddziela część całkowitą wartości bezwzględnej liczby od części ułamkowej tej wartości, np.: 0,6;1,5;20,3 Liczby wymierne można przedstawiać także w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego albo nieskończonego i okresowego. W rozwinięciu dziesiętnym okresowym po przecinku powtarza się cyfra lub grupa cyfr tzw. okres rozwinięcia dziesiętnego.

20 Rachunki z ułamkami – rozszerzanie i skracanie
Ułamek zwykły można rozszerzyć mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę całkowitą różną od zera, lub skrócić dzieląc licznik i mianownik ułamka przez ich wspólny dzielnik dodatni. Złota zasada dotycząca ułamków powiada, że po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od zera jego wartość nie ulega zmianie. Dzięki tej zasadzie możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki.

21 Rachunki z ułamkami – rozszerzanie i skracanie
Dzięki tej własności operacje rozszerzania i skracania ułamka często wykorzystujemy w działaniach na ułamkach. Rozszerzanie wykorzystujemy w dodawaniu i odejmowaniu ułamków przy sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika. Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Aby skrócić (zredukować) ułamek, należy podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera (największy wspólny dzielnik licznika i mianownika tego ułamka). W ten sposób mamy ułamek uproszczony równoważny poprzedniemu.

22 Rachunki z ułamkami – rozszerzanie i skracanie
Są takie ułamki, których nie da się już skrócić (uprościć) – nazywamy je ułamki nieskracalnymi. Ułamki są nieskracalne, wtedy gdy licznik i mianownik nie mają takich samych dzielników większych od liczby 1. O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1, mówimy, że są względnie pierwsze. Ułamkiem nieskracalnym nazywamy taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi.

23 Rachunki z ułamkami - dodawanie
Ułamki o tych samych mianownikach dodajemy w ten sposób, że dodajemy liczniki, a mianownik pozostaje bez zmiany. Jeśli mianowniki ułamków są różne, to najpierw rozszerzamy ułamki tak, aby miały te same mianowniki, a dopiero potem dodajemy ich liczniki (wspólny mianownik zaś przepisujemy). Jeśli licznik jest większy od mianownika, to wyłączamy całość. Przykład

24 Rachunki z ułamkami - odejmowanie
Jeżeli odejmujemy od siebie ułamki o takich samych mianownikach, to wystarczy, że odejmiemy do siebie liczniki ułamków (będzie to wówczas licznik wyniku, a mianownik się nie zmienia). Odejmowanie ułamków odbywa się poprzez sprowadzenie ich do wspólnego mianownika, a dopiero potem odejmujemy ich liczniki (wspólny mianownik zaś przepisujemy). Przykład

25 Rachunki z ułamkami - mnożenie
Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek, mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian. Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. Podczas mnożenia, jeśli to możliwe można stosować skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe.

26 Rachunki z ułamkami - mnożenie
Przykład

27 Rachunki z ułamkami - dzielenie
Aby podzielić jeden ułamek przez drugi mnożymy pierwszy ułamek (dzielną) przez odwrotność drugiego (dzielnik). Uwaga: dzielenie liczby naturalnej przez ułamek i dzielenie takiego samego ułamka przez tę samą liczbę naturalną, nie daje takiego samego wyniku (tylko jego odwrotność).

28 Rachunki z ułamkami - dzielenie
Przykład

29 Rachunki z ułamkami - potęgowanie
Potęgując ułamek osobno podnosimy do potęgi licznik i osobno mianownik ułamka. Przykład

30 Rachunki z ułamkami - pierwiastkowanie
Pierwiastkując ułamek osobno pierwiastkujemy licznik i osobno mianownik ułamka. Przykład

31 Rachunki z ułamkami - kolejność wykonywania działań
Przykład

32 Rachunki z ułamkami - kolejność wykonywania działań
Złożone działania na ułamkach wymagają pamiętania o kolejności działań: działania w nawiasach potęgowanie i pierwiastkowanie mnożenie i dzielenie dodawanie i odejmowanie Przykład

33 Zaokrąglanie Zaokrąglanie – w matematyce przybliżanie pewnej liczby do innej, mającej mniej cyfr znaczących. Zaokrąglanie polega na: odrzuceniu lub zastąpieniu zerami pewnej ilości cyfr końcowych danej liczby albo zwiększeniu ostatniej z pozostałych cyfr o jeden, jeśli kolejna cyfra liczby pierwotnej była większa lub równa 5. Przykład: po zaokrągleniu liczby 0,1239 do dwóch miejsc po prze- cinku otrzymamy 0,12, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 3, natomiast po zaokrągleniu 0,7691 także do dwóch miejsc po prze- cinku otrzymamy 0,77, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 9.

