Metoda najmniejszych kwadratów dla jednej zmiennej objaśniającej

Prezentacja na temat: "Metoda najmniejszych kwadratów dla jednej zmiennej objaśniającej"— Zapis prezentacji:

1 Metoda najmniejszych kwadratów dla jednej zmiennej objaśniającej
dr Grzegorz Szafrański pokój B106 Termin konsultacji: poniedziałek

2 Modelowanie – podstawy
Wykorzystanie faktu korelacji zmiennych: przyczynowej (związek przyczynowo-skutkowy i jego stabilność), symptomatycznej (ukryty mechanizm, wspólne przyczyny różnych zjawisk i przybliżenie ich działania przez związaną z nimi zmienną tzw. proxy np. jak np. przyczyny jednokierunkowo zmieniające się w czasie – trend, wykazujące wahania – modele AR, analiza spektralna), przypadkowej – bezzasadne.

3 Budowa modelu Sformułuj problem ekonomiczny
Zilustruj go danymi empirycznymi Podaj jego teoretyczne rozwiązanie (hipotezy, model ekonomiczny) Dobierz zmienne objaśniające Sprawdź teorię za pomocą modelu ekonometrycznego

4 Weryfikacja modelu Budowa postaci modelu (liniowy, potęgowy, inny nieliniowy?) Estymacja modelu (wybór metody, MNK, MNW czy inna?) Weryfikacja ekonomiczna (czy zgodny z teorią?) Weryfikacja statystyczna (na ile zgodny z teorią?) Propozycje poprawy modelu

5 Problem ekonomiczny Krótki opis problemu: Im większa produkcja tym wyższe koszty, ale rosną one coraz wolniej. Dlaczego? Odpowiedzi szukamy w teorii ekonomicznej: W produkcji występują koszty stałe (nie zależą od wielkości produkcji) i zmienne (zależne). Jak je wydzielić, gdy mamy dane: Y – koszt całkowity, w mln zł X – ilość produktów, w tys. szt.

6 Model ekonomiczny Formułujemy teorię ekonomiczną w postaci „Y zależy od X”: Y = f(X) Zależność ta może mieć postać liniową Y= a0 +a1X i a0>0, a1>0 a0,a1 to parametry modelu Czy istnieje empiryczna zależność między X a Y? Czy jest ona zgodna z teorią (np. czy a1>0)?

7 Model ekonometryczny yt=a0+a1xt + et
Przedstawiamy teorię ekonomiczną z dokładnością do zmiennej losowej et i badamy, czy zachodziła w pewnym okresie czasu: t=1,...,T Sprawdzamy zależność stochastyczną: yt=a0+a1xt + et E(et) = 0, xt nielosowe, stąd E(yt) =a0+a1xt D2(et) = E(et2)= s2, E(etet-i) = 0 Zwykle przyjmuje się również postać rozkładu zmiennej et ~ N(0, s2)

8 Metoda najmniejszych kwadratów
model stochastyczny (jedna zmienna objaśniająca): zależność korelacyjna między zmiennymi yt=a0+a1xt + et gdzie t=1,2,...,T oraz E(et) = 0, D(et) = s i et dla różnych t nie są skorelowane Dochodzimy do funkcji regresji I rodzaju: E(yt) =a0+a1xt

9 MNK Estymacja – szacowanie nieznanych parametrów modelu na podstawie próby wg określonego kryterium Funkcja regresji II rodzaju – wartość teoretyczna: pt=a0+a1xt To co zostaje to reszta: et= yt – (a0+a1xt) Kryterium MNK: minimalizacja sumy kwadratów reszt SSQ dla różnych wartości ocen parametrów a0, a1 SSQ(a0, a1) = St et min

10 Metoda regresji yt=a0+a1xt + et
Próbujemy poznać nieznane parametry modelu yt=a0+a1xt + et Poprzez estymację: Estymator to przepis na a0 i a1 np: a1 =St [(xt - xśrednie) (yt - yśrednie)]/St (xt - xśrednie)2 a0 = yśrednie - a1 xtśrednie

11 Zadanie Dokonaj estymacji modelu: Problemy dostępności danych
Dane w pliku jedna_zmienna.xls Y – koszty w mln złotych, X – ilość w tys. sztuk

12 Konwencja Model zwykle zapisujemy: próba: –

13 Miara błędu SEE yt = pt + et
Opieramy miarę błędu na sumie kwadratów reszt: Stet 2=St (yt -pt)2 Nieobciążony estymator wariancji składnika losowego otrzymujemy podobnie jak wariancję reszt z próby: S2 = Stet 2 /(ilość stopni swobody) Ilość stopni swobody obliczamy jako różnicę ilości obserwacji i ilości szacowanych parametrów. błąd standardowy SEE to pierwiastek z tej wariancji

14 Miary dokładności MNK Na całkowitą zmienność igreka SST=St (yt -yśrednie)2 składa się: SST=SSR+SSE St(yt -yśrednie)2 = St(pt -yśrednie)2 +Stet 2 bo (yt -yśrednie) = (pt -yśrednie) + et i reszty nie są skorelowane z p Współczynnik determinacji R-kwadrat to R2 = SSR/SST=1-SSE/SST R2 = (corr(yt ,pt))2

15 Źródła danych Rocznik Statystyczny GUS Biuletyn Statystyczny GUS
inne materiały GUS i oficjalne informacje rządowe Biuletyn Informacyjny NBP inne materiały NBP (informacja wstępna, dane o inflacji, podaży pieniądza, instrumentach polityki pieniężnej) International Monetary Statistics (rocznik statystyczny MFW) Eurostat, OECD Economic Outlook i wiele innych

16 Źródła danych Miejsca publikacji danych w internecie: www.stat.gov.pl
European Commission/Eurostat portale

17 Model a rzeczywistość Jak dalekie uproszczenie rzeczywistości ?
Model niezgodny z rzeczywistością czy na odwrót? Błędy w obserwacjach – przykłady. Dane realne czyli wolumeny: indeksy łańcuchowe indeksy jednopodstawowe deflatory deflatory_doit.xls

18 Do domu Zrobić przykład dla trendu liniowego
Przeczytać o założeniach i warunkach stosowalności estymatora KMNK