34 Zaokrąglanie Zaokrąglenia są bardzo istotne w pomiarach różnych wielkości fizycznych i chemicznych. Zaokrąglanie polegające na określeniu liczb po przecinku, szczególnie bardzo małych wielkości może generować względnie duży błąd. Stosuje się tutaj zaokrąglanie do liczby cyfr znaczących. Ponadto liczbę z reguły zaokrąglamy do tylu miejsc po przecinku (znaczących), aby ostatnia cyfra była pewna. Dla przykładu wynik ważenia 0,274 g na wadze o dokładności 0,001 g trzeba będzie zaokrąglić do dwóch miejsc znaczących (bo ostatnia tzn. trzecia, jest już niepewna).

35 Zaokrąglanie Przy zaokrąglaniu znak równości zastępujemy znakiem ≈. Przykłady 482,45 ≈ 482,5 ≈ 483 ≈ 480 ≈ ,8992 ≈ 12,899 ≈ 12,9 ≈ 13 ≈ 10 19,99 ≈ ,9899 ≈ 178,99 ≈ 179 ≈ 180 ≈ ≈ 10 Zaokrąglania nie stosujemy, kiedy liczba posiada już tylko jedną cyfrę znaczącą. Cyfra znacząca jest to cyfra 1,2,3,...,9 i 0 w przypadku, gdy znajduje się pomiędzy wymienionymi wcześniej cyframi.

36 Zaokrąglanie Często chcemy zaokrąglić liczbę określając jej rząd. Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części dziesiątych, pozostawiamy jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu), setnych części - 2 cyfry po przecinku i tak dalej. Jeżeli chcemy zaokrąglić do pełnych dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej, zaokrąglamy tak, aby otrzymać liczby całkowite o minimum o 1, 2, 3, ... zerach "na końcu" po zaokrągleniu. Zaokrąglenia do tysięcy: Zaokrąglenia do setnych części: 1234 ≈ ,445 ≈ 246, ≈ ,(64) = 0, ≈ 0,65

37 Zaokrąglanie Zaokrąglenie liczby 374,043 do: a) do części setnych : 374,04 b) do części dziesiętnych : 374,0 c) do jedności : 374 d) do dziesiątek : 370 e) do setek : 400

38 System rzymski System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych oraz nie pozwala na zapis dowolnych ułamków. Liczba zero nie posiada własnego znaku w systemie rzymskim, gdyż "nic" nie było powszechnie uważane za wartość liczby. Wartość 0,5 jest reprezentowana przez znak S, a 0,1 – przez Ł.

39 System rzymski W Polsce zapisuje się cyframi rzymskimi: numery liceów (ale nie szkół podstawowych i gimnazjów), numery klas i lat studiów, wieki, tomy dzieł, numery pięter, wydziałów w instytucjach. Zwyczajowo zapisuje się czasami również: miesiące, rok powstania budowli (na ich frontonach) oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach). Cyfry rzymskie powszechnie stosuje się również w numeracji stuleci (np. XIX wiek — nie dotyczy to tradycji anglosaskiej, gdzie powszechnie stosuje się cyfry arabskie), w imionach władców i papieży (np. Jan Paweł II), nazwach wydarzeń historycznych (II wojna światowa).

40 System rzymski Bitwa pod Grunwaldem –1410r. – MCDX
Bitwa pod Racławicami -1794r. – MDCCXCIV Rozpoczęcie drugiej Wojny Światowej –1939r. – MCMXXXIX Obrady okrągłego stołu –1989r. – MCMCXXXIX W powyższych historycznych datach ukazane są wszystkie zasady zapisu liczb w systemie rzymskim.

41 System rzymski Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur ↁ oznaczający 5000, oraz ↂ oznaczający Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez John Wallis w 1655 roku zaproponował użycie symbolu ↀ, oznaczającego 1000, do oznaczania nieskończoności; później dla wygody ten symbol został zniekształcony do znaku ∞, i od tej pory jest on stosowany w tym właśnie znaczeniu.

42 System rzymski Rzymski (łaciński) system zapisywania liczb to addytywny system liczbowy, w podstawowej wersji używający 7 znaków: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Odejmowanie przy zapisywaniu cyframi rzymskimi jak przy zapisie IV czy IX albo XC nie było popularne w zapisie stosowanym przez Rzymian, a upowszechniło się dopiero w średniowieczu np.: IX = XL = XC = CD = CM = 900

43 System rzymski Zapisując liczbę w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o kilku zasadach. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki: I, X, C lub M. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. Znak I może występować tylko przed V, X. Znak X może stać tylko przed L, C. Znak C może występować tylko przed D, M. Znaki I, X, C poprzedzając znaki większe mogą występować tylko raz.

44 System rzymski Odczytywanie liczb rzymskich: III= 3·1 = 3 VII = 5 + (2 · 1) = 7 XIV = 10 + (5 - 1) = 14 XXIX = (2 · 10) + (10 - 1) = 29 CXLV = ( ) + 5 = 145 CDXIX = ( ) (10 -1) = 419 DCCLXXVIII = ( · 100) +( ·10) + (5 + 3 · 1) = 778 MCMLXXXIX = ( ) + ( · 10) + (10 - 1) = 1989 MMCCCLII = (2 · 1000) + (3 · 100) (2 · 1) = 2352

45 Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne
Zamieniając ułamek zwykły na ułamek dziesiętny korzystamy z faktu, iż kreska ułamkowa jest znakiem dzielenia. Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne itd. części tej liczby. 2/10 = /100 = /1000 = /100 = 1.11

46 Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne
Zamieniając ułamek zwykły na ułamek dziesiętny korzystamy z faktu, iż kreska ułamkowa jest znakiem dzielenia. Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne itd. części tej liczby. 2/10 = /100 = /1000 = /100 = 1.11 Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny należy wykonać dzielenie pisemne licznika przez mianownik. W wyniku dzielenia możemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.

47 Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe
I sposób: 0.(81) = ? Przesuwamy przecinek do początku okresu: x = 0,   Mnożymy obustronnie przez taką liczbę, która spowoduje przesunięcie okresu do części całkowitej: 100x = 81,   Części po przecinku zredukują się wzajemnie 100x - x = 81, ,8181  Otrzymujemy równanie 99x = 81, które rozwiązujemy: x=81/99=9/11

48 Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe
II sposób: 0, = ? Ułamek okresowy zapisujemy z użyciem nawiasu, u nas: 0,34(5). Licznik: tworzymy liczbę z wszystkich cyfr po przecinku (łącznie z cyframi w nawiasie), u nas to liczba 345. Odejmujemy od niej liczbę utworzoną z wszystkich cyfr przed nawiasem, u nas to 34. Otrzymana różnica, to licznik ułamka zwykłego, u nas jest to 311. Mianownik: tworzymy liczbę złożoną z tylu dziewiątek, ile jest cyfr w nawiasie (długość okresu) i tylu zer, ile jest cyfr przed nawiasem (przed okresem), u nas jest to liczba 900. Otrzymana w ten sposób liczba jest mianownikiem szukanego ułamka.

49 szacowanie Szacowanie (także: szacunek, wycena) - przybliżone określanie wartości jakiejś wielkości przy posiadaniu niepełnych danych, występowania zakłóceń lub stosowaniu uproszczonego modelu opisującego parametry, cechy lub charakter tej wielkości (lub zjawiska wpływające na jej zachowanie). Szacowanie stosuje się w wielu naukach i dziedzinach wiedzy, handlu i działalności gospodarczej np.: w metrologii szacuje się głównie niepewność pomiaru i wielkość błędów pomiarowych. Główny powód stosowania szacowania to fakt, że zwykle nie w pełni znane są wszystkie zjawiska wpływające na pomiar, a model wielkości mierzonej jest uproszczony.

50 szacowanie W handlu szacowanie stosuje się głównie przy określaniu ceny zbywanego towaru, zwłaszcza gdy jest to towar używany, drogi lub jednostkowy; np. cenę domu lub mieszkania na rynku wtórnym szacuje się na podstawie cen podobnych mieszkań w danym rejonie miasta, popytu na te mieszkanie, atrakcyjności jego położenia, wieku, zastosowanej technologii, stanu technicznego, itp. Wrolnictwie szacuje się np. przewidywaną wielkość zbiorów, zwykle na podstawie ich wyników z lat ubiegłych, ankiet dotyczących zasiewów przeprowadzanych wśród rolników i długoterminowych prognoz pogodowych.

51 Szacowanie - zadania Zadanie 1. Ile najwięcej czekolad po 3,99zł za sztukę można kupić za 20 zł? 20zł / 3,99zł = około 5 czekolad Odp: Za 20zł możemy kupić najwięcej około 5 czekolad. Zadanie 2. Ile biletów po 10,50zł można kupić za 50 zł? 50zł / 10,50zł = około 4 biletów Odp: za 50 zł możemy kupić około 4 biletów.

52 Szacowanie - zadania Zadanie 3. Czy można kupić 19 batoników po 1,99zł każdy, otrzymasz resztę z 50zł mniejszą czy większą od 10zł? 19 * 1,99 zł= 37,81 zł 50zł – 37,81zł= 12,19zł Odp: Jeżeli kupimy 19 batoników po 1,99zł to otrzymamy więcej niż 10 zł reszty z 50 zł.

53 Szacowanie - zadania Zadanie 4. Wzdłuż ściany o długości 4,95m ustawiono trzy regały, każdy o wymiarach 30cm x 92cm x 210cm.czy zmieści się jeszcze biurko o długości 152cm? 4,95m=495cm Zakładam, że wymiary tego regału to: szerokość-92cm, głębokość- 30cm, wysokość-210cm 495cm-3*92cm=495cm-275cm 495cm-275cm=220cm 220cm-152cm=68cm Odp: Po wykonaniu wszystkich obliczeń jesteśmy pewni, że zmieści się tam jeszcze biurko.

54 Szacowanie - zadania Zadanie 5. Do pierwszej klasy gimnazjum w pewnej miejscowości zgłosiło się 103 uczniów. W każdej klasie musi być co najmniej 19 uczniów. Jaka jest największa liczba klas pierwszych,które można utworzyć? 103 / 19 = około 5 Odp: Największa ilość klas jaka może zostać utworzona to około 5 klas. Zadanie 6. Pani Jola zaciągnęła kredyt w wysokości 2600zł. Miesięczna rata wynosi 195zł.czy pani Jola spłaci kredyt w ciągu 1 roku? 12 * 195zł = 2340zł Odp: Pani Jola nie spłaci kredytu gdyż przez rok jej opłata wynosi 2340zł.

55 Obliczenia w praktyce Zadanie 1. Mama kupiła 35 sztuk owoców, jabłek i gruszek. Gruszek było 7. Jaki procent owoców stanowią gruszki? Dane: Ilość owoców – 35; Ilość gruszek – 7 Szukane: Jaki procent owoców stanowią gruszki - ? Rozwiązanie: Odpowiedź: Gruszki stanowiły 20% owoców.

56 Obliczenia w praktyce Zadanie 2. Cena wycieczki wynosi 800 zł, z czego 56 zł to koszt dojazdu na miejsce. Jaki procent ceny wycieczki wynosi koszt dojazdu? Dane: Cena wycieczki – 800; Koszt dojazdu – 56 Szukane: Jaki procent ceny to koszt dojazdu - ? Rozwiązanie: Odpowiedź: Koszt dojazdu na miejsce wynosi 7% ceny wycieczki.

57 Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”
Jeżeli na linii prostej ustalimy pewien kierunek wyznaczający następstwo punktów, to mówimy, że zamieniliśmy ją na oś. Obrany kierunek osi oznaczamy strzałką i piszemy przy niej jakąś literę łacińską, np. x, jako nazwę tej osi. Oś liczbowa to prosta, na której ustalono zwrot, obrano punkt O i ustalono jednostkę odległości.

58 Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”
Każdemu punktowi osi przyporządkowujemy liczbę rzeczywistą, która jest jej odległością od punktu O, opatrzoną znakiem + (plus) lub - (minus) w zależności od tego, czy punkt leży z prawej czy lewej strony punktu O. O punktach, które następują po punkcie O, będziemy mówili, że leżą na dodatniej połowie osi x. Natomiast o punktach, które poprzedzają punkt O, będziemy mówili, że leżą na ujemnej połowie osi x. Jeżeli punkt A o współrzędnej a poprzedza na osi liczbowej punkt B o współrzędnej b, to mówimy, że a < b (liczba a jest mniejsza od liczby b), lub że b > a (liczba b jest większa od liczby a).

59 Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”
Istnieje ścisły związek między liczbami rzeczywistymi, a punktami na osi liczbowej Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować jeden punkt osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt osi odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej. Liczbę, której przyporządkowano dany punkt osi liczbowej, nazywamy współrzędną punktu na osi.

60 Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”

61 Źródła Matematyka z plusem- podręcznik dla klasy 1 gimnazjum- praca zb. pod. red. M. Dobrowolskiej dziesietny

62 Źródła rozszerzanie.html dodatnie/liczby-wymierne dowolne/liczby-na-osi-liczbowej-i-odleglosci-miedzy-nimi dodatnie/ulamki-zwykle-rozszerzanie-skracanie

